數(shù)列求和(倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求合法等)

1、-作者xxxx-日期xxxx數(shù)列求和(倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求合法等)【精品文檔】考點(diǎn)4 數(shù)列求和（倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求合法等）1（2015江蘇蘇州市高三上調(diào)考）已知數(shù)列 共有2k項(xiàng)（2k且kN*），數(shù)列 的前n項(xiàng)的和為，滿足=2， =（p1）+2（n=1，2，3，2n1），其中常數(shù)p1（1）求證：數(shù)列 是等比數(shù)列；（2）若p=，數(shù)列 滿足（）（n=1，2，2n），求數(shù)列 的通項(xiàng)公式（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列 ，記，求數(shù)列 的前2k項(xiàng)的和【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列的應(yīng)用 【解】（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)， =2p，則，當(dāng)2n時(shí)，即，故數(shù)列 是等比數(shù)列（2）由（1

2、），得（n=1，2，2n），=，（n=1，2，2n），即數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為，（n=1，2，2n）（3），設(shè)，解得n，又n為正整數(shù)，于是：當(dāng)nk時(shí)，；當(dāng)nk+1時(shí)，數(shù)列 的前2k項(xiàng)的和：2（2015江蘇高考沖刺壓軸卷（三）設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和記為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列 的前n項(xiàng)和記為，求證：.【考點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和【解】（1）當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n2時(shí)，故，（2），其中，當(dāng)n2時(shí)，得，由于，3（2015江蘇高考沖刺壓軸卷（三）已知數(shù)列中，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=，（1）試證明是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為，試求使得成立的n的值，并說明理由 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公

3、式；二次函數(shù)的性質(zhì)；錯(cuò)位相減法求和【解】（1） 二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=，0，整理得， 左右兩邊同時(shí)乘以，得，即 (常數(shù))，是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列， （2） ， ， -得：，整理得 ， 數(shù)列 是單調(diào)遞增數(shù)列 要使成立，即使，整理得n+2， n=1，2，3 4（2015江蘇省南京市高三考前綜合）公差不為零的等差數(shù)列 的前n項(xiàng)之和為，且對(duì)n成立（1）求常數(shù)k的值以及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列中的部分項(xiàng)，恰成等比數(shù)列，其中2，,14，求的值【考點(diǎn)】等差數(shù)列或等比數(shù)列中的基本量問題；錯(cuò)位相減法與裂項(xiàng)相消法【解】（1）法一：條件化為對(duì)n成立 設(shè)等差數(shù)列公差為d，則 分別令n1，2，3得： 由2

4、得，兩邊平方得， 兩邊再平方得，解得d2代入得，由得，所以0，或1又當(dāng)0時(shí)，d0不合題意所以1，d2代入得k1而當(dāng)k1，1，d2時(shí)，等式對(duì)n成立所以k1，法二：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則，代入得，即因?yàn)樯厦娴仁綄?duì)一切正整數(shù)n都成立，所以由多項(xiàng)式恒等可得，因?yàn)閐0，所以解得，所以常數(shù)k1，通項(xiàng)公式（2）設(shè)，則數(shù)列為等比數(shù)列，且故等比數(shù)列的公比q滿足又0，所以q3所以又，所以由此可得所以所以法一：令，則，兩式相減得:， ,代入得法二：因?yàn)樗源氲?5(江蘇省南京市2015屆高三上學(xué)期9月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷)已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為，是等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)

5、列的前n項(xiàng)和.【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式. 【解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.由，得=2+3d，由條件，得方程組解得所以.(2)由題意知，.記.則=，所以，.6. （15淮安市金湖中學(xué)高三上學(xué)期第一次學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）已知為等比數(shù)列，其中=1，且成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 【解】（1）設(shè)在等比數(shù)列中，公比為q，且成等差數(shù)列，解得q=，（2），得：，7等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前n項(xiàng)和為，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為_【答案】75【分析】因?yàn)椋缘那?0項(xiàng)和為10375.8已知函數(shù)，且，則等于_【答案】10

6、0【分析】由題意，得.9數(shù)列，共有十項(xiàng)，且其和為240，則的值為_【答案】130【分析】240(22k20)240240110130.10(2015泰州質(zhì)檢)已知數(shù)列滿足，則_.【答案】【分析】，又.2.，成等比數(shù)列；，成等比數(shù)列，.11已知數(shù)列：，若，那么數(shù)列的前n項(xiàng)和為_【答案】【分析】，.12(2015揚(yáng)州測(cè)試)在數(shù)列中，記為的前n項(xiàng)和，則_.【答案】1005【分析】由，可得，,該數(shù)列是周期為4的數(shù)列，所以.13(2014濟(jì)南模擬)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求，；(2)設(shè)，求.【解】(1)因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?解得d8，所以，.(2)，所以.14(2015石家莊模擬)已知是

7、各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知得，又，解得，.(2)由得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)n1時(shí)，符合上式，.，兩式相減得，.15數(shù)列滿足，則的前60項(xiàng)和為_【答案】1830【分析】，.16在等比數(shù)列中，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_.【答案】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，解得q3.所以，故，所以.則數(shù)列的前n項(xiàng)和為.17(2015南京模擬)數(shù)列滿足，且，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則_.【答案】6【分析】依題意得，則，即數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別相等，則，.18(2015長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)，且，則_.【答案】100【分析】若n為偶數(shù)，則，為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；若n為奇數(shù)，則，為首項(xiàng)為，公差為4的等差數(shù)列所以.19設(shè)，利用倒序相加法，可求得的值為_【答案】5【分析】當(dāng)時(shí)，.設(shè)S，倒序相加有2S，即S5.20在數(shù)列中，記，若對(duì)于任意，A(n)，B(n)，C(n)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和【解】(1)根據(jù)題意A(n)，B(n)，C(n)成等差數(shù)列，A(n)C(n)2B(n)，整理得，數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為3的等差數(shù)列，.(2)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上，.21. (20