2021-2021版高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何6距離的計算學(xué)案北師大版選修2-1

1、6距離的計算【學(xué)習(xí)目標(biāo)I 1.理解點到直線的距離、點到平面的距離的概念2掌握點到直線的距離、點到平面的距離的計算 3體會空間向量解決立體幾何問題的三步曲Q知識梳理知識點一點到直線的距離i點到直線的距離因為直線和直線外一點確定一個平面，所以空間點到直線的距離問題就是空間中某一平面內(nèi)點到直線的距離問題如圖，設(shè)I是過點p平行于向量r jh 定點 作AA丄I，垂足為A,那么點A到直線I的距離d等于線段AA的長度，而向量PA在 s上 的投影的大小 等于線段PA的長度，所以根據(jù)勾股定理有點 A到直線I的距離2點到直線的距離的算法框圖空間一點A到直線I的距離的算法框圖，如圖知識點二點到平面的距離1. 求點到

2、平面的距離作AA丄冗，垂足為A，那么點A到平面n的距離d等于線段AA的長度n的距離d =.2點到平面的距離的算法框圖空間一點A到平面n的距離的算法框圖，如下圖知識點三直線到與它平行的平面的距離如果一條直線平行于平面a，那么直線上的各點向平面a所作的垂線段均相等，即直線上各點到平面a的距離均一條直線上的任一點到與該直線平行的平面的距離，叫作直線與平面的距離知識點四 兩個平行平面的距離和兩個平行平面同時垂直的直線，叫作兩個平面的 .公垂線夾在兩個平行平面之間的局部，叫作兩個平面的 兩個平行平面的公垂線段的長度，叫作兩個平行平面的 函題型探究類型一 求點到直線的距離例1如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有棱長

3、為2的正方體ABCBABCD, E F分別是棱CC和DA的中點，求點 A到直線EF的距離.反思與感悟一點P和一個向量s確定的直線I，那么空間一點 A到直線l的距離的算法步驟(1)計算斜向量PA 計算PA向量S上的投影PA- So；(3)根據(jù)勾股定理，計算 d= P|函2_冋.so|2點A到直線I的距離公式也可以寫成 d=. | PA2-PA- | S|求平行直線間的距離通常轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離 跟蹤訓(xùn)練1 如圖，在直三棱柱 ABC- ABC中，過Al, B, G三點的平面和平面 ABC勺交線為I . 判斷直線AG和I的位置關(guān)系，并加以證明;如果AA = 1, AB= 4, BC= 3，/ A

4、BC= 90，求點 A到直線I的距離類型二求點到平面的距離例2四邊形 ABCD是邊長為4的正方形，E, F分別是AB AD的中點，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且 CG= 2，求點B到平面EFG的距離反思與感悟利用向量求點到平面的距離的一般步驟(1) 求出該平面的一個法向量；(2) 求出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；求出法向量與斜線段對應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對值，再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離跟蹤訓(xùn)練2 點A 1,1，- 1)，平面a經(jīng)過原點 Q且垂直于向量 n= (1 , - 1,1), 求點A到平面a的距離類型三 求直線到與它平行的平面的距離例3 在棱長為a的正方體

5、 ABCDA B C D中，E, F分別是BB , CC的中點(1)求證：AD/平面 A EFD ; 求直線AD到平面A EFD的距離反思與感悟 求線面距離常轉(zhuǎn)化為直線上的點到平面的距離跟蹤訓(xùn)練3 在直棱柱 ABCB ABCD中，底面為直角梯形， AB/ CD且/ ADC= 90, AD= 1,CD=, BC= 2, AA= 2, E是CC的中點求直線 AB與平面ABE的距離類型四 求兩平行平面間的距離例4 如圖，正方體 ABCD Ai B C D的棱長為4, M N, E, F分別為 Ai D, AB, C D, B C的中點，求平面 AMN平面EFBD間的距離反思與感悟 求平行平面之間的距

6、離常轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離跟蹤訓(xùn)練4 正方體 ABCD A B CD的棱長為1，求平面 Ai BD與平面B CD間的距離當(dāng)堂訓(xùn)練1 在棱長為a的正方體 ABCD Ai B C D中，M是AA的中點，那么點A到平面MBD勺距離是D.C.2. 兩平行平面a、卩分別經(jīng)過坐標(biāo)原點0和點A(2,1,1)，且兩平面的一個法向量為 n =(1,0,1)，那么兩平面間的距離是()3A.2C. ;3D.3 .23. 平面a的一個法向量為 n= ( 2, 2,1)，點A 1,3,0)在a內(nèi)，那么P( 2,1,4)到a的距離為.4. 在長方體 ABC ABCD中，底面 ABCD是邊長為2的正方形，高 AA為4，那么

7、點A到截面ABD的距離是.5. 如圖，多面體是由底面為 ABCD勺長方體被截面 AECF所截而得到的，其中 AB= 4, BC= 2,CC= 3, BE= 1.(1)求BF的長；求點C到平面AECF的距離.I一規(guī)律與方法 ,1. 由直線到平面的距離的定義可知，直線與平面的距離，實質(zhì)上就是直線上一點到平面的距 離，可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離來求2. 兩個平行平面的公垂線段就是在一個平面內(nèi)取一點向另一個平面作垂線段，所以兩個平行 平面間的距離可轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的一點到另一個平面的距離，即可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離 求解.提醒：完成作業(yè)第二章 6合案精析知識梳理知識點一1.| PA- so|知識點二yPA2

8、-| PA- so|1. PA n 長度 PA no知識點三相等知識點四公垂線公垂線段距離題型探究例1解如圖，連接AFL T血r f *卜/ aA；/c y正方體 ABCB ABCD 的棱長為 2,二 A(2,0,0),E(0,2,1), F(1,0,2).直線EF的方向向量為EF= (1 , - 2, 1),取直線 EF上一點 F(1,0,2),點A(2,0,0)到直線EF上一點F(1,0,2)的向量為辰 (-1,0,2), AF在匠上的投影為XfEF=十, Xf V6點A到直線EF的距離為AF2- AF亙 2=芳.EF 6跟蹤訓(xùn)練1 解(1)AC/ I.證明如下：/ AQ/ AC A1C?

9、平面 ABC AC 平面 ABC- AQ / 平面 ABC又平面 ACBQ平面 ABG= I ,I / AG.(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，那么 B(4,0,0), G(4,3,0), A(0,0,1),Ci(4,3,1). AiB= (4,0 , - 1) , AG= (4,3,0).過點B作BHLAG,垂足為點 H由(1)知，I / AiG， BH即為點Ai到直線I的距離.T AiB AG16, i Ah =AB AG| Ai G |16T， | BH =2-i 21 3|AiB-|Ai H=-3即點A到直線1的距離為丁.例2解建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系由題意可知 G(0,0,2), E

10、(4 , - 2,0) , F(2 , - 4,0),巳4,0,0), &E= (4，- 2, - 2) , GF= (2 , - 4,- 2),BE (0，- 2,0).設(shè)平面EFG的一個法向量為 n= (x, y, z).得 2X-y- Zx-2y- z= 0,GE n= 0,由Tn = 0,x=- y,z= 3y.令 y = 1，貝y n = ( 1,1 , - 3), 故點B到平面EFG的距離為| EBE- n|220d=mr廠跟蹤訓(xùn)練2解- OA= (1,1， 1),n= (1 , 1,1), 點A到平面 a的距離為d= n| n| 1 1 1|L：3，3.例3(1)證明以D為坐標(biāo)原

11、點，分別以DA DC DD所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖由題意得DA= (a,0,0), =(a, 0,0), DA/ D A./ Dz A 平面 A EFD , AD?平面 A EFD , AD/平面 A EFD .a 解由題意得 D (0,0 , a), F(0 , a, 2)，a BaD F = 0, a, 2 , DF= 0, a, 2 1ayaz= 0,ax= 0.設(shè)平面A EFD的一個法向量為 n= (x, y, z),n - D F = 0, 那么Bn - D A = 0,不妨令z= 1，貝U n= (0 ,扌，1). DF在n上的投影的大小為.|DF- n|

12、2 ,;5d= = a.I n|5直線AD到平面A EFD的距離為跟蹤訓(xùn)練3解 如圖，以點D為坐標(biāo)原點，分別以 DA DC DD所在直線為x軸，y軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，那么A(1,0,2) ，A(1,0,0) ，E(0， ：3, 1)，QO, ,；3，0).過點C作AB的垂線交AB于點F,易得BF= ,：3, - B(1,2 :3 , 0), XB= (0,2 3 0) , BE= ( - 1,- ；3, 1).設(shè)平面 ABE的一個法向量為 n= (x, y, z),n AB= 0,n BE= 0,2 =0,x- ;3y + z= 0 ,y= 0 ,x=z.令 z = 1, 得 n

13、= (1,0,1). AA= (0,0,2),直線AB與平面ABE的距離為例4解如圖，以點D為坐標(biāo)原點，分別以DA DC DD所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，貝y Q0,0,0), M(2,0,4),A(4,0,0),B(4,4,0),曰0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4), EF= (2,2,0), MN= (2,2,0),XM= ( - 2,0,4) , BF= ( - 2,0,4), Ef= MN, AM= bF, EF/ MN AIM/ BF,平面 AMN平面EFBD設(shè)n = (x, y, z)是平面AMIN勺一個法向量,n MN= 2x + 2y= 0,那么

14、n XM=- 2x+ 4z= 0,x= 2z,解得令 z= 1，得 x = 2, y=- 2,y=- 2z.那么 n= (2 , - 2,1).又T XB= (0,4,0),n 商n上的投影為討-8 _ 8 4 + 4+ 13,平面AMh與平面EFBD可的距離為d=汕| nAB = 3.跟蹤訓(xùn)練4 解 以D為坐標(biāo)原點，分別以 DA DC DD所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系那么A(1,0,1),B(1,1,0), D(0,0,1), AiB= (0,1 , 1) , AD= ( 1,0 , 1) , AD = ( 1,0,0).y-z=0,x z= 0.設(shè)平面ABD的一個

15、法向量為n= (x, y, z),n AB= 0, 那么 n AD= 0,令 z = 1,得 y = 1, x=- 1 , n= ( 1,1,1).點D到平面ABD的距離為 n|1-73d =飛=丁 平面ABD與平面BCD間的距離等于點 D到平面ABD的距離,平面ABD與平面BCD間的距離為*3 當(dāng)堂訓(xùn)練1041.A2.B3. 4. 3335.解(1)建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系,x7cyfl那么 D(0,0,0),B(2,4,0), A(2,0,0), Q0,4,0) , E(2,4,1), C(0,4,3).設(shè)點 0,0 , z).截面AECF為平行四邊形, AF= EC,2,0 , z) = ( 2,0,2), z =