數(shù)學史概論上.PPT

1、1第第4講講 日照東方日照東方古代與中世紀的東方數(shù)學一、中國傳統(tǒng)數(shù)學一、中國傳統(tǒng)數(shù)學二、印度數(shù)學二、印度數(shù)學三、阿拉伯數(shù)學三、阿拉伯數(shù)學四、中國與印度、阿拉伯的數(shù)學交流四、中國與印度、阿拉伯的數(shù)學交流2中世紀數(shù)學的主角：中世紀數(shù)學的主角： 中國、印度與阿拉伯地區(qū)的數(shù)學。中國、印度與阿拉伯地區(qū)的數(shù)學。東方數(shù)學特色：東方數(shù)學特色：強烈的算法精神強烈的算法精神 所謂所謂“算法算法”并不是單純的計算，而是為了解并不是單純的計算，而是為了解決一整類實際或科學問題而概括出來的、帶有一般決一整類實際或科學問題而概括出來的、帶有一般性計算方法。性計算方法。 注：注：東方數(shù)學在文藝復興以前通過阿拉伯人傳播到東方

2、數(shù)學在文藝復興以前通過阿拉伯人傳播到歐洲，與希臘式的數(shù)學交匯結(jié)合，孕育了近代數(shù)學歐洲，與希臘式的數(shù)學交匯結(jié)合，孕育了近代數(shù)學的誕生。的誕生。3一、一、 中國傳統(tǒng)數(shù)學中國傳統(tǒng)數(shù)學41.1 中國傳統(tǒng)數(shù)學的奠基中國傳統(tǒng)數(shù)學的奠基 萌芽（石器時代、青銅時代）原始社會、夏商周萌芽（石器時代、青銅時代）原始社會、夏商周 積累與奠基（春秋戰(zhàn)國時代、秦、西漢）積累與奠基（春秋戰(zhàn)國時代、秦、西漢）1.2 周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)與數(shù)理天文學與數(shù)理天文學1.3 九章算術(shù)九章算術(shù)與中國傳統(tǒng)數(shù)學的體系與中國傳統(tǒng)數(shù)學的體系5蓋天說蓋天說勾股定理勾股定理宋版書影宋版書影日高術(shù)日高術(shù) 周髀算經(jīng)周髀算經(jīng): : 數(shù)學著作數(shù)學著作, ,

3、天文學著作天文學著作. . “ “蓋天說蓋天說”的代表的代表. . 約成書于西漢時期約成書于西漢時期( (公元前公元前2 2世紀世紀).). 數(shù)學內(nèi)容數(shù)學內(nèi)容: :學習數(shù)學的方法、學習數(shù)學的方法、用勾股定理來計算高深遠近和比用勾股定理來計算高深遠近和比較復雜的分數(shù)計算等較復雜的分數(shù)計算等. .6“勾廣三勾廣三,股修四股修四,徑徑隅五隅五”商高定理商高定理-勾股定理勾股定理返回“以日下為勾以日下為勾,日日高為股高為股,勾股各自乘勾股各自乘,并而開方除之并而開方除之,得邪得邪至日至日.”7勾股定理的證明勾股定理的證明弦弦 圖圖abcaa2b28heSOchhd=+=+表表高高表表距距日日高高表表高

4、高表表高高影影差差影差影差d =后影長后影長BD 前影長前影長AC = b a表距表距AB = e日日前表前表后表后表前影前影后影后影南戴日下南戴日下日遠日遠日高日高A BO A a C B b DSOhhhc日高公式（重差術(shù)）日高公式（重差術(shù)）9返回（1 1）漢簡）漢簡算數(shù)書算數(shù)書算數(shù)書算數(shù)書: 1983年年12月在湖北江陵張家山出月在湖北江陵張家山出土一本西漢初年的竹簡土一本西漢初年的竹簡, 收有許多應用的數(shù)學問收有許多應用的數(shù)學問題題. 現(xiàn)已整理出版現(xiàn)已整理出版(包括包括竹簡照片和釋文竹簡照片和釋文).10九章算術(shù)九章算術(shù)共收有共收有 246246個數(shù)個數(shù)學問題，分為九章。分別是：方學問

5、題，分為九章。分別是：方田、栗米、衰分、少廣、商功、田、栗米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。均輸、盈不足、方程、勾股。 九章算術(shù)九章算術(shù)是世界上最早系是世界上最早系統(tǒng)敘述了分數(shù)運算的著作；其中統(tǒng)敘述了分數(shù)運算的著作；其中盈不足的算法更是一項令人驚奇盈不足的算法更是一項令人驚奇的創(chuàng)造；的創(chuàng)造；“方程方程”章還在世界數(shù)章還在世界數(shù)學史上首次闡述了負數(shù)及其加減學史上首次闡述了負數(shù)及其加減運算法則。運算法則。（2 2）九章算術(shù)九章算術(shù)11 1.1.方田方田：主要是田畝面積的計算和分數(shù)的計算，是世界主要是田畝面積的計算和分數(shù)的計算，是世界 上最早對分數(shù)進行系統(tǒng)敘述的著作。上最早對分數(shù)進行系

6、統(tǒng)敘述的著作。 2.2.粟米粟米：組好事糧食交易的計算方法，其中涉及許多比組好事糧食交易的計算方法，其中涉及許多比 例問題。例問題。 3.3.衰衰（讀作（讀作“翠翠”）分分：主要內(nèi)容為分配比例的算法。：主要內(nèi)容為分配比例的算法。 4.4.少廣少廣：主要講開平方和開立方的方法。：主要講開平方和開立方的方法。 5.5.商功商功：主要是土石方和用工量等工程數(shù)學問題，以體：主要是土石方和用工量等工程數(shù)學問題，以體 積的計算為主。積的計算為主。 6.6.均輸均輸：計算稅收等更加復雜的比例問題。：計算稅收等更加復雜的比例問題。 7.7.盈不足盈不足：雙設(shè)法的問題。：雙設(shè)法的問題。 8.8.方程方程：主要是

7、聯(lián)立一次方程組的解法和正負數(shù)的加減：主要是聯(lián)立一次方程組的解法和正負數(shù)的加減 法，在世界數(shù)學史上是第一次出現(xiàn)。法，在世界數(shù)學史上是第一次出現(xiàn)。 9.9.勾股勾股：勾股定理的應用。：勾股定理的應用。九章算術(shù)九章算術(shù)的內(nèi)容的內(nèi)容12九章算術(shù)九章算術(shù)的數(shù)學成就的數(shù)學成就（1）算術(shù)方面算術(shù)方面 （i）分數(shù)四則運算法則分數(shù)四則運算法則 （ ii）比例算法比例算法: “今有術(shù)今有術(shù)”：a : b = c : x x = b c / a （iii）盈不足盈不足: 是以盈虧類問題為原型是以盈虧類問題為原型, 通過兩次假設(shè)來通過兩次假設(shè)來 求繁瑣、困難的算術(shù)問題的解的方法求繁瑣、困難的算術(shù)問題的解的方法. 如如

8、:今有共買物今有共買物,人出八盈三人出八盈三,人出七不足四人出七不足四,問人數(shù)、物價問人數(shù)、物價 各幾何？各幾何？設(shè)人數(shù)為設(shè)人數(shù)為x, 物價為物價為y, 每人出錢每人出錢a1盈盈b1, 出錢出錢a2不足不足b2 . .則的則的“盈不足術(shù)盈不足術(shù)”相當于給出如下解法：相當于給出如下解法：1212211221121212,bba ba ba ba byxyaaaaxbb13(ii)(ii)正負術(shù)正負術(shù): : 正、負數(shù)的加減運算法則正、負數(shù)的加減運算法則 同名相除同名相除, ,異名相益異名相益, ,正無入負之正無入負之, ,負無入正之負無入正之. .其異名相除其異名相除, ,同名相益同名相益, ,正

9、無入正之正無入正之, ,負無入負之負無入負之. .（2 2）代數(shù)方面）代數(shù)方面 (i)(i)方程術(shù)方程術(shù): : 線性方程組的解法線性方程組的解法 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗； 上禾上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？問題相當于解一個三元一次線性方程組：問題相當于解一個三元一次線性方程組：3239,2334,2326.xyzxyzxyz注：注：關(guān)鍵算法

10、關(guān)鍵算法: 遍乘直除遍乘直除, 即即Gauss消元法消元法.14(iii)(iii)開方術(shù)開方術(shù): : 開平方和開立方的算法開平方和開立方的算法 本質(zhì)本質(zhì): : 減根變換減根變換 過程過程: 開方術(shù)相當于解方程開方術(shù)相當于解方程: x2=A. 設(shè)解設(shè)解 x 是一個是一個 k 位數(shù)位數(shù) , 令令x=10k 1x1 , 方程變?yōu)榉匠套優(yōu)? 102k 2x12 = A , 儀得儀得x1的整數(shù)部分的整數(shù)部分, 記記為為 , 令令 ,則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)? ,其中其中1x111210 xxx212121a xb xA222221222111111010;10102;10kkkabxAAx再議得再議得x2

11、的整數(shù)部分的整數(shù)部分,記為記為 ,令令 , 則方程變則方程變?yōu)闉? , 其中其中上述過程一直下去上述過程一直下去.2x122310 xxx223232a xb xA2121212121121210;(2) 10;()aaba xbAAa xbx15二次方程的數(shù)值求解算法稱為二次方程的數(shù)值求解算法稱為“開帶從平方法開帶從平方法”. .“開方術(shù)開方術(shù)” 指出了開方有指出了開方有開不盡開不盡的情形：的情形： “若開之不盡者，為不可開若開之不盡者，為不可開”。 不盡根數(shù)專門的名字不盡根數(shù)專門的名字面面（3 3）幾何方面）幾何方面 幾何問題具有很明顯的實際背景幾何問題具有很明顯的實際背景. .所有直線形

12、的面積、所有直線形的面積、體積公式都是準確的體積公式都是準確的. .如如: : 正方形、矩形、三角形、梯正方形、矩形、三角形、梯形、長方體、正方體、底面為長方形而有一棱與底面形、長方體、正方體、底面為長方形而有一棱與底面垂直的錐體、上下底面都是長方形的棱臺等垂直的錐體、上下底面都是長方形的棱臺等. .16 芻童（上下底面都是長方形的棱臺）體積公式：芻童（上下底面都是長方形的棱臺）體積公式：(2)(2) 6hVbd adb cabcd羨除（三個側(cè)面均為梯形的楔形體）體積公式為：羨除（三個側(cè)面均為梯形的楔形體）體積公式為：1()6Vabc hl圓面積公式：圓面積公式：2AR這里圓周率這里圓周率 取

13、取3.abhl17學術(shù)界思辨之風再起學術(shù)界思辨之風再起在數(shù)學上也興起了論證的趨勢在數(shù)學上也興起了論證的趨勢最杰出代表最杰出代表: 劉徽、祖沖之父子劉徽、祖沖之父子18最主要成就：最主要成就： 割圓術(shù)割圓術(shù) 面積、體積理論面積、體積理論生卒不詳生卒不詳公元公元263年撰年撰九章算術(shù)注九章算術(shù)注19（一）劉徽的割圓術(shù)（一）劉徽的割圓術(shù)-極限方法極限方法割圓術(shù)的割圓術(shù)的要旨要旨是用圓內(nèi)接正多邊是用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓。形逼近圓。 指出指出: :割之彌細割之彌細, ,所失彌少所失彌少, ,割之割之又割又割, ,以至于不可割以至于不可割, ,則與圓合體而則與圓合體而無所失矣無所失矣. .ECFAGBOr

14、rr設(shè)圓面積為設(shè)圓面積為 Sn ,半徑為半徑為r ,圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正 n 邊形的邊長為邊形的邊長為 ln , 周長為周長為 Ln ,面積為面積為Sn , 將邊數(shù)加倍后將邊數(shù)加倍后, 得到圓內(nèi)接正得到圓內(nèi)接正 2n 邊形邊形, 其邊長其邊長, 周長周長, 面積分別記為面積分別記為 l2n , L2n ,S2n .劉徽注意到當劉徽注意到當 ln 已知已知,由勾股由勾股定理可以求出定理可以求出 l2n .即：即：22222 211222()() nnnlACAGCGlrrl 20化為分數(shù)即為化為分數(shù)即為: 157/50 , 這就是著名的這就是著名的“徽率徽率”.1221()22nnnl rSnAB

15、ODnLr在內(nèi)接在內(nèi)接 n 邊形的每邊上作一高為邊形的每邊上作一高為 CG 的矩形的矩形, 則則2022()nnnnSSSSS劉徽取半徑為一尺的圓劉徽取半徑為一尺的圓, 計算到計算到192邊形邊形, 得出精確到兩位小得出精確到兩位小數(shù)的圓周率的近似值數(shù)的圓周率的近似值3.1421（二）劉徽的面積理論（二）劉徽的面積理論極限方法極限方法出入相補原理：出入相補原理：一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后成若干部分后, ,面積或體積的總和保持不變。面積或體積的總和保持不變。22勾股定理的證明勾股定理的證明23（三）劉徽的體積理論（三）劉徽的體積理論-陽馬

16、術(shù)陽馬術(shù)24252627不易之率：不易之率：陽馬體積陽馬體積Y與鱉臑體積與鱉臑體積 B 之比為之比為2:1對每個小陽馬和每個小鱉臑作同樣的剖分對每個小陽馬和每個小鱉臑作同樣的剖分,則則n次剖分后有次剖分后有:陽馬中除去兩個小陽馬部分的體積陽馬中除去兩個小陽馬部分的體積(記為記為 )為鱉為鱉臑臑中除去兩中除去兩個小鱉個小鱉臑臑部分的體積部分的體積(記為記為 )的的2倍倍, 他們合在一起的體積應他們合在一起的體積應占原壍堵體積的占原壍堵體積的3/4 (劉徽稱為劉徽稱為“已知已知”部分部分), 因而剩余部分因而剩余部分(即兩個小陽馬和兩個小鱉臑即兩個小陽馬和兩個小鱉臑)的體積應占原壍堵體積的的體積應

17、占原壍堵體積的1/4 (稱稱為為“未知未知”部分部分). 若分別用若分別用 記每個小陽馬和小鱉臑的記每個小陽馬和小鱉臑的體積體積,則則1Y1B11,YB11112,2YYYBBB111122,22nnininininiiYYYBBB28已知部分屬陽馬的體積為已知部分屬陽馬的體積為 , 屬鱉臑的體積為屬鱉臑的體積為 , 兩者之比恒為兩者之比恒為2:1 .112niiiY112niiiB未知部分的體積未知部分的體積, 若記為若記為 , 并不妨設(shè)原壍堵體積為并不妨設(shè)原壍堵體積為1, 則則nu1111112 ()22()20484nnnnnnnnnnuYBYB劉徽認為無限剖分下去劉徽認為無限剖分下去,

18、 則得則得不易之率：不易之率： Y : B =2:129（四）球體積公式證明的嘗試（四）球體積公式證明的嘗試30外切立方體積外切立方體積牟合方蓋體積牟合方蓋體積= ？4內(nèi)切球體積內(nèi)切球體積牟合方蓋體積牟合方蓋體積=DDDD劉徽結(jié)論劉徽結(jié)論劉徽劉徽: 敢不闕疑敢不闕疑, 以俟能言者！以俟能言者！31問題關(guān)鍵：如何求外三棋體積和問題關(guān)鍵：如何求外三棋體積和 與小立方體積關(guān)系與小立方體積關(guān)系32最初是附于他所注的最初是附于他所注的九章算術(shù)九章算術(shù)(263)之后之后, 唐唐初開始單行初開始單行, 體例亦是以應體例亦是以應用問題集的形式用問題集的形式 . 全書共全書共9題題, 全是利用測全是利用測量來計算高深廣遠的問題量來計算高深廣遠的問題, 首題測算海島的高、遠首題測算海島的高、遠, 故故得名得名.海島算經(jīng)海島算經(jīng)是中國最是中國最早的一部測量數(shù)學著作早的一部測量數(shù)學著作, 亦亦為地圖學提供了數(shù)學基礎(chǔ)為地圖學提供了數(shù)學基礎(chǔ). （五）（五） 劉徽著劉徽著海島算經(jīng)海島算經(jīng)33祖沖之祖沖之與與祖暅祖暅主要數(shù)學成就：主要數(shù)學成就：(1) (1)