數(shù)值分析期末試題

1、-作者xxxx-日期xxxx數(shù)值分析期末試題【精品文檔】第一套一、（8分）用列主元素消去法解下列方程組：二、（10分）依據(jù)下列數(shù)據(jù)構(gòu)造插值多項(xiàng)式：y(0)=1,y(1)= 2,(0)=1, (1)=4三、（12分）分別用梯形公式和辛普生公式構(gòu)造 復(fù)化的梯形公式、復(fù)化的辛普生公式并利用復(fù)化的梯形公式、復(fù)化的辛普生公式計(jì)算下列積分： n=4四、（10分）證明對任意參數(shù)t，下列龍格庫塔方法是二階的。五、（14分）用牛頓法構(gòu)造求公式，并利用牛頓法求。保留有效數(shù)字五位。六、（10分）方程組AX=B 其中A= 試就AX=B建立雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法，并討論a取何值時(shí)迭代收斂。七、（10分）試確定

2、常數(shù)A,B,C,a,使得數(shù)值積分公式 有盡可能多的代數(shù)精確度。并求該公式的代數(shù)精確度。八、6分證明： 其中A為矩陣，V為向量.第二套 一、（8分）用列主元素消去法解下列方程組： 二、（12分）依據(jù)下列數(shù)據(jù)構(gòu)造插值多項(xiàng)式：y(0)=(0)=0,y(1)=(1)= 1,y(2)=1三、（14分）分別用梯形公式和辛普生公式構(gòu)造 復(fù)化的梯形公式、復(fù)化的辛普生公式,并利用復(fù)化的梯形公式、復(fù)化的辛普生公式及其下表計(jì)算下列積分： x0/122/123/124/125/12/2sinx四、（12分）證明下列龍格庫塔方法是三階的。 五、（10分）試確定常數(shù)A,B,C使得數(shù)值積分公式共 2 頁 第 2 頁 有盡可

3、能多的代數(shù)精確度。并求該公式的代數(shù)精確度。六、（14分）用牛頓法構(gòu)造求公式，驗(yàn)證其收斂性。并求1/ e(保留4位有效數(shù)字)。七、10分證明：設(shè)非負(fù)函數(shù)N(x)=為Rn上任意向量范數(shù)，則N(x)是x分量x1,x2,xn的連續(xù)函數(shù).參考答案一、解：（8分）增廣矩陣： (4分) 解得：x1=2/3, x2=-1/3 x3=1./2 （8分）二、解：（12分）注：直接待定系數(shù)簡單，或者用牛頓茶商設(shè) P(x)=0(x)y(0)+1(x) y(1)+2(x)y(2)+0(x) y(0)+1(x) y(1) (4分) 解得： 1(x)=x2(x-2)2 2(x)=(1/12)x2(x-1)2 1(x)=-x

4、2(x-1)(x-2) (4分) P(x)= 1(x) y(1)+2(x)y(2)+1(x) y(1)= 1(x) +2(x)+1(x)= x2(x-2)2+(1/12)x2(x-1)2 +x2(x-1)(x-2) (4分) 三、解：（14分） 推證復(fù)化的梯形公式 (3分) 推證復(fù)化的辛普生公式 (3分)利用復(fù)化的梯形公式利用復(fù)化的辛普生公式 四、（12分）證明：k3=f(xn,yn)+2h/3f(xn,yn)+(2h/3)2f(xn,yn)/2+0(h2) (4分) yn+1=yn+h/4(3 k3+k1)= yn+ h f(xn,yn)+h2f(xn,yn)/2+h3/6f(xn,yn)

5、+0(h3) (8分) yn+1*= yn+ h yn +h2yn/2+h3/6 yn +0(h3)yn+1 -yn+1*=0(h3)則該公式是三階的 (12分) 五、解：（10分） 將1，x,x2代入原式得A+B+C=2 B+2C=2 B+4C=8/3 解得：A=1/3， B=4/3 C =1/3 (8分) 代數(shù)精確度為2 (10分)。 六、證明：（14分）1/x-c=0 Xk+1=xk-=xk(2-cxk)Xk+1-1/c=-c(xk-1/c)2設(shè)rk=1-cxk rk+1=rk2 反復(fù)遞推 rk=(8分) 若選初值0x02/c 1這時(shí)rk趨近于0，從而疊代收斂 (10分)用牛頓法構(gòu)造求1

6、/ eX5=0.3679 （14分） 七、10分證明：設(shè)x=y= (4分) .(10分) 第三套一、 （10分）利用列主元素消去法解方程： 二、 （15分）證明下面龍格-庫塔方法是三階的： 三、 （10分）求3次插值多項(xiàng)式使：P(0)=3, P(1)=5, 四、 （20分）確定下面公式中的a,b，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù): 五、（20分）分別利用梯形公式和Simpson公式推導(dǎo)復(fù)化的梯形公式和Simpson公式，并分別利用復(fù)化的梯形公式和Simpson公式計(jì)算積分(n=8) 六、（15分）用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10在區(qū)間1,1.5上的根。（1）要得到具有3

7、位有效數(shù)的近似根，須作幾次二分；（2）用二分法求具有3位有效數(shù)的近似根。 七、（10分）設(shè)是中的任意范數(shù)，則有參考答案五、 （10分）利用列主元素消去法解方程：解： （5分）x1=139/20, x2=5/2, x3=-3/20 （10分）六、 （15分）證明下面龍格-庫塔方法是三階的： 證:（5分） （9分） （13分）y(xn+1)- yn+1=o(h3) （15分）七、 （10分）求3次插值多項(xiàng)式使：P(0)=3, P(1)=5, 解：設(shè) （2分） （6分）3+4x-2x2+6x2(x-1) （10分）八、 （20分）確定下面公式中的a,b，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)

8、: 解：將1,x，x2,x3代入（4分）得（10分）a=b=1/2（15分）將1,x，x2,x3,x4,x5代入公式的兩端，可得該公式具有4次代數(shù)精確度。（20分）五、（20分）分別利用梯形公式和Simpson公式推導(dǎo)復(fù)化的梯形公式和Simpson公式，并分別利用復(fù)化的梯形公式和Simpson公式計(jì)算積分(n=8) 證: 利用梯形公式推導(dǎo)復(fù)化的梯形公式（5分）Simpson公式推導(dǎo)復(fù)化Simpson公式（10分）解：利用復(fù)化的梯形公式(n=8) =17.22774 （15分）Simpson公式計(jì)算積分 (n=8)=17.32222 （20分） 六、（15分）用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10在區(qū)間1,1.5上的根。（1）要得到具有3位有效數(shù)的近似根，須作幾次；（2）用二分法求具有3位有效數(shù)的近似根。 解：須作3次（5分）將1,1.5 1，1.25, 1.25,1.5 f(1)0, f(1.25) 0, （10分） 將1.25,1.375二分為1.25,1