(完整word版)高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)分析北師大版必修2,推薦文檔

1、高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)一、直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時我們規(guī)定它的傾斜角為 。度。因此，傾斜角的取值范圍是 0 a 180。（2）直線的斜率定義：傾斜角不是 90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常 用k表示。即k tan 。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng) 0 ,90 時，k 0； 當(dāng) 90 ,180 時，k 0； 當(dāng) 90時，k不存 在。過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：k y一左（x1 x2）X2 xi注意下面四點(diǎn)：（1）當(dāng)xi x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90。；（2）

2、k與P1、P2的順序無關(guān)；（3）以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求（4）求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程點(diǎn)斜式：y y1 k（x x1）直線斜率k,且過點(diǎn), y1注意：當(dāng)直線的斜率為0。時，k=0,直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為 90。時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于 xb所以它的方程是 x=x1。斜截式：y kx b ,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為 b兩點(diǎn)式：巴生（xx2,y1y2）直線兩點(diǎn)x，y1，x2, y2V2 3 x2 x1截矩式：x y 1 a b其中直線l與x軸交于點(diǎn)（a,0），

3、與y軸交于點(diǎn)（0,b）,即l與x軸、y軸的截距分別為a,b。一般式：Ax By C 0 （A, B不全為0）注意：各式的適用范圍特殊的方程如：平行于x軸的直線：y b （b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：x a （a為常數(shù)）；（4）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線Ax By C0 0 （A0,B。是不全為 0的常數(shù)）的直線系：Ax By C 0 （C 為常數(shù)）（二）垂直直線系垂直于已知直線A0x By C0 0 （A,B0是不全為0的常數(shù)）的直線系：Bx Ay C 0 （C 為常數(shù)）（三）過定點(diǎn)的直線系（i）斜率為k的直線系：y y k x x ,直線過定點(diǎn)x,

4、y ；（ii）過兩條直線11 : A1x B1y C1 0, l2:A2x B2y C2 0的交點(diǎn)的直線系方程Ax By C1A2x B2y C2 0 （為參數(shù)），其中直線不在直線系中。（5）兩直線平行與垂直當(dāng) 11 : y k1x b1, l2 ： y k2x b2 時,11/12k1 k2,b1 b2； 11 12k1k21注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。(6)兩條直線的交點(diǎn)11: A1x By C1 0 I2: A2X B2y C2 0相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組 A1x B1y C1 0 的一組解。A2x B2y C20方程組無解 11 % ；方程組有無數(shù)解11與1

5、2重合(7)兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A(X1,y1), BX2,y。是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點(diǎn)，則 |AB| 西X1)2(丫2-y1)2(8)點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)P xo,yo到直線11 : Ax By C 0的距離d 1Axo By c|A2 B2(9)兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。二、圓的方程1、圓的定義：2、圓的方程(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(2) 一般方程 22當(dāng)D E22當(dāng) D2 E2 形。平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑。2.22x a y b r ,圓心 a,b x2 y2 Dx Ey F 0 4F 0時，方程表示圓

6、，此時圓心為24F 0時，表示一個點(diǎn)；當(dāng)D,半徑為r；_D, E ,半徑為r 1后一E2 4F222一2E 4F 0時，方程不表示任何圖(3)求圓方程的方法：若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨(dú)立條件,需求出a, b, r;若利用一般方程，需要求出D, E, F;另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況：(1)設(shè)直線1:Ax By C 0,圓C:xa2 y b 2 r2 ,圓心C a,b到1的距離 為d |Aa Bb C|,則有d r 1與C相離；d r1

7、與C相切；d r1與C相交,A2 B2(2)過圓外一點(diǎn)的切線：k不存在，驗證是否成立 k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k,得到方程【一定兩解】(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2,圓上一點(diǎn)為(x。, y),則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 24、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。、九通222222僅圓 C1:xa1y bir , C2 : x a2 y b2R兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。當(dāng)d R r時兩圓外離，此時有

8、公切線四條；當(dāng)d R r時兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)R r d R r時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)d R r時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng)d R r時，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)d 0時，為同心圓。注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)三、立體幾何初步1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱：幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。棱錐幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形； 平行于底

9、面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到 截面距離與高的比的平方。(3)棱臺：幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個矩形。(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個扇形。(6)圓臺：定義： 以直角梯形的垂直與底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成幾何特征：上下底面是兩個圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個弓形。(7)球體：定義： 以半圓的直徑所

10、在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖;左視圖(從左向右)定義三視圖：主視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影)俯視圖(從上向下)注：主視圖反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；左視圖反映了物體的高度和寬度。3-空間幾何體的直觀圖一一斜二測畫法斜二測畫法特點(diǎn)： 原來與x軸平行的線段仍然與 x平行且長度不變；原來與y軸平行的線段仍然與 y平行，長度為原來的一半。4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積(1)幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。(2)特殊幾何體表面積公式c為底面周長,h為高,S直棱柱側(cè)

11、面積chS圓柱側(cè)rhSE棱錐側(cè)面積h為斜高,1 ch2l為母線)s圓錐側(cè)面積rlS正棱臺側(cè)面積C2)hS圓臺側(cè)面積(rR)S1柱表2錐表S圓臺表rlRl R2(3)柱體、錐體、臺體的體積公式2.ShV圓柱Sh r h-Sh 3V圓錐r 2h(4)1(S. sS S)hV圓臺3球體的表面積和體積公式：1(S SS 3V球=4 r3 ；3S)h(r2rR2R2)hS球面=4 R24、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)。應(yīng)用：判斷直線是否在平面內(nèi)用符號語言表示公理 1: A l,B l,A ,B l 公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的

12、三點(diǎn)，有且只有一個平面。推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)它是證明平面重合的依據(jù)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線符號：平面”和3相交，交線是 a,記作a A3= a。符號語言：P AI B AI B l,P l公理3的作用：它是判定兩個平面相交的方法。它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個點(diǎn)共線的重要依據(jù)。公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行空間直線與直線之間的位置關(guān)系異面直線定義：不同在任何一個

13、平面內(nèi)的兩條直線異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 異面直線所成角：作平行，令兩線相交，所得銳角或直角，即所成角。兩條異面直線所 成角的范圍是(0 , 90 ,若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。求異面直線所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點(diǎn) 選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角(7)等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi) 有無數(shù)

14、個公共點(diǎn).直線不在平面內(nèi)J相交一一只有一個公共點(diǎn).(或直線在平面外)(平行一一沒有公共點(diǎn).三種位置關(guān)系的符號表不 ：a aaid a = Aa / a(9)平面與平面之間的位置關(guān)系：平行一一沒有公共點(diǎn)；a / 3相交有一條公共直線。a n 3 = b5、空間中的平行問題(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行。線線平行線面平行線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個平面平行的判定定理(1)如果一個平面內(nèi)的

15、兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(線面平行一面面平行)，(2)如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行。(線線平行一面面平行)，(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質(zhì)定理(1)如果兩個平面平行， 那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。(面面平行一線面平(2)如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。(面面平行一線線平行)7、空間中的垂直問題(1)線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個

16、平面垂平面和平面垂直：如果兩個平面相交， 所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組 成的圖形)是直二面角(平面角是直角)，就說這兩個平面垂直。(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一 個平面。9、空間角問題(1)直線與直線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為

17、0。兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線a, b平行的直線a, b ,形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所 成的角。(2)直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。平面的垂線與平面所成的角： 規(guī)定為90。平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角, 叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線,在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：(1)斜線上一點(diǎn)到面的垂線；(2)過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。(3)二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)