第二部分模糊控制(一、二)

1、 與自動(dòng)控制是在自動(dòng)控制理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一樣，模糊控制是在模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。只有掌握了模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的知識(shí)，才能實(shí)現(xiàn)模糊控制。給定一個(gè)論域，論域中具有某種相同屬性的元素的全體稱為集合。集合常用大寫字母A、B、C等來(lái)表示，集合的元素可用列舉法（枚舉法）和描述法表示。 列舉法：將集合的元素一一列出， 如：A=a1，a2，a3，an。 描述法：通過(guò)對(duì)元素的定義來(lái)描述集合。 如：Axx0 and x/2=自然數(shù)1) 普通集合的基本概念被討論的對(duì)象的全體稱作論域。論域常用大寫字母U、X、Y、Z等來(lái)表示。2.1 普通集合及其運(yùn)算規(guī)則論域中的每個(gè)對(duì)象稱為元素。元素常用小寫字母a、b、x、y等來(lái)

2、表示。若某集合包含論域里的全部元素，則稱該集合為全集。全集常用E來(lái)表示。不包含論域中任何元素的集合稱作空集。空集用來(lái)表示。設(shè)A、B是論域U上的兩個(gè)集合，若集合A上的所有元素都能在集合B中找到，則稱集合A是集合B的子集。記作A B。集合相等設(shè)A、B為同一論域上的兩個(gè)集合，若A B，且B A，則稱集合A與集合B相等。記作A=B。設(shè)A、B為同一論域上的集合，則A與B的并集 、交集 、補(bǔ)集 分別定義為：()AB()AB( )AABu uAoruBABu uAanduBAu uA風(fēng)的強(qiáng)弱人的胖瘦年齡大小個(gè)子高低 在模糊數(shù)學(xué)中，我們稱沒(méi)有明確邊界（沒(méi)有清晰外延）的集合為模糊集合。常用大寫字母下加波浪線的形

3、式來(lái)表示，如 、 等。 元素屬于模糊集合的程度用隸屬度或模糊度隸屬度或模糊度來(lái)表示。 用于計(jì)算隸屬度的函數(shù)稱為隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)。AB1) 模糊集合的概念隸屬度隸屬度即論域元素屬于模糊集合的程度。用 來(lái)表示。隸屬度的值為0，1閉區(qū)間上的一個(gè)數(shù)，其值越大，表示該元素屬于模糊集合的程度越高，反之則越低。計(jì)算隸屬度的函數(shù)稱為隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)。用 表示。( )Ax( )Aix 隸屬度和隸屬函數(shù)的表示形式看起來(lái)很相似，但是它們的意義是完全不一樣的。 指論域中特定元素xi屬于A的隸屬度，而 中的x是一個(gè)變量，可表示論域中的任一元素。( )Aix( )Ax12 ,nUx xx12(),(),(),AAAnAx

4、xx1212()()()AAAnnxxxAxxx例：設(shè)論域U=鋼筆，衣服，臺(tái)燈，紙，它們屬于學(xué)習(xí)用品的隸屬度分別為:1， 0， 0.6， 0.8，則模糊集合學(xué)習(xí)用品可分別用向量表示法和扎德表示法表示如下：100.60.8學(xué)習(xí)用品 （）100.60.8=學(xué)習(xí)用品鋼筆衣服臺(tái)燈紙10.60.8=學(xué)習(xí)用品鋼筆臺(tái)燈紙當(dāng)論域當(dāng)論域U由無(wú)限個(gè)元素組成時(shí)由無(wú)限個(gè)元素組成時(shí)，可用扎德表示法表示AAxAx（ ）xU上式表示模糊集合 由論域U上無(wú)限多個(gè)元素與其相應(yīng)的隸屬度關(guān)系組成。如扎德給出的計(jì)算老年人模糊集合的隸屬函數(shù)為:其論域?yàn)?，200的連續(xù)區(qū)間，論域上任一元素的隸屬度，可通過(guò)隸屬函數(shù)求得。當(dāng)論域當(dāng)論域U為連

5、續(xù)區(qū)域時(shí)為連續(xù)區(qū)域時(shí),模糊集合可用隸屬函數(shù)來(lái)表示201( )51 ()50Axx050 x50200 xU用模糊統(tǒng)計(jì)法確定隸屬度的基本思想*00()limAnuAun的次數(shù)例：用模糊統(tǒng)計(jì)法確定27歲的人屬于“青年人”模糊集合的 隸屬度。武漢工業(yè)大學(xué)張南倫教授調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：表2-1 關(guān)于“青年人”年齡的調(diào)查*27101(27)lim0.78129Ann青年人的次數(shù) 求取論域中足夠多元素的隸屬度，根據(jù)這些隸屬度求出隸屬函數(shù)。具體步驟為：求取論域中足夠多元素的隸屬度； 求隸屬函數(shù)曲線。以論域元素為橫坐標(biāo)，隸屬度為縱坐標(biāo)，畫出足夠多元素的隸屬度（點(diǎn)），將這些點(diǎn)連起來(lái)，得到所求模糊集合的隸屬函數(shù)曲線

6、； 求隸屬函數(shù)。將求得的隸屬函數(shù)曲線與常用隸屬函數(shù)曲線相比較，取形狀相似的隸屬函數(shù)曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)，修改其參數(shù)，使修改參數(shù)后的隸屬函數(shù)的曲線與所求隸屬函數(shù)曲線一致或非常接近。此時(shí)，修改參數(shù)后的函數(shù)即為所求模糊集合的隸屬函數(shù)。隸屬函數(shù)的確定表2-2 1535歲的人屬于青年人的隸屬度由表2-1可分別計(jì)算出1535歲的人屬于模糊集合“青年人”的隸屬度，計(jì)算結(jié)果如下表：例：根據(jù)張南倫教授的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，求 青年人模糊集合的隸屬函數(shù)。根據(jù)表2-2的計(jì)算結(jié)果，以年齡為橫坐標(biāo)，隸屬度為縱坐標(biāo)，繪出隸屬函數(shù)曲線如下圖所示。21182412410024.51()5xxxx青年人（ ）所求隸屬函數(shù)曲線與降半哥西型函數(shù)

7、曲線較相似，降半哥西型隸屬函數(shù)為：11,0,01()xaxaxxa （ ）修改降半哥西型隸屬函數(shù)參數(shù)，使其函數(shù)曲線與所求隸屬函數(shù)曲線非常接近。此時(shí)取=1/25，a=24.5，=2。參數(shù)修改后的降半哥西型函數(shù)即為模糊集合“青年人”的隸屬函數(shù)。即：設(shè) 、 為論域U上的兩個(gè)模糊集合。則 與 的并集( )、交集（ ）、補(bǔ)集（ ）也是論域上的模糊集合。BAAABABAB并集并集：將對(duì)應(yīng)的論域元素的隸屬度兩兩取大。交集交集：將對(duì)應(yīng)的論域元素的隸屬度兩兩取小。 關(guān)系是指對(duì)兩個(gè)普通集合的直積施加某種條件限制后得到的序偶集合。常用R表示。例：A=（1，3，5），B=（2，4，6）則直積集合為：AB =(1，2)

8、 (1，4) (1，6) (3，2) (3，4) (3，6) (5，2) (5，4) (5，6)對(duì)其施加ab的條件限制，則滿足條件的集合為：ABab=(3，2) (5，2) (5，4)對(duì)AB施加ab的條件限制后得到的新的集合定義為關(guān)系，記做R。則：Rab=(3，2) (5，2) (5，4)。關(guān)系R可以用矩陣形式來(lái)表示。一般形式為：11121120()1()nijijmmmnrrrxyRRrrxyRrrr ，（ ），其中，則對(duì)上例有：當(dāng)論域元素有限時(shí)，模糊關(guān)系當(dāng)論域元素有限時(shí)，模糊關(guān)系R可用扎德表示法表示和模糊關(guān)系矩陣可用扎德表示法表示和模糊關(guān)系矩陣來(lái)表示。來(lái)表示。例：設(shè)A和B為兩個(gè)不同論域上的

9、普通集合，A=（1 2 3），B=（1 2 3 4 5），對(duì)AB施加 ab的模糊條件限制后得到一個(gè)模糊關(guān)系為：0.50.810.50.80.51314152 42 535R （， ）（， ）（， ）（ ， ）（ ， ）（ ， ）或000.50.810000.50.800000.5R120()1001Rabababab，（）當(dāng)論域?yàn)檫B續(xù)區(qū)間時(shí)，模糊關(guān)系當(dāng)論域?yàn)檫B續(xù)區(qū)間時(shí)，模糊關(guān)系R可用隸屬函數(shù)來(lái)表示。可用隸屬函數(shù)來(lái)表示。RS( )ijRr()ijSs1,2,im1,2,jnTRS并運(yùn)算：交運(yùn)算：補(bǔ)運(yùn)算：max( ,)()ijijijijijtr srsTRSmin( ,)()ijijijijij

10、tr srsTR1ijijtr 模糊關(guān)系矩陣的轉(zhuǎn)置與普通矩陣的轉(zhuǎn)置相似，即將行和列互相交換，記作 。 TR例如：0.10.20.30.40.50.60.70.80.9R0.1 0.4 0.70.2 0.5 0.80.3 0.6 0.9TR設(shè)同一論域上的兩個(gè)模糊關(guān)系矩陣， ， ，( )ijRr()ijSs1,2,im1,2,jn，。若所有的 ，則稱 包含 ，或 包含于 ，記作 。ijijrsRSSRRSijijrs若所有的 ，則稱 與 相等。記作 。SRSR(4)合成運(yùn)算回憶普通矩陣的乘法運(yùn)算121231 12 41 22 51 32 6344563 14 43 24 53 34 6912151

11、92633 TR S設(shè)模糊關(guān)系 ， ，則 對(duì) 的合成定義為：( )ijm nRr()jkn lSsSR()ikm lTt1()nikijjkjtrs 模糊關(guān)系矩陣的合成與普通矩陣的乘法運(yùn)算過(guò)程一樣，運(yùn)算符號(hào)不同。2RR R3RR R R模糊集合的直積3）模糊推理TA BAB三個(gè)模糊集合的直積定義為：()()LA B CA BCA BCL運(yùn)算表示將括號(hào)內(nèi)的矩陣按行寫成mn維列向量的形式設(shè) 、 分別為不同論域上的模糊集合，則 對(duì) 的直積定義為：ABAB例：設(shè)模糊集合(0.50.70.3)A (0.80.2)B (0.90.4)C 。求A B C解：0.50.50.20.70.80.20.70.20

12、.30.30.2TA BAB0.50.50.40.20.20.20.70.70.4()0.90.40.20.20.20.30.30.30.20.20.2LA B CA BC 復(fù)合詞、否定詞和聯(lián)接詞復(fù)合詞復(fù)合詞=修飾詞修飾詞+原子詞原子詞放在原子詞的前面對(duì)原子詞進(jìn)行修飾的詞。如極、非常、相當(dāng)、比較、略、稍微等。表示概念的最小單位。如：好、差、胖等。常用修飾詞的隸屬函數(shù)為：極非常相當(dāng)比較略稍微1.25AA相當(dāng)4AA極2AA非常0.75AA比較0.5AA略0.25AA稍微集中化算子散漫化算子語(yǔ)氣算子語(yǔ)氣算子否定詞“非”的隸屬函數(shù)：聯(lián)接詞“或”的隸屬函數(shù)：聯(lián)接詞“與”的隸屬函數(shù)：否定詞和聯(lián)接詞共有三個(gè)

13、：“與”、“或”、“非”，它們是人們表達(dá)意思的常用詞，為進(jìn)行模糊數(shù)學(xué)的運(yùn)算，定義其隸屬函數(shù)如下：否定詞、聯(lián)接詞A BABA BAB1AA 三種基本類型的模糊條件語(yǔ)句在程序設(shè)計(jì)中，經(jīng)常用到的三種條件語(yǔ)句if 條件 then 語(yǔ)句if 條件 then 語(yǔ)句1 else 語(yǔ)句2if 條件1 and 條件2 then 語(yǔ)句三種普通條件語(yǔ)句模糊條件語(yǔ)句簡(jiǎn)記形式if A then Bif A then B else Cif A and B then C模糊推理Zadeh推理法是假言推理在模糊事件情況下的一種近似推理方法。1AR若 ，則 ；如今 ；結(jié)論 A1B B1A扎德推理的邏輯結(jié)構(gòu)為：Zadeh推理結(jié)構(gòu)

14、()()ABAE()()A BA C()LA B CA BC若 則 型AB1AR若 ，則 ；如今 ；結(jié)論 A1B B1A若 則 否則 型ABC若 ，則 否則 ；如今 ；結(jié)論ABC1A1B 1AR若 且 則 型ABC若 且 ，則 ；如今 且 ；結(jié)論ABC1A1B111() L TCABR對(duì)上式模糊關(guān)系，可用模糊關(guān)系矩陣表示為：上式中E為全稱矩陣,（與A同維的單位向量）。相應(yīng)的模糊推理為：A若 則B型( , )( )( )1( )ABABAx yxyx()ABRA BA E11ABBAR(i)(ii)控制策略如：若水位偏低，則開大閥門。模糊控制器模糊控制器條件語(yǔ)句AB 設(shè) 、 分別是論域X、Y上的

15、模糊集合，其隸屬函數(shù)分別 為 、 。又設(shè) 是XY論域上描述模糊條件語(yǔ)句“ ”的模糊關(guān)系，其隸屬函數(shù)為：( )Ax( )ByABRA若 則B型ABx12345y 1 2 3 4 5小小大大相應(yīng)的模糊推理結(jié)論為：A若 則B否則C型()()RA BA C1AR1B 設(shè)模糊集合 的論域?yàn)閄， 和 的論域?yàn)閅。則由 “ ” 條件語(yǔ)句所決定的在XY上的模糊關(guān)系 為：ABCRA若 則B否則C型(i)(ii)控制策略如：若水位偏低，則開大閥門，否則關(guān)小閥門。ABC模糊控制器模糊控制器條件語(yǔ)句或() ()RA BA CU取大取大相應(yīng)的模糊推理結(jié)論為：A若 且B則C型A若 且B則C型ABC()LRA B CA B

16、C111() L TCABR11() L TAB11()ABL運(yùn)算表示將括號(hào)內(nèi)的矩陣按行寫成mn維列向量的形式(i)(ii)控制策略如：若水位偏低，且繼續(xù)快速下降，則將閥門開到最大。模糊控制器模糊控制器條件語(yǔ)句ABC(i)在模糊控制中，模糊條件語(yǔ)句的條件對(duì)應(yīng)于模糊控制器的輸入，語(yǔ)句則對(duì)應(yīng)于輸出。(ii)每一條模糊條件語(yǔ)句對(duì)應(yīng)一種控制策略。(iii)控制策略模糊條件語(yǔ)句模糊關(guān)系模糊推理推理結(jié)論(模糊集合形式表示的輸出控制量)()()ABAE()()A BA C()LA B CA BC1AR1B 若 且 則 型ABC1AR1B 111() L TCABR若 則 型AB若 則 否則 型ABC 類型

17、模糊關(guān)系R 模糊推理 掌握了三種基本的模糊條件語(yǔ)句后，一些較復(fù)雜的模糊條件語(yǔ)句的模糊關(guān)系和推理結(jié)論可以在三種基本的模糊條件語(yǔ)句基礎(chǔ)上擴(kuò)展而得到。幾種模糊條件語(yǔ)句的擴(kuò)展if AandBthenCelseDif AthenBelseC可在上進(jìn)行擴(kuò)展，ifAandBandCthenD可在上進(jìn)行擴(kuò)展，if A andB then Cif AorBthenCorD可在上進(jìn)行擴(kuò)展，ifAthenB可在和上進(jìn)行擴(kuò)展，ifAandBthenCandDif AandBthenCif AandBthenD如：模糊條件語(yǔ)句擴(kuò)展的基本原則是：推理結(jié)論均為模糊條件與模糊關(guān)系的合成；模糊關(guān)系擴(kuò)展時(shí)，如果兩個(gè)模糊集合用and相連，模糊關(guān)系中進(jìn)行直積運(yùn)算；如果兩個(gè)模糊集合用or相連，模糊關(guān)系中進(jìn)行并運(yùn)算。if AandBthenCelseDif AthenBelseC可在上進(jìn)行擴(kuò)展，例：擴(kuò)展模糊關(guān)系和推理結(jié)論：()()RABCABD111() L TCABR()()RA BA C1AR1B 原模糊關(guān)系和推理結(jié)論：ifAandBandCthenD可在上進(jìn)行擴(kuò)展，if A andB then C擴(kuò)展模糊關(guān)系和推理結(jié)論：1111() L TDABCR原模糊關(guān)系和推理結(jié)論：RA B C111(