南京2012屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(數(shù)學(xué))Word版

1、南京市2012年屆高三第二次模擬考試 數(shù)學(xué)試卷解析 2012.3一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。解析：可知道，又所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是11. 已知 ，其中，為虛數(shù)單位，則 。 解析：將等式兩邊都乘，得到，兩邊比較得結(jié)果為412. 某單位從4名應(yīng)聘者A、B、C、D中招聘2人，如果這4名應(yīng)聘者被錄用的機(jī)會(huì)均等，則A，B兩人中至少有1人被錄用的概率是 。 解析：從題目來(lái)看，所有的可能性共有6種，但A，B都沒(méi)被錄取的情況只有一種，即滿足條件的有5種，所以結(jié)果為4、某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成王五個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)依次為1，2，3，4，5.現(xiàn)從一批該日

2、用品中隨機(jī)抽取200件，對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率的分布如下 12345a0.20.450.150.1 則在所抽取的200件日用品中，等級(jí)系數(shù)的件數(shù)為 。解析：由所有頻率之和為1，可知道a =0.1，由頻率公式可知道所求件數(shù)為20。5、 已知變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是 解析：畫出可行域，可以知道目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是4，2 6、 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率 解析：焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程是，與題是所給比較得，所以結(jié)果為7、 已知圓的經(jīng)過(guò)直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，又經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則圓的方程為 。解析：先求直線得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，

3、可把圓C的方程設(shè)為一般形式，把點(diǎn)坐標(biāo)代入求得x2y2xy20 法2?？梢岳脠A心在弦的垂直平分線上的特點(diǎn)，先求出圓心。并求出半徑，再求。8、 設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和。若，則 。 解析：由可得，從而，故結(jié)果為9、已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為- 1 - / 24 。解析：由圖像可知A=2，=310、在如圖所示的流程圖中，若輸入的值為，則輸出A的值為 。解析：經(jīng)計(jì)算A值是以為循環(huán)的，注意，當(dāng)i =11時(shí)仍循環(huán)，12的時(shí)候出來(lái)，所以有12個(gè)A值，結(jié)果為 11、 一塊邊長(zhǎng)為10的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，加工成一個(gè)如圖所示的

4、正四棱錐形容器。當(dāng)時(shí)，該容器的容積為 。 解析：由題意可知道，這個(gè)正四棱錐形容器的底面是以6為邊長(zhǎng)的正方形，側(cè)高為5，高為4，所以所求容積為4812、下列四個(gè)命題 “”的否定；“若則”的否命題；在中，“”的充分不必要條件；“函數(shù)為奇函數(shù)”的充要條件是“”。其中真命題的序號(hào)是 。（把真命題的序號(hào)都填上）解析：“”的否定；即，是真命題；“若則”的否命題；即，也是真倒是，其余兩個(gè)是假命題很顯然APBFEC13、在面積為的中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則 的最小值是 。解析：如圖所示，沒(méi)由，得，即再用余弦定理得，所以=，令，求導(dǎo)以后可以知道當(dāng)時(shí)，有最小值2 14、已知關(guān)于的方程有唯一解，則實(shí)數(shù)的值為

5、。解析：先將方程化為，由題意知有唯一解，即為“=”兩邊的函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)。畫圖可知道當(dāng)時(shí)，圖像只有一個(gè)交點(diǎn)。解得a =1二、解答題 15（本小題滿分14分）設(shè)向量a(2，sin)，b(1，cos)，為銳角（1）若ab，求sincos的值；（2）若ab，求sin(2)的值解：（1） 因?yàn)閍b2sincos，所以sincos 2分所以 (sincos)212 sincos又因?yàn)闉殇J角，所以sincos 5分（2） 解法一 因?yàn)閍b，所以tan2 7分所以 sin22 sincos，cos2cos2sin2 11分所以sin(2)sin2cos2( ) 14分解法二 因?yàn)閍b，所以tan2 7分

6、所以 sin，cos因此 sin22 sincos， cos2cos2sin2 11分所以sin(2)sin2cos2( ) 14分16（本小題滿分14分）如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEECABCDEF(第16題圖）（1）求證：平面AEC平面ABE；（2）點(diǎn)F在BE上若DE/平面ACF，求的值解：（1）證明：因?yàn)锳BCD為矩形，所以ABBC因?yàn)槠矫鍭BCD平面BCE，ABCDEF(第16題圖）O平面ABCD平面BCEBC，AB平面ABCD，所以AB平面BCE 3分因?yàn)镃E平面BCE，所以CEAB因?yàn)镃EBE，AB平面ABE，BE平面ABE，ABBEB，所以CE平面AB

7、E 6分因?yàn)镃E平面AEC，所以平面AEC平面ABE 8分（2）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OF因?yàn)镈E平面ACF，DE平面BDE，平面ACF平面BDEOF，所以DE/OF 12分又因?yàn)榫匦蜛BCD中，O為BD中點(diǎn)，所以F為BE中點(diǎn)，即 14分17（本小題滿分14分）xyOTMPQN(第17題圖）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(ab0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線xy20相切（1）求橢圓C的方程；（2）已知點(diǎn)P(0，1)，Q(0，2)設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在橢圓C上解：（1）由題意知b 3分因?yàn)殡x心

8、率e，所以 所以a2 所以橢圓C的方程為1 6分（2）證明：由題意可設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(x0，y0)，則直線PM的方程為yx1， 直線QN的方程為yx2 8分證法一 聯(lián)立解得x，y，即T(，) 11分由1可得x0284y02因?yàn)?)2()21，所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上 14分證法二 設(shè)T(x，y)聯(lián)立解得x0，y0 11分因?yàn)?，所以()2()21整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上 14分18（本小題滿分16分）(第18題圖）CABDl某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個(gè)對(duì)角線

9、在l上的四邊形電氣線路，如圖所示為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長(zhǎng)的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長(zhǎng)的材料彎折而成，要求A和C互補(bǔ)，且ABBC（1）設(shè)ABx米，cosAf(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍；（2）求四邊形ABCD面積的最大值解：（1）在ABD中，由余弦定理得BD2AB2+AD22ABADcosA 同理，在CBD中，BD2CB2+CD22CBCDcosC 3分因?yàn)锳和C互補(bǔ)，所以AB2+AD22ABADcosACB2+CD22CBCDcosC CB2+CD22CBCDcosA 5分即 x2+(9x)22 x(9x) cosAx2+(5x)22 x(5x

10、) cosA解得 cosA，即f( x)其中x(2，5) 8分（2）四邊形ABCD的面積S(ABAD+ CBCD)sinAx(5x)+x(9x) x(7x) 11分記g(x)(x24)( x214x49)，x(2，5)由g(x)2x( x214x49)(x24)( 2 x14)2(x7)(2 x27 x4)0，解得x4(x7和x舍) 14分所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(2，4)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(4，5)內(nèi)單調(diào)遞減因此g(x)的最大值為g(4)129108所以S的最大值為6答：所求四邊形ABCD面積的最大值為6m2 16分19（本小題滿分16分）函數(shù)f(x)exbx，其中e為自然對(duì)數(shù)的底（1）當(dāng)b1

11、時(shí)，求曲線yf(x)在x1處的切線方程；（2）若函數(shù)yf(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）當(dāng)b0時(shí)，判斷函數(shù)yf(x)在區(qū)間(0，2)上是否存在極大值若存在，求出極大值及相應(yīng)實(shí)數(shù)b的取值范圍解：（1）記g(x)exbx當(dāng)b1時(shí)，g(x)ex1當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，所以g(x)在(0，)上為增函數(shù)又g(0)10，所以當(dāng)x(0，)時(shí)，g(x)0所以當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)g(x)g(x)，所以f(1)g(1)e1所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1，e1)處的切線方程為：y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x 4分（沒(méi)有說(shuō)明“在x1附近，f(x)exbx”的扣1分)（2）解法一 f(x)

12、0同解于g(x)0，因此，只需g(x)0有且只有一個(gè)解即方程exbx0有且只有一個(gè)解 因?yàn)閤0不滿足方程，所以方程同解于b 6分令h(x)，由h(x)0得x1當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增，h(x)(e，)；當(dāng)x(0，1)時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減，h(x)(e，)；所以當(dāng)x(0，)時(shí)，方程b有且只有一解等價(jià)于be 8分當(dāng)x(，0)時(shí)，h(x)單調(diào)遞減，且h(x)(，0)，從而方程b有且只有一解等價(jià)于b(，0) 綜上所述，b的取值范圍為(，0)e 10分解法二 f(x)0同解于g(x)0，因此，只需g(x)0有且只有一個(gè)解即方程exbx0有且只有一個(gè)解，即exbx有且只有一

13、解也即曲線yex與直線ybx有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 6分1xyO1yexybx（圖1）1xyO1yexybx（圖2）如圖1，當(dāng)b0時(shí)，直線ybx與yex總是有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足要求 8分如圖2，當(dāng)b0時(shí)，直線ybx與yex有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)直線ybx與曲線yex相切設(shè)切點(diǎn)為(x0，e)，根據(jù)曲線yex在xx0處的切線方程為：yee(xx0)把原點(diǎn)(0，0)代入得x01，所以bee 綜上所述，b的取值范圍為(，0)e 10分（3）由g(x)exb0，得xlnb當(dāng)x(，lnb)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減當(dāng)x(lnb，)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增所以在xlnb時(shí)，g(x)取極小

14、值g(lnb)bblnbb(1lnb)當(dāng)0be時(shí)， g(lnb)bblnbb(1lnb)0，從而當(dāng)xR時(shí)，g(x)0所以f(x)g(x)g(x)在(，)上無(wú)極大值因此，在x(0，2)上也無(wú)極大值 12分當(dāng)be時(shí)，g(lnb)0因?yàn)間(0)10，g(2lnb)b22blnbb(b2lnb)0，（令k(x)x2lnx由k(x)10得x2，從而當(dāng)x(2，)時(shí)，k(x)單調(diào)遞增，又k(e)e20，所以當(dāng)be時(shí)，b2lnb0）所以存在x1(0，lnb)，x2(lnb，2lnb)，使得g(x1)g(x2)0 此時(shí)f(x)g(x)所以f(x)在(，x1)單調(diào)遞減，在(x1，lnb)上單調(diào)遞增，在(lnb，x

15、2)單調(diào)遞減，在(x2，)上單調(diào)遞增 14分所以在xlnb時(shí)，f(x)有極大值因?yàn)閤(0，2)所以，當(dāng)lnb2，即ebe2時(shí)，f(x)在(0，2)上有極大值； 當(dāng)lnb2，即be2時(shí)，f(x)在(0，2)上不存在極大值 綜上所述，在區(qū)間(0，2)上，當(dāng)0be或be2時(shí)，函數(shù)yf(x)不存在極大值；當(dāng)ebe2時(shí)，函數(shù)yf(x)，在xlnb時(shí)取極大值f(lnb)b(lnb1) 16分20（本小題滿分16分）已知數(shù)列an滿足：a1 n22n（其中常數(shù)0，nN*）（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)4時(shí)，是否存在互不相同的正整數(shù)r，s，t，使得ar，as，at成等比數(shù)列？若存在，給出r，s，t滿足的條

16、件；若不存在，說(shuō)明理由；（3）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和若對(duì)任意nN*，都有(1)Snan2n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）當(dāng)n1時(shí)，a13當(dāng)n2時(shí)，由a1n22n， 得a1 (n1)22(n1) 得：2n1，所以an(2n1)n1，（n2） 因?yàn)閍13，所以an(2n1)n1 (nN*) 4分（2）當(dāng)4時(shí)，an(2n1)4n1若存在ar，as，at成等比數(shù)列，則(2r1) 4r1 (2t1) 4t1(2s1)2 42s2整理得(2r1) (2t1) 4 rt 2s(2s1)2 6分由奇偶性知rt 2s0所以(2r1) (2t1)(rt1)2，即(rt)20這與rt矛盾，故不存在這樣的正整

17、數(shù)r，s，t，使得ar，as，at成等比數(shù)列 8分（3）Sn3572(2n1)n1當(dāng)1時(shí)，Sn357(2n1)n22n當(dāng)1時(shí)，Sn3572(2n1)n1，Sn 352(2n1)n1(2n1)n(1)Sn32(23n1)(2n1)n32 (2n1)n 10分要對(duì)任意nN*，都有(1)Snan2n恒成立，當(dāng)1時(shí)，左(1)Snanan2n12，結(jié)論顯然成立；當(dāng)1時(shí)，左(1)Snan32 (2n1)nan32 因此，對(duì)任意nN*，都有n恒成立 當(dāng)01時(shí)，只要n對(duì)任意nN*恒成立只要有即可，解得1或因此，當(dāng)01時(shí)，結(jié)論成立 14分當(dāng)2時(shí)，n顯然不可能對(duì)任意nN*恒成立當(dāng)12時(shí)，只要n對(duì)任意nN*恒成立只

18、要有即可，解得1因此當(dāng)1時(shí)，結(jié)論成立 綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為(0， 16分21A選修41：幾何證明選講(第21A題圖）ABGCHEFD如圖，已知AD，BE，CF分別是ABC三邊的高，H是垂心，AD的延長(zhǎng)線交ABC的外接圓于點(diǎn)G求證：DHDGB選修42：矩陣與變換設(shè)矩陣M（1）求矩陣M的逆矩陣M1；（2）求矩陣M的特征值21A選修41：幾何證明選講(第21A題圖）GABCHEFD證明：連結(jié)BG如圖，因?yàn)锳D是ABC的高，所以CADACB 2分同理HBDACB所以CADHBD 4分又因?yàn)镃ADCBG，所以HBDCBG 6分又因?yàn)锽DHBDG90，BDBD，所以BDHBDG所以DHDG 10分B

19、選修42：矩陣與變換解：（1）矩陣A(adbc0)的逆矩陣為A1所以矩陣M的逆矩陣M1 5分（2）矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(l)l24l5 令f(l)0，得到M的特征值為1或5 10分21C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，判斷曲線C：(q為參數(shù)）與直線l：(t為參數(shù))是否有公共點(diǎn)，并證明你的結(jié)論解法一：直線l的普通方程為x2y30 3分曲線C的普通方程為 3分由方程組得因?yàn)闊o(wú)解，所以曲線C與直線l沒(méi)有公共點(diǎn) 4分（注：計(jì)算出錯(cuò)，但位置關(guān)系正確，得2分）解法二：直線l的普通方程為x2y30 3分把曲線C的參數(shù)方程代入l的方程x2y30，得2cosq2sinq30，即sin(q)

20、 3分因?yàn)閟in(q)，而，所以方程sin(q)無(wú)解即曲線C與直線l沒(méi)有公共點(diǎn) 4分（或sin(q)，所以sin(q)無(wú)解即曲線C與直線l沒(méi)有公共點(diǎn) 4分）21D選修45：不等式選講已知a0，b0，ab1，求證：證法一：因?yàn)閍0，b0，ab1，所以 ()(2a1)(2b1)14 5分529 3分而 (2a1)(2b1)4，所以 2分證法二：因?yàn)閍0，b0，由柯西不等式得()(2a1)(2b1) 5分()2(12)29 3分由ab1，得 (2a1)(2b1)4，所以 2分證法三：設(shè)，則且 2分 只需證明即可 2分因?yàn)?2分 且，所以故 2分22甲、乙兩班各派三名同學(xué)參加青奧知識(shí)競(jìng)賽，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分假設(shè)甲班三名同學(xué)答對(duì)的概率都是，乙班三名同學(xué)答對(duì)的概率分別是，且這六個(gè)同學(xué)答題正確與否相互之間沒(méi)有影響（1）用X表示甲班總得分，求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；（2）記“兩班得分之和是