河北省邢臺市邢襄聯(lián)盟2024-2025學年高三上學期10月份期中聯(lián)考數(shù)學試題 含解析

高三年級10月份聯(lián)考數(shù)學注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語、一元二次函數(shù)、方程和不等式、平面向量與復數(shù)、數(shù)列、函數(shù)與基本初等函數(shù)、一元函數(shù)的導數(shù)及其應用、三角函數(shù)與解三角形、立體幾何．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式確定集合，并確定集合中元素，然后由交集定義計算．【詳解】依題意得，，則．故選：C．2.若復數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法法則可求，從而可求.【詳解】由題意得，．故選：B.3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項.【詳解】，，，所以．故選：A.4.設(shè)數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.100 B.110 C.210 D.190【答案】D【解析】【分析】先由題意求出，進而求出并判斷數(shù)列是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前n項和公式即可求解.【詳解】由，得，解得，所以，則，，所以是以10為首項，2為公差的等差數(shù)列，則.故選：D.5.已知某圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圓臺體積公式計算即得.【詳解】根據(jù)題意，可得該圓臺的體積為:.故選：B.6.已知平面向量均為非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律及共線向量的意義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】，則，整理得，而向量均為非零向量，則反向共線且，有；反之，若，可能同向共線，也可能反向共線，即，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則當時，曲線與的交點個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】借助輔助角公式結(jié)合正弦型函數(shù)對稱性可得，再畫出與圖象在同一坐標系中即可得解.【詳解】，其中，且，則有，解得，即，則，即，畫出與圖象如圖所示：由圖可知，曲線y=fx與的交點個數(shù)為.故選：B.8.如圖，已知為某建筑物高，，分別為該建筑物附近的參照物甲、乙的高，，，分別為該建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分別為該建筑物、甲、乙的頂點，經(jīng)測量得米，米，，，在C點測得B點的仰角為33.69°，在B點測得A點的仰角為51.34°，則該建筑物的高約為（參考數(shù)據(jù)，，）（）A.268米 B.265米 C.266米 D.267米【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分別過B，C作，，垂足分別為F，D，過D作，垂足為E．由題中的系列角，借助于直角三角形，利用正弦定理，依次求得，和，即可求出建筑物的高.【詳解】如圖，分別過,作，，垂足分別為F，D，過D作，垂足為E．根據(jù)題意易得，．在中，由正弦定理得，在中，,則，在中，,則，所以米．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】A選項，由誘導公式可判斷選項正誤；B選項，由兩角差的正切公式可判斷選項正誤；C選項，由正切倍角公式可判斷選項正誤；D選項，由正弦倍角公式結(jié)合可判斷選項正誤.【詳解】A選項，由誘導公式，，得，故A錯誤；B選項，由A，，故B正確；C選項，由A，，故C錯誤；D選項，由A，，故D正確.故選：BD10.如圖，在等腰梯形中，E為腰的中點，，，N是梯形內(nèi)（包含邊界）任意一點，與交于點O，則（）A. B.C.的最小值為0 D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量線性運算、三點共線推論、數(shù)量積運算及幾何意義等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】，A正確；設(shè)，則，因為A，O，C三點共線，所以，解得，B正確；由，，可得，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，易知當點N位于點B時，取得最小值，最小值為，C錯誤；當點N為位于點C時，取得最大值，最大值為，D正確．故選：ABD11.已知數(shù)列是常數(shù)列，且，則（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)是常數(shù)列，得.將代入公式即可判斷A項；因為，再根據(jù)裂項相消法求和可判斷B項；根據(jù)放縮法，知，當且僅當時等號成立，再代入選項運算即可判斷C項；根據(jù)放縮法得，再結(jié)合裂項相消法求和即可判斷D項.【詳解】依題意得，所以.對于A，，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，因，當且僅當時等號成立，所以，即，故C正確；對于D，因為，所以，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知命題“，”是假命題，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】先寫出命題“，”的否定，由題可知其為真命題，然后利用的范圍求得的范圍即可.【詳解】由題意得“，”是真命題，故，因為，所以m的取值范圍是．故答案為：13.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為________.【答案】##0.5【解析】【分析】由題意得，問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)在上單調(diào)遞增，接著由正弦函數(shù)性質(zhì)可得，解該不等式組即可得解.【詳解】因為，所以，又在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，所以由正弦函數(shù)性質(zhì)得，解得，則的最大值為.故答案為：.14.曲線與曲線的公切線方程為________．【答案】（或）【解析】【分析】設(shè)公切線為，與曲線相切于點，與曲線相切于點，利用導數(shù)的幾何意義得到，，結(jié)合，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到，即可求解.【詳解】設(shè)，的公切線為，且與曲線相切于點，與曲線相切于點，由，得，則，即①．由，得，則，即②．易得，即③，將②③代入①，可得，令，則，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當且僅當時，等號成立，則，所以，，故曲線與曲線的公切線方程為，即，故答案為：（或）【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于設(shè)出公切線，與曲線相切于點，與曲線相切于點，利用導數(shù)的何意義得到，，進則得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，得到，進而可求出，即可求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若.（1）求角A的大小；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由正弦定理角化邊整理得，再由余弦定理即可得解.（2）先由余弦定理求出，再由正弦定理求出即可求解.小問1詳解】由以及正弦定理得，即，，所以，因為，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理有，解得或一（舍去），根據(jù)正弦定理可得，解得，所以.16.如圖，在五棱錐中，，，，，，．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求平面夾角．【小問1詳解】因為，，，，所以，，則，，因為，平面，平面，所以平面．【小問2詳解】根據(jù)題意可建立如圖所示的空間直角坐標系．，，，則，．易得平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取得．設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．17.已知函數(shù)（）．（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）若不等式對恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對求導，得到，令，得到或，再利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性單間的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的最大值，即可求解.【小問1詳解】由題意得，因為時，令，得或，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，故當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】由，得到，因為，所以，則，令，則，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，得到，所以，故的取值范圍為．18.已知數(shù)列，滿足，，．（1）求，的值；（2）求，的通項公式；（3）求數(shù)列的前項和．【答案】（1），（2），（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系直接求得.（2）根據(jù)遞推關(guān)系，利用構(gòu)造等比數(shù)列的方法，對分成奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況來求得.（3）利用錯位相減求和法、分組求和法來求得.【小問1詳解】根據(jù)題意可得，．【小問2詳解】依題意得，則，所以．當n為奇數(shù)時，，即，當n為偶數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，即，當n為奇數(shù)時，．綜上，【小問3詳解】由（2）得設(shè)，則，兩式相減得，則．設(shè)，則兩式相減得，則．故．19.定義：對于函數(shù)，若，則稱“”為三角形函數(shù).（1）已知函數(shù)，若為二次函數(shù)，且，寫出一個，使得“”為三角形函數(shù)；（2）已知函數(shù)，若“”為三角形函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，證明：“”為三角形函數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由定義中任意性，將條件不等式轉(zhuǎn)化為.求，構(gòu)造二次函數(shù)，使即可；（2）按與的大小分類討論，求解函數(shù)的值域，再結(jié)合定義建立關(guān)于的不等式求解可得；（3）利用（1）結(jié)論得，轉(zhuǎn)化命題證明，構(gòu)造函數(shù)，設(shè)出隱零點探求零點范圍，證明即，將零點滿足關(guān)系式代回化簡換元，再構(gòu)造新函數(shù)，證明即可.【小問1詳解】由，，得，令，解得.當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增.所以.因為為二次函數(shù)，且，所以的對稱軸為，設(shè)，要使“”為三角形函數(shù)，只要，取，則，，滿足，則，即成立.故若，取，可使得“”為三角形函數(shù).（答案不唯一，參考函數(shù)，寫出任意一個滿足題意的都可以）【小問2詳解】，①當時，，則任意，故“”為三角形函數(shù).②當時，由，則，；要使“”為三角形函數(shù)，由，解得，則有，所以；③當時，則，要使“”為三角形函數(shù)，由，解得，則有，所以；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】，.由（1）知，，則任意，；下面證明.由，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減.又，由參考數(shù)據(jù)可知，，則存在唯一的實數(shù)，使，即().所以當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減；故，由()式可知，則，令，則，所以在單調(diào)遞增