自動(dòng)控制原理第三課湘潭大學(xué)期末復(fù)習(xí)

1、第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)抽象。從狹義上說(shuō)，是一種描述系統(tǒng)各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。而從廣義而言，凡揭示系統(tǒng)各變量?jī)?nèi)在聯(lián)系及關(guān)系的解析解析及圖示圖示等方法都稱之為數(shù)學(xué)模型。因而微分方程微分方程、傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)、信號(hào)流圖信號(hào)流圖、結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖、零極點(diǎn)分布圖零極點(diǎn)分布圖、根根軌跡圖軌跡圖及頻率特性頻率特性等都被稱為數(shù)學(xué)模型。1、建模方法建模方法：解析法解析法從元件或系統(tǒng)所依據(jù)的物理或化學(xué)規(guī)律出發(fā)，建立數(shù)學(xué)模型并經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法對(duì)實(shí)際系統(tǒng)或元件加入一定形式的輸入信號(hào)，用求取系統(tǒng)或元

2、件的輸出響應(yīng)的方法建立數(shù)學(xué)模型。2、建模優(yōu)點(diǎn)建模優(yōu)點(diǎn)：不同的系統(tǒng)，相同的數(shù)學(xué)模型2-1 2-1 控制系統(tǒng)微分方程式的建立控制系統(tǒng)微分方程式的建立1、對(duì)于單輸入對(duì)于單輸入- -單輸出線性定常系統(tǒng)或元件的微分方單輸出線性定常系統(tǒng)或元件的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式程的標(biāo)準(zhǔn)形式： )()()()(0)2(2) 1(1)(tyatyatyatynnnnn)()()(0) 1(1)(txbtxbtxbmmmm輸入量，輸入量， 輸出量，（輸出量，（ ），），（ ）均為實(shí)數(shù)，由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的系數(shù)。 )(tx)(tyia1, 2 , 1 , 0nijbmj, 2 , 1 , 02 2、 利用解析法列寫(xiě)微分方程的一般

3、步驟：利用解析法列寫(xiě)微分方程的一般步驟：1 1） 找出輸入量和輸出量找出輸入量和輸出量2 2） 根據(jù)規(guī)律，圍繞輸入量和輸出量及有關(guān)根據(jù)規(guī)律，圍繞輸入量和輸出量及有關(guān)量量, ,列寫(xiě)原始方程式列寫(xiě)原始方程式3 3） 消去中間變量，整理出只有輸入量和輸消去中間變量，整理出只有輸入量和輸出量及其導(dǎo)數(shù)的方程出量及其導(dǎo)數(shù)的方程4 4） 標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化 介紹了微分方程的建立步驟，下面我們分別以電氣系統(tǒng)和機(jī)械系統(tǒng)為例，說(shuō)明如何列寫(xiě)系統(tǒng)或元件的微分方程式。 一、一、 電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng)1 1、電氣系統(tǒng)一般是由電阻、電感、電容、運(yùn)算放大器、電氣系統(tǒng)一般是由電阻、電感、電容、運(yùn)算放大器等元件組成。等元件組成。2 2、有

4、源器件與無(wú)源器件；有源網(wǎng)絡(luò)與無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。、有源器件與無(wú)源器件；有源網(wǎng)絡(luò)與無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。3 3、基本定律、基本關(guān)系、基本定律、基本關(guān)系基爾霍夫電流定律：基爾霍夫電流定律：0i（2.1-1）（任一節(jié)點(diǎn)）（任一節(jié)點(diǎn)） 基爾霍夫電壓定律：基爾霍夫電壓定律： （2.1-22.1-2）（任一回路）（任一回路）對(duì)電阻：對(duì)電阻： （2.1-32.1-3） 對(duì)電感：對(duì)電感： （2.1-42.1-4）對(duì)電容：對(duì)電容： （2.1-52.1-5）0uRiu dtdiLu dtduCi )(ti)(tui)(0tuRL圖2.1-1LRC電路例例2.1-1)()()()(0tututRidttdiLi（2.1-7） 解：根據(jù)基

5、爾霍夫電壓定律解：根據(jù)基爾霍夫電壓定律：0u（2.1-6） 其中，其中， 則有：則有： dttduCti)()(0)()()()(00220tutudttduRCdttduLCi （2.1-8）取取 則有：則有： RLT 1RCT 2)()()()(00222021tutudttduTdttduTTi（2.1-9） 2.1-9是一個(gè)典型的二階線性常系數(shù)微分方程，它對(duì)是一個(gè)典型的二階線性常系數(shù)微分方程，它對(duì) 應(yīng)應(yīng) 的系統(tǒng)為二階線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)為二階線性定常系統(tǒng)。)(0tu)(tuiC圖2.1-2 電容負(fù)反饋電路iRiC例例2.1-2解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?，根據(jù)基爾霍夫電流定律：有，根據(jù)基爾霍夫電流

6、定律：有 CRii0i0)()(0dttduCRtui)()(0tudttduRCi)()(0tudttduTi（2.1-10）整理得：整理得：（2.1-11）（2.1-12） 2.1-12為一階微分方程，對(duì)應(yīng)一個(gè)一階系統(tǒng)為一階微分方程，對(duì)應(yīng)一個(gè)一階系統(tǒng)。一、一、機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)：存在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的裝置，遵循物理學(xué)的力學(xué)定律。機(jī)械運(yùn)機(jī)械系統(tǒng)：存在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的裝置，遵循物理學(xué)的力學(xué)定律。機(jī)械運(yùn)動(dòng)包括直線運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)包括直線運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。必須掌握的定律必須掌握的定律：1、牛頓第二定律牛頓第二定律：（2.1-13）2、牛頓轉(zhuǎn)動(dòng)定律牛頓轉(zhuǎn)動(dòng)定律：（2.1-14）運(yùn)動(dòng)的物體，摩擦力的表示運(yùn)動(dòng)的物體，摩擦

7、力的表示：（2.1-15）轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，摩擦力矩的表示轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，摩擦力矩的表示：（2.1-16）22dtxdmF 22dtdJTffBCFdtdxfFFFfCfBCTdtdKTTT例例2.1-3 2.1-3 機(jī)械平移系統(tǒng)機(jī)械平移系統(tǒng) 圖2.1-3 機(jī)械平移系統(tǒng)解：根據(jù)牛頓第二定律有解：根據(jù)牛頓第二定律有： 22)()(dttydmmgFFtFBK（2.1-17）其中其中： dttdyfFB)()(0ytykFk0kymg 整理得整理得： )()()()(22tFtkydttdyfdttydm)(1)()()(22tFktydttdykfdttydkm（2.1-22）上）上式是一個(gè)二階微分方程，

8、對(duì)應(yīng)著二階線性定常系統(tǒng)式是一個(gè)二階微分方程，對(duì)應(yīng)著二階線性定常系統(tǒng)。 例例2.1-4 2.1-4 單軸轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)單軸轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)圖2.1-4 機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)解：根據(jù)牛頓轉(zhuǎn)動(dòng)定律解：根據(jù)牛頓轉(zhuǎn)動(dòng)定律22dtdJTfzBTTTdtdJ其中：其中： fTB整理得整理得1）：）： fzTTfdtdJfzTTdtdfdtdJ22 2.1-25是一個(gè)一階微分方程，對(duì)應(yīng)著一階線性定常系統(tǒng)。是一個(gè)一階微分方程，對(duì)應(yīng)著一階線性定常系統(tǒng)。2.1-26是一個(gè)二階微分方程，對(duì)應(yīng)著二階線性定常系統(tǒng)是一個(gè)二階微分方程，對(duì)應(yīng)著二階線性定常系統(tǒng)。 例例2.1-5 2.1-5 多軸傳動(dòng)系統(tǒng)多軸傳動(dòng)系統(tǒng) 圖2.1-5 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)已知已

9、知： 211i322i解：分別對(duì)三軸求解，根據(jù)牛頓轉(zhuǎn)動(dòng)定律解：分別對(duì)三軸求解，根據(jù)牛頓轉(zhuǎn)動(dòng)定律：對(duì)軸對(duì)軸1 1有有： 1112121TTdtdfdtdJ對(duì)軸對(duì)軸2 2有有：32222222TTdtdfdtdJ對(duì)軸對(duì)軸3 3有有： fzTTdtdfdtdJ4332323忽略齒輪嚙合中的功率損耗可得忽略齒輪嚙合中的功率損耗可得： 2211TT3423TT整理得整理得： 211222132121212222132121)()(iiTTdtdiififfdtdiiJiJJfz2-2 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)一、一、 傳遞函數(shù)的引出傳遞函數(shù)的引出 前面我們講了控制系統(tǒng)微分方程微分方程式的建立，控制系統(tǒng)的微分方程

10、微分方程是在時(shí)間域時(shí)間域描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型。在時(shí)間域里由已知的輸入量求輸出量。但由于微分方程的求解求解比較困難困難，所以微分方程所表示的變量間的關(guān)系總是顯得很復(fù)雜復(fù)雜，而且，如果系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)變化或結(jié)構(gòu)形式改變，便需要重新列寫(xiě)并求解微分方程，因此不便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。n 運(yùn)用拉普拉斯變換拉普拉斯變換求解線性常微分方程所得出的傳遞函數(shù)，則把控制系統(tǒng)的輸出和輸入的關(guān)系表示得簡(jiǎn)單明了，它是系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型，它不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，而且可以借以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)或參數(shù)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能系統(tǒng)性能的影響，在后面我們將要講到的古典控制理論中廣泛應(yīng)用的頻率法和根軌跡法，就是在傳

11、遞函數(shù)基礎(chǔ)上建立起來(lái)的。因此，傳遞函數(shù)是在古典控制理論中最基本也是最重要的概念。二、傳遞函數(shù)的定義二、傳遞函數(shù)的定義 若一般的線性定常系統(tǒng)的輸入量和輸出量分別為 、 ，則系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程可引用下列線性常系數(shù)微分方程：)(tx)(ty)()()()(0)2(2)1(1)(tyatyatyatynnnnn)()()(0)1(1)(txbtxbtxbmmmm令令 和 的初始值為零，即： )(tx)(ty 0)(tyi0)(txi) 12 , 1 , 0(mi)12, 1 ,0(ni（2.2-1） 對(duì)式（對(duì)式（2.2-12.2-1）進(jìn)行拉普拉斯變換得）進(jìn)行拉普拉斯變換得: :)()(012211sYas

12、asasasnnnnn= )()(0111sXbsbsbsbmmmm（2.2-2） 拉普拉斯變換能得到（拉普拉斯變換能得到（2.2-22.2-2）式的形式的前提是）式的形式的前提是 和和 的的初始值初始值為為零零, ,否則否則, ,不能得到（不能得到（2.2-22.2-2）式的形）式的形式式, ,因?yàn)橐驗(yàn)?)(tx)(ty)0()()(.XssXtxL)0()0()()(1XXssXstxLnnn對(duì)式（對(duì)式（2.2-22.2-2）提出輸出量和輸入量有）提出輸出量和輸入量有:)()()()(01110111sDsNasasasbsbsbsbsXsYnnnmmmm)()(sXsY是一個(gè)只取決于系統(tǒng)

13、結(jié)構(gòu)的函數(shù)是一個(gè)只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的函數(shù), ,這個(gè)函數(shù)把輸出量這個(gè)函數(shù)把輸出量和輸入量聯(lián)系起來(lái)了和輸入量聯(lián)系起來(lái)了, ,因此我們引入下述定義因此我們引入下述定義: :s在初始條件為零時(shí)在初始條件為零時(shí), ,線性定常系統(tǒng)或元件輸出信號(hào)的線性定常系統(tǒng)或元件輸出信號(hào)的拉氏變換式拉氏變換式與輸入信號(hào)的拉氏變換式與輸入信號(hào)的拉氏變換式之比之比, ,稱為該稱為該系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù), ,通常記為通常記為,因此有因此有:)(sY)(sX)(sG)()()(sXsYsG)()()(sXsGsY由由 和和 可以求出可以求出 值。值。)(sG)(sX)(sY 由上可見(jiàn)，求由上可見(jiàn)，求 的一個(gè)方法

14、，就是利的一個(gè)方法，就是利用系統(tǒng)的微分方程求取拉氏變換。用系統(tǒng)的微分方程求取拉氏變換。)(sG例例2.2-1 2.2-1 求求圖2.1-1 2.1-1 LRC電路的傳遞函數(shù) )(ti)(tui)(0tuRL圖2.1-1LRC電路解：微分方程為： )()()()(00220tutudttduRCdttduLCi在初始條件為零時(shí)，在初始條件為零時(shí)，取拉氏變換得： )()()()(0002sUsUsRCsUsULCsi則： 11)()()(20RCsLCssUsUsGi例例2.2-2 2.2-2 求圖求圖2.1-2 2.1-2 電容負(fù)反饋電路的傳遞函數(shù)電容負(fù)反饋電路的傳遞函數(shù)。C圖2.1-2 電容負(fù)

15、反饋電路)(0tu)(tui解：系統(tǒng)的微分方程為解：系統(tǒng)的微分方程為：)()(0tudttduRCi在零初始條件下取拉氏變換得在零初始條件下取拉氏變換得： )()(0sUsRCsUi則 RCssUsUsGi1)()()(0例2.2-3求圖2.1-3 機(jī)械平移系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 解：已知系統(tǒng)的微分方程為： )()()()(22tFtkydttdyfdttydm在零初始條件下取拉氏變換在零初始條件下取拉氏變換： )()()()(2sFskYsfsYsYms則可得： 111)()()(22skfskmkkfsmssFsYsG 傳遞函數(shù)是在初始條件為零時(shí)定義的，控制系統(tǒng)的零傳遞函數(shù)是在初始條件為零時(shí)定義

16、的，控制系統(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義：初始條件有兩方面的含義：1 1）輸入作用在）輸入作用在 以后才以后才作用于系統(tǒng)；作用于系統(tǒng)；2 2）輸入作用加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)是相對(duì)靜）輸入作用加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)是相對(duì)靜止的。止的。0t傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明 :一、一、1 1、范圍：線性定常系統(tǒng)。傳遞函數(shù)與線性常系、范圍：線性定常系統(tǒng)。傳遞函數(shù)與線性常系數(shù)微分方程一一對(duì)應(yīng)。數(shù)微分方程一一對(duì)應(yīng)。 的結(jié)構(gòu)和各項(xiàng)系數(shù)取的結(jié)構(gòu)和各項(xiàng)系數(shù)取決于系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型與輸入信決于系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型與輸入信號(hào)的具體形式和大小無(wú)關(guān)。號(hào)的具體形式和大小無(wú)關(guān)。)(sG對(duì)象對(duì)象：研究單輸

17、入：研究單輸入- -單輸出情況，若有多個(gè)輸入，單輸出情況，若有多個(gè)輸入，須指定一個(gè)，其余為零。須指定一個(gè)，其余為零。2 2、不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。、不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。 3 3、對(duì)于實(shí)際的元件和系統(tǒng)，、對(duì)于實(shí)際的元件和系統(tǒng)， 是復(fù)變量的有理分式，是復(fù)變量的有理分式，和和 均為有理多項(xiàng)式，各項(xiàng)系數(shù)為實(shí)數(shù)（它們都是系統(tǒng)元件均為有理多項(xiàng)式，各項(xiàng)系數(shù)為實(shí)數(shù)（它們都是系統(tǒng)元件參數(shù)的函數(shù)，而元件參數(shù)只能是實(shí)數(shù)）。參數(shù)的函數(shù)，而元件參數(shù)只能是實(shí)數(shù)）。 另有兩種表達(dá)形式：另有兩種表達(dá)形式：)(sG)(sN)(sD)(sG1212()()()( )( )( )()()()m

18、gnszszszN sG skD sspspspLL) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()()(2121sTsTsTsssksDsNsGnm及 （a） （b） (a)式的特點(diǎn)式的特點(diǎn)；的系數(shù)都是的系數(shù)都是1，為為的零點(diǎn)的零點(diǎn)，, 為為的極點(diǎn)的極點(diǎn)。由于由于N（s）和和D（s）的各項(xiàng)系數(shù)都是實(shí)數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)都是實(shí)數(shù)，所所以零點(diǎn)和極點(diǎn)是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)以零點(diǎn)和極點(diǎn)是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。(b)式的特點(diǎn)式的特點(diǎn)：各因式中常數(shù)項(xiàng)為各因式中常數(shù)項(xiàng)為1，1，2m；T1，T2Tn為為系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，k為放大倍數(shù)為放大倍數(shù)。smzzz21,)(sG1p2pnp)(sG4、mn反映的

19、基本事實(shí)：一個(gè)物理系統(tǒng)的輸出不能立即完全復(fù)現(xiàn)反映的基本事實(shí)：一個(gè)物理系統(tǒng)的輸出不能立即完全復(fù)現(xiàn) 輸入信號(hào)，只有經(jīng)過(guò)一定時(shí)間過(guò)程后，輸出量才能達(dá)到輸入量輸入信號(hào)，只有經(jīng)過(guò)一定時(shí)間過(guò)程后，輸出量才能達(dá)到輸入量 所要求的數(shù)值。（系統(tǒng)必然具有慣性且能源有限所要求的數(shù)值。（系統(tǒng)必然具有慣性且能源有限 ）5、中自變量為復(fù)變量中自變量為復(fù)變量s，是系統(tǒng)的復(fù)域描述是系統(tǒng)的復(fù)域描述；微分方程微分方程的自變量為的自變量為t，是系統(tǒng)在時(shí)域的描述是系統(tǒng)在時(shí)域的描述。)(sG)(sG四、四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)任何一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的。任何一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而

20、成的。KsG)(11)(TSsG典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種：1 1 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)2 2 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)式中式中 K K- -增益增益特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無(wú)失真和時(shí)間延遲。特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無(wú)失真和時(shí)間延遲。實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻( (電位器電位器) )，感應(yīng)式，感應(yīng)式變送器等。變送器等。式中式中 T T- -時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) 特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入, ,其輸出其輸出KSsG)(1)( SsG12)(22SSsG不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無(wú)振蕩。不能立即復(fù)現(xiàn)，輸出無(wú)振蕩。實(shí)例：圖實(shí)例：圖2-42-4所示的所示的RCRC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動(dòng)機(jī)的網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。特點(diǎn)：特