傅里葉變換的基本概念及基本定理.PPT

1、1sinc(x)d d (x-1) =tri(x)d d (x + 0.5) =sinc(x)*d d (x-1) =tri(x) * d d (x + 0.5) =0sinc(x-1)1x2010.5 d d (x + 0.5)1x0-110.5-0.5tri(x + 0.5)0-0.510.5-1.5x2 恩格斯(Engels) 把傅里葉傅里葉的數(shù)學成就與他所推崇的哲學家黑格爾(Hegel) 的辯證法相提并論.第三講第三講 二維傅里葉變換的基本概念及基本定理二維傅里葉變換的基本概念及基本定理他寫道：傅里葉傅里葉是一首數(shù)學的詩，黑格爾是一首辯證法的詩.3滿足狄氏條件的函數(shù) g(x) 具有有限

2、周期t,可以在(-,+ )展為三角傅里葉級數(shù):展開系數(shù)零頻分量, 基頻, 諧頻, 頻譜等概念， 奇、偶函數(shù)的三角級數(shù)展開 , )2sin2cos(2)(1000nnnxnfbxnfaaxgtt00)(2dxxgatt00)2cos()(2dxxnfxgantt00)2sin()(2dxxnfxgbn 1 ), .2 , 1 , 0( 0tfn1、三角傅里葉級數(shù)展開、三角傅里葉級數(shù)展開4三角傅里葉展開的例子三角傅里葉展開的例子-1.201.2012345) 2cos(2x) 6cos(32x21前3項的和周期為t =1的方波函數(shù).)6cos(32)2cos(221)(xxxfanfn頻譜圖 01

3、31/22/-2/35三角傅里葉展開的例子練習練習 1-15：求函數(shù)：求函數(shù)f(x)=rect(2x)*comb(x)的傅里葉級數(shù)展開系數(shù)的傅里葉級數(shù)展開系數(shù)6三角傅里葉展開的例子三角傅里葉展開的例子練習練習 0-15：求函數(shù)：求函數(shù)g(x)=rect(2x)*comb(x)的傅里葉級數(shù)展開系數(shù)的傅里葉級數(shù)展開系數(shù)周期 t =1寬度 =1/212)(24141220dxdxxgattt2sinc4/14/1)2sin()2cos(2)2cos()(2414122nnnxdxnxdxnxxganttt0)2sin()(2220tttdxxnfxgbn頻率 f0 =1采用指數(shù)傅里葉級數(shù)展開，可以使

4、展開系數(shù)的表達式統(tǒng)一而簡潔。采用指數(shù)傅里葉級數(shù)展開，可以使展開系數(shù)的表達式統(tǒng)一而簡潔。7二維傅里葉變換二維傅里葉變換 指數(shù)傅里葉級數(shù)指數(shù)傅里葉級數(shù)滿足狄氏條件的函數(shù)滿足狄氏條件的函數(shù) g(x) 具有有限周期具有有限周期t t,可以在可以在(- ,+ )展為展為指數(shù)傅里葉級數(shù)指數(shù)傅里葉級數(shù): 1 ), .2, 1, 0( , )2exp()(00tfnxnfjcxgnn展開系數(shù)展開系數(shù)tt00)2exp()(1dxxnfjxgcn零頻分量零頻分量, 基頻基頻, 諧頻諧頻, 頻譜等概念頻譜等概念指數(shù)傅里葉級數(shù)和三角傅里葉級數(shù)是同一種級數(shù)的兩種表指數(shù)傅里葉級數(shù)和三角傅里葉級數(shù)是同一種級數(shù)的兩種表示方

5、式，一種系數(shù)可由另一種系數(shù)導出。示方式，一種系數(shù)可由另一種系數(shù)導出。8二維傅里葉變換二維傅里葉變換 指數(shù)傅里葉級數(shù)指數(shù)傅里葉級數(shù)思考題思考題利用歐拉公式，證明指數(shù)傅里葉系數(shù)與三角傅里葉系數(shù)之間利用歐拉公式，證明指數(shù)傅里葉系數(shù)與三角傅里葉系數(shù)之間的關系：的關系：2 ,2 ,200nnnnnnjbacjbacac9二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換函數(shù) (滿足狄氏條件) 具有有限周期t,可以展為傅里葉級數(shù):)1 2exp()1 2exp()(1)(22xnjdxxnjxgxgnttttt展開系數(shù)Cn頻率為n/t的分量22)1 2exp()(1)1 2

6、exp()(tttttdxxnjxgCxnjCxgnnnn級諧波頻率:n/t相鄰頻率間隔: 1/t10 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換非周期函數(shù)可以看作周期為無限大的周期函數(shù)非周期函數(shù)可以看作周期為無限大的周期函數(shù):)1 2exp()1 2exp()(1lim)(22xnjdxxnjxgxgntttttt由于由于t t 分立的分立的n級諧波頻率級諧波頻率 n/t t f, f: : 連續(xù)的頻率變量連續(xù)的頻率變量 相鄰頻率間隔相鄰頻率間隔: : 1/t t 0, 0, 寫作寫作df, 求和求和積分積分) 2exp() 2exp()()(fxjd

7、xfxjxgdfxg展開系數(shù)展開系數(shù),或頻率或頻率f分量的權重分量的權重, G(f), 相當于分立情形的相當于分立情形的Cn11二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換 寫成兩部分對稱的形式:這就是傅里葉變換和傅里葉逆變換dxfxjxgfG) 2exp()()(dffxjfGxg) 2exp()()(12二維傅里葉變換二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、定義及存在條件一、定義及存在條件函數(shù)f(x,y)在整個x-y平面上絕對可積且滿足狄氏條件(有有限個間斷點和極值點,沒有無窮大間斷點), 定義函數(shù)dxdyyfxfjyxfffFy

8、xyx)(2exp),(),(為函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換, 記作: F(fx,fy)= f(x,y)=F.T.f(x,y), 或 f(x,y) F(fx,fy)F.T.f(x,y): 原函數(shù), F(fx,fy): 像函數(shù)或頻譜函數(shù)dxKfxF),()()(變換核積分變換:傅里葉變換的核:exp(-j2fx)13二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、定義(續(xù))由頻譜函數(shù)求原函數(shù)的過程稱為傅里葉逆變換:f(x,y)和F(fx,fy)稱為傅里葉變換對記作: f(x,y)= -1F(fx,fy). 顯然 -1 f(x,y)= f(x,y) 綜合可寫: f(x,y) F(fx

9、,fy)F.T.F.T.-1x (y) 和 fx (fy )稱為一對共軛變量, 它們在不同的范疇(時空域或頻域) 描述同一個物理對象.yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp),(),(14二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform一、定義(續(xù))描述了各頻率分量的相對幅值和相移.x, y, fx , fy 均為實變量，F(xiàn)(fx,fy)一般是復函數(shù), F(fx,fy) =A(fx,fy)e jf (fx,fy)振幅譜位相譜yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp),(),(F(fx,fy)是f(x,y)的頻譜函數(shù)15傅里葉變換作為分解式傅里葉變換作為分

10、解式 由逆變換式，可以把函數(shù)由逆變換式，可以把函數(shù)f(x,y)分解成形式分解成形式為為 的基元的基元xyf xf yNxyyfNyxff arctan()yxffcos,cosxyff2()xyif xf ye 只不過是一個權重因子。只不過是一個權重因子。(,)xyFff1622fyxff1718二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform廣義 F.T.對于某些不符合狄氏條件的函數(shù), 求F.T.的方法.例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可積對某個可變換函數(shù)組成的系列取極限不符合狄氏條件的函數(shù),函數(shù)系列變換式的極限原來函數(shù)的廣義F. T.可定義: g(x,y)=lim r

11、ect(x/t)rect(y/t) t 則 g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 19根據(jù)廣義傅立葉變換的定義和d 函數(shù)的定義: g(x,y)=limt2sinc(tfx)sinc(tfy) = d(fx, fy) t 則 rect(x/t)rect(y/t) =t2sinc(tfx)sinc(tfy) 1 = d(fx, fy)按照廣義變換的概念可以得出一系列特殊函數(shù)的F.T.rect( )tx) (sinc )sin()( 21) 2exp( 21) 2exp() 2exp()(rect2/2/2/2/xxxfjfjxxxxxfffeefjxfjfjdxxfjdx

12、xfjxxxtttttttttt思考題:利用 rect(x)=sinc(f)計算dfff0)sin(重要推論: rect(x) =sinc(fx)20例例1 1：求：求 sgn( )Fx解解: :計算過程分為三個步驟：計算過程分為三個步驟：顯然有：顯然有： (1)(1)選擇適當?shù)暮瘮?shù)序列選擇適當?shù)暮瘮?shù)序列 例如例如 10sgn( )lim0010NNxxgxxx /,00 ,0,0 xNxNexxex( )Ng x 21( )NF gx(3)(3)求極限求極限: : 上式就是符號函數(shù)的廣義傅里葉變換上式就是符號函數(shù)的廣義傅里葉變換. . 2022022()( )d dd4 1()(2)xxxi

13、f xNxNNxif xif xx NNxxGfF gxgx exeexeexiffN 1sgn( )lim()0 xNxNifFxGf 0 xf 0 xf :22例例2 2：求：求 ( )Fxd解解: :(1)(1)選擇適當?shù)暮瘮?shù)序列選擇適當?shù)暮瘮?shù)序列2()( )NxNfxNe例如選取例如選取顯然有：顯然有： 2limlimNxNNNxfxNed( )NF fx(2)(2)求變換求變換22222222()2/(/)()( )d =d dxxxxxxif xNxNxNNxif xifNfNNx ifNfNFfF fxNeexNeexNeex23令令 ,xyNxifN并利用積分公式并利用積分公式

14、; ; 2202yydydyee容易求得容易求得: : 2(/)()xfNNxFfe(3)(3)求極限求極限 : : 由上式取極限最后得到由上式取極限最后得到 ( )( )1limNNFxFxfd 24二、 極坐標下的二維傅里葉變換和傅里葉-貝塞爾變換特別適合于圓對稱函數(shù)的F.T. 依F.T.定義: sincos )(tan122ryrxxyyxr空域fffsincos )(tan122yxxyyxffffff頻域極坐標變換dxdyyfxfjyxfffFyxyx)(2exp),(),(25令:)sin ,cos(),()sin ,cos(),(fffrrfrgFG 則在極坐標中:fff200)

15、cos(2exp)sin,cos( )sin,cos(rdrrjrrfdF則極坐標下的的二維傅里葉變換定義為：ffff200200)cos(2exp),(),()cos(2exp),(),(drjGdrgdrrjrrgdG1-7 二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 極坐標下的二維傅里葉變換26二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 傅里葉-貝塞爾變換0000)2()(2)()2()(2)(drJGrgdrrJrrgG圓對稱函數(shù)的F.T.仍是圓對稱函數(shù), 稱為F-B (傅-貝)變換,記為G() = g(r), g(r) = -1G()drdrjrrgG

16、020)cos(2exp)( ),(ff 當 f 具有園對稱性，即僅是半徑r的函數(shù):f(x,y)= g(r,) = g (r). 依F.T.定義: 利用貝塞爾函數(shù)關系)(2)cos(exp020aJdjaf27二維傅里葉變換 2-D Fourier Transform 傅里葉-貝塞爾變換例: 利用F-B變換求圓域函數(shù)的F.T.定義: 是圓對稱函數(shù)22 , , 01 , 1)(circyxrrr其它100)2(2)(circdrrrJr作變量替換, 令r =2r, 并利用:xxxJdJ010)()( )2() (21)(circ12002JdrrJrr28將頻譜函數(shù)G(f)分別寫成實部(余弦變換

17、)和虛部(正弦變換), 然后根據(jù)g(x)的虛、實、奇、偶 性質討論頻譜的相應性質.注意: 并非實函數(shù)的頻譜一定是實函數(shù).只有厄米函數(shù)(實部為偶函數(shù),虛部為奇函數(shù))的頻譜才一定是實函數(shù).例: rect (x) (實、偶) sinc(fx) (實、偶) F.T.但是, rect (x-1) (實、非偶) 復函數(shù) F.T.二維傅里葉變換2-D Fourier Transform三. 虛、實、奇、偶函數(shù)的 F.T.29二、 F.T.定理 - F.T.的基本性質1. 線性定理 Linearity 設 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T.F.T.2. 空間縮放 Sc

18、aling (相似性定理）g(x,y)+ h(x,y)= G(fx,fy) + H(fx,fy)F.T.是線性變換 bfafGabbyaxgyx,1),(30二、 F.T.定理 空間縮放注意空域坐標(x,y)的擴展(a,b1),導致頻域中坐標(fx,fy)的壓縮及頻譜幅度的變化. 反之亦然.g(x)x0 1/21/21g(ax) a=2x01/41/41fG(f)01-11f02-21/2空域壓縮F.T.F.T.頻域擴展)(1afGax31二、 F.T.定理 3. 位移定理 Shifting g(x-a, y-b)= G(fx, fy) exp-j2(fxa+fyb) 設 g(x,y) G(f

19、x,fy), F.T.頻率位移:原函數(shù)在空間域的相移,導致頻譜的位移.g(x,y) expj2(fax+fby)= G(fx- fa, fy- fb)空間位移:原函數(shù)在空域中的平移,相應的頻譜函數(shù)振幅分布不變,但位相隨頻率線性改變.推論: 由1= d (fx,fy)expj2(fax+fby)= d (fx- fa, fy- fb)復指函數(shù)的F.T.是移位的d 函數(shù)32二、 F.T.定理 4. 帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓,則| g(x) |2dx 代表信號的總能量(或總功率) | G(f) |2代表能量(功率)的譜密度(單位頻率間隔的能量或功率)yx

20、yxdfdfffGdxdyyxg22),(),( 設 g(x,y) G(fx,fy), F.T.Parseval定理說明,信號的能量由|G(f)|2曲線下面積給出.或者說等于各頻率分量的能量之和能量守恒33二、 F.T.定理 - Parseval定理的證明dxdfxfjfGdffxjfGdxxgxgdxxg)2exp() (*)2exp()()(*)()(2交換積分順序,先對x求積分:dxxffjdfdffGfG) (2exp) (*)(利用復指函數(shù)的F.T. ) () (*)(dfdffffGfGd利用d 函數(shù)的篩選性質dffGfG)(*)(思考題:dxxx22) () (sin:Parseval定理求積分利用34二、 F.T.定理 5. 卷積定理空域中兩個函數(shù)的卷積, 其F.T.是各自F.T.的乘積.g(x,y)* h(x,y)= G(fx,fy) . H(fx,fy) 設 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T.F.T.g(x,y) . h(x,y)= G(fx,fy) * H(fx,fy)空域中兩個函數(shù)的乘積, 其F.T.是各自F.T.的卷