河北省邢臺(tái)市邢襄聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月份期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

高三年級(jí)10月份聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語(yǔ)、一元二次函數(shù)、方程和不等式、平面向量與復(fù)數(shù)、數(shù)列、函數(shù)與基本初等函數(shù)、一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角函數(shù)與解三角形、立體幾何．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式確定集合，并確定集合中元素，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】依題意得，，則．故選：C．2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則可求，從而可求.【詳解】由題意得，．故選：B.3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項(xiàng).【詳解】，，，所以．故選：A.4.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.100 B.110 C.210 D.190【答案】D【解析】【分析】先由題意求出，進(jìn)而求出并判斷數(shù)列是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由，得，解得，所以，則，，所以是以10為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則.故選：D.5.已知某圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圓臺(tái)體積公式計(jì)算即得.【詳解】根據(jù)題意，可得該圓臺(tái)的體積為:.故選：B.6.已知平面向量均為非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及共線向量的意義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】，則，整理得，而向量均為非零向量，則反向共線且，有；反之，若，可能同向共線，也可能反向共線，即，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】借助輔助角公式結(jié)合正弦型函數(shù)對(duì)稱性可得，再畫(huà)出與圖象在同一坐標(biāo)系中即可得解.【詳解】，其中，且，則有，解得，即，則，即，畫(huà)出與圖象如圖所示：由圖可知，曲線y=fx與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：B.8.如圖，已知為某建筑物高，，分別為該建筑物附近的參照物甲、乙的高，，，分別為該建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分別為該建筑物、甲、乙的頂點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量得米，米，，，在C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為33.69°，在B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為51.34°，則該建筑物的高約為（參考數(shù)據(jù)，，）（）A.268米 B.265米 C.266米 D.267米【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分別過(guò)B，C作，，垂足分別為F，D，過(guò)D作，垂足為E．由題中的系列角，借助于直角三角形，利用正弦定理，依次求得，和，即可求出建筑物的高.【詳解】如圖，分別過(guò),作，，垂足分別為F，D，過(guò)D作，垂足為E．根據(jù)題意易得，．在中，由正弦定理得，在中，,則，在中，,則，所以米．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由誘導(dǎo)公式可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，由兩角差的正切公式可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，由正切倍角公式可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，由正弦倍角公式結(jié)合可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，由誘導(dǎo)公式，，得，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由A，，故B正確；C選項(xiàng)，由A，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由A，，故D正確.故選：BD10.如圖，在等腰梯形中，E為腰的中點(diǎn)，，，N是梯形內(nèi)（包含邊界）任意一點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，則（）A. B.C.的最小值為0 D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算、三點(diǎn)共線推論、數(shù)量積運(yùn)算及幾何意義等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，A正確；設(shè)，則，因?yàn)锳，O，C三點(diǎn)共線，所以，解得，B正確；由，，可得，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，易知當(dāng)點(diǎn)N位于點(diǎn)B時(shí)，取得最小值，最小值為，C錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)N為位于點(diǎn)C時(shí)，取得最大值，最大值為，D正確．故選：ABD11.已知數(shù)列是常數(shù)列，且，則（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)是常數(shù)列，得.將代入公式即可判斷A項(xiàng)；因?yàn)?，再根?jù)裂項(xiàng)相消法求和可判斷B項(xiàng)；根據(jù)放縮法，知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，再代入選項(xiàng)運(yùn)算即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)放縮法得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和即可判斷D項(xiàng).【詳解】依題意得，所以.對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知命題“，”是假命題，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】先寫(xiě)出命題“，”的否定，由題可知其為真命題，然后利用的范圍求得的范圍即可.【詳解】由題意得“，”是真命題，故，因?yàn)?，所以m的取值范圍是．故答案為：13.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】##0.5【解析】【分析】由題意得，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)在上單調(diào)遞增，接著由正弦函數(shù)性質(zhì)可得，解該不等式組即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，所以由正弦函數(shù)性質(zhì)得，解得，則的最大值為.故答案為：.14.曲線與曲線的公切線方程為_(kāi)_______．【答案】（或）【解析】【分析】設(shè)公切線為，與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，，結(jié)合，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到，即可求解.【詳解】設(shè)，的公切線為，且與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，由，得，則，即①．由，得，則，即②．易得，即③，將②③代入①，可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，所以，，故曲線與曲線的公切線方程為，即，故答案為：（或）【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于設(shè)出公切線，與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的何意義得到，，進(jìn)則得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，得到，進(jìn)而可求出，即可求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c.若.（1）求角A的大??；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由正弦定理角化邊整理得，再由余弦定理即可得解.（2）先由余弦定理求出，再由正弦定理求出即可求解.小問(wèn)1詳解】由以及正弦定理得，即，，所以，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理有，解得或一（舍去），根據(jù)正弦定理可得，解得，所以.16.如圖，在五棱錐中，，，，，，．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求平面夾角．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，，所以，，則，，因?yàn)?，平面，平面，所以平面．【小?wèn)2詳解】根據(jù)題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，，，則，．易得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取得．設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．17.已知函數(shù)（）．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若不等式對(duì)恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，得到，令，得到或，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性單間的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的最大值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得，因?yàn)闀r(shí)，令，得或，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問(wèn)2詳解】由，得到，因?yàn)?，所以，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，得到，所以，故的取值范圍為．18.已知數(shù)列，滿足，，．（1）求，的值；（2）求，的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），（2），（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系直接求得.（2）根據(jù)遞推關(guān)系，利用構(gòu)造等比數(shù)列的方法，對(duì)分成奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況來(lái)求得.（3）利用錯(cuò)位相減求和法、分組求和法來(lái)求得.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意可得，．【小問(wèn)2詳解】依題意得，則，所以．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，即，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，即，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．綜上，【小問(wèn)3詳解】由（2）得設(shè)，則，兩式相減得，則．設(shè)，則兩式相減得，則．故．19.定義：對(duì)于函數(shù)，若，則稱“”為三角形函數(shù).（1）已知函數(shù)，若為二次函數(shù)，且，寫(xiě)出一個(gè)，使得“”為三角形函數(shù)；（2）已知函數(shù)，若“”為三角形函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，證明：“”為三角形函數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由定義中任意性，將條件不等式轉(zhuǎn)化為.求，構(gòu)造二次函數(shù)，使即可；（2）按與的大小分類討論，求解函數(shù)的值域，再結(jié)合定義建立關(guān)于的不等式求解可得；（3）利用（1）結(jié)論得，轉(zhuǎn)化命題證明，構(gòu)造函數(shù)，設(shè)出隱零點(diǎn)探求零點(diǎn)范圍，證明即，將零點(diǎn)滿足關(guān)系式代回化簡(jiǎn)換元，再構(gòu)造新函數(shù)，證明即可.【小問(wèn)1詳解】由，，得，令，解得.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以.因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，且，所以的對(duì)稱軸為，設(shè)，要使“”為三角形函數(shù)，只要，取，則，，滿足，則，即成立.故若，取，可使得“”為三角形函數(shù).（答案不唯一，參考函數(shù)，寫(xiě)出任意一個(gè)滿足題意的都可以）【小問(wèn)2詳解】，①當(dāng)時(shí)，，則任意，故“”為三角形函數(shù).②當(dāng)時(shí)，由，則，；要使“”為三角形函數(shù)，由，解得，則有，所以；③當(dāng)時(shí)，則，要使“”為三角形函數(shù)，由，解得，則有，所以；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)3詳解】，.由（1）知，，則任意，；下面證明.由，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減.又，由參考數(shù)據(jù)可知，，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使，即().所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；故，由()式可知，則，令，則，所以在單調(diào)遞增