(完整版)高中數(shù)學數(shù)列專題大題訓練

1、高中數(shù)學數(shù)列專題大題組卷一 選擇題(共 9 小題)1. 等差數(shù)列&的前 m 項和為 30,前 2m 項和為 100,則它的前 3m 項和為()A. 130 B. 170 C. 210 D. 2602.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an , a1a2a3=5, aza8a9=10,貝 U a4a5a6=()A. |gB. 7C. 6 D. |423. 數(shù)列an的前 n 項和為 Sn,若 a1=1, an+1=3Sn(n1),貝Ua6=()A.3X44B.3X44+1 C. 44D. 44+14.已知數(shù)列an滿足 3an+什 an=0, &=-乜，則an的前 10 項和等于()A.- 6 (1-310

2、) B. *(137) C. 3 (1 310)D. 3 (1+310)5. 等比數(shù)列an的前 n 項和為 Sn,已知 Sb=a2+10a1, a5=9,則 a1=()A. B. -4-C.丄 D.-丄33996.已知等差數(shù)列an滿足 a2+a4=4, a3+a5=10,則它的前 10 項的和 Si0=()A. 138 B. 135 C. 95 D. 237. 設等差數(shù)列an的前 n 項和為 S,若 Sm-1= - 2, Sm=0, Sm+1=3,則 m=()A. 3 B. 4C. 5 D. 68. 等差數(shù)列an的公差為 2,若 a2, a4, a8成等比數(shù)列，則an的前 n 項和 Sn= (

3、 )A. n (n+1)B. n (n- 1)C.口血+。D.門門；D9.設an是等差數(shù)列，下列結論中正確的是()A.若 a1+a20,貝Ua2+a30B.若 a1+a3V0，貝Ua1+a20C.若 0a1a2,貝 U a2D.若 a10二.解答題(共 14 小題)10. 設數(shù)列an (n=1, 2, 3,)的前 n 項和 S 滿足 S=2sn- a1,且 a1, a2+1, a3成等差數(shù)列.(I)求數(shù)列an的通項公式；(記數(shù)列丄 的前n項和為Tn，求使得|Tn-卅丈需成立的n的最小值.ii .設等差數(shù)列 an 的公差為 d， 前 n 項和為 S，等比數(shù)列 bn 的公比為 q， 已 知 bi=

4、ai，b2=2，q=d，So=iOO.(i)求數(shù)列an，bn的通項公式12.已知數(shù)列an滿足 ai=1，an+i=3cn+1.an+二是等比數(shù)列，并求an的通項公式;+ L13已知等差數(shù)列an的公差不為零，ai=25，且 ai，aii，ai3成等比數(shù)列.(I)求an的通項公式；(n )求 a 什 a4+a7+a3n-2.14. 等差數(shù)列an中，a7=4，ai9=2a9,(I)求an的通項公式；(U )設 bn=%(I) S 為an的前 n 項和，證明：(U)設 bn=log3ai+log3a2+log3an，求數(shù)列bn的通項公式.i6.已知數(shù)列an滿足 an+2=qan(q 為實數(shù)，且1)，n

5、 N*，ai=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4， a4+a5成等差數(shù)列(1)求 q 的值和an的通項公式；(2)當 d 1 時，記 Cn,求數(shù)列Cn的前 n 項和 Tn.(I)證明,求數(shù)列bn的前 n 項和 Sn.15. 已知等比數(shù)列an中，ai十，公比 q 丄.(U)證明:i7已知數(shù)列an是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列-的前 n 項和為an arr+l(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設 bn= (an+1) ?2,求數(shù)列bn的前 n 項和 Tn.18 .已知數(shù)列an和bn滿足 ai=2 , bi=1 , an+i=2an( n N*),*bi+ b2+ b3+ + -bn=bn+i 1

6、 (n N ):(I )求 an與 bn；(n)記數(shù)列anbn的前 n 項和為 Tn,求 Tn.19.已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且 a 什 a4=9, a2a3=8.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2)設 sn為數(shù)列an的前 n 項和，bn=節(jié)1，求數(shù)列bn的前 n 項和 Tn.20.設數(shù)列an的前 n 項和為 S,已知 2&=3n+3.(I)求an的通項公式；(n)若數(shù)列bn，滿足 anbn=log3an，求bn的前 n 項和 Tn.2i .設數(shù)列an的前 n 項和為 S.已知 ai=a, an+i=S+3n，n N*.由(I)設 bn=S- 3n,求數(shù)列bn的通項公式；(n)若 an+

7、ian, n N*，求 a 的取值范圍.22.已知等差數(shù)列an的公差為 2,前 n 項和為 Sn,且 S, 9, &成等比數(shù)列.(I)求數(shù)列an的通項公式；(n)令 bn= ( i)ni山，求數(shù)列bn的前 n 項和 Tn.23.數(shù)列an滿足 ai=i, nan+i= (n+i) an+n (n+i), n N*.(I)證明：數(shù)列 r1是等差數(shù)列；n(n)設 bn=3n?，求數(shù)列bn的前 n 項和 Sn.(2)設 bn=a2n- 1，n N*，求數(shù)列bn的前 n 項和.高中數(shù)學數(shù)列專題大題組卷參考答案與試題解析一 選擇題（共 9 小題）1.（ 1996?全國）等差數(shù)列an的前 m 項和為 30,

8、前 2m 項和為 100,則它的前3m 項和為（）A. 130 B. 170 C. 210 D. 260【分析】利用等差數(shù)列的前 n 項和公式，結合已知條件列出關于 a1,d 的方程組, 用 m表示出 a1、d,進而求出 S3m；或利用等差數(shù)列的性質(zhì)，sm, S2m- Sm, S3m- S2m成等差數(shù)列進行求解.【解答】解：解法 1：設等差數(shù)列an的首項為 a1,公差為 d,1)ma +- d- 302ID(2m 一 1)2 m且+-二-d-100C10(D+2),a1=故選 C.解法 2：v設an為等差數(shù)列，-Sm, S2m Sm, S3m S2m成等差數(shù)列, 即 30, 70, S3m 1

9、00 成等差數(shù)列， 30+S3m100=70X2,解得 S3m=210.故選 C.【點評】解法 1 為基本量法，思路簡單，但計算復雜；解法 2 使用了等差數(shù)列的一個重要性質(zhì)，即等差數(shù)列的前n 項和為 Sn,則 Sn, S2n Sn, S3n S2n, 成等差數(shù)列.由題意得方程組解得 d=rn3m (3m-1)二 S3m=3ma1+丄3m(3in 1)12 2=210.2.(2010?大綱版I)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an, aia233=5, a7a8a9=10, 則a4a5a6=()A.：B. 7 C. 6D. 1 :【分析】由數(shù)列an是等比數(shù)列，則有 aia2a3=5? a23=5；a7

10、a8a9=10? a83=10.【解答】解：aia2a3=5? a23=5；a7a8a9=10? a83=10，2a5=a2a8，故選 A.【點評】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)幕的運算、根式與指數(shù)式的互化 等知識，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.3.(2011?四 川)數(shù)列an的前 n 項和為 Sn,若 ai=1, an+i=3S(n 1),則 a6=()A.3X44B.3X44+1 C. 44D. 44+1【分析】根據(jù)已知的 an+1=3Si，當 n 大于等于 2 時得到 an=3Si-1，兩者相減，根 據(jù)Sn-Sn-1=an,得到數(shù)列的第 n+1 項等于第 n 項的 4 倍(n 大于

11、等于 2),所以 得到此數(shù)列除去第 1 項， 從第 2 項開始， 為首項是第 2 項， 公比為 4 的等比數(shù)列，由 a1=1, an+1=3S，令 n=1,即可求出第 2 項的值，寫出 2 項以后各項的通項公式， 把 n=6 代入通項公式即可求出第 6 項的值.【解答】解：由 an+1=3S,得到 an=3Si-1(n2),兩式相減得：an+1- an=3 ( Sn- Sn-1) =3an,則 an+1=4an (n2),又 a1=1, a2=3S=3ai=3,得到此數(shù)列除去第一項后，為首項是 3,公比為 4 的等比數(shù)列，所以 an=a2qn-2=3X4n-2(n 2)則 a6=3X44.故選

12、 A【點評】此題考查學生掌握等比數(shù)列的確定方法， 會根據(jù)首項和公比寫出等比數(shù) 列的通項公式，是一道基礎題.4.（2013?大綱版）已知數(shù)列an滿足 3an+i+an=0, a2=-，則an的前 10 項和 等于（）A. 6 （1 - 310） B.寺仕孑-山）C. 3 （1 310）D. 3 （1+310）【分析】由已知可知，數(shù)列an是以-L 為公比的等比數(shù)列，結合已知2=-可313求 a1,然后代入等比數(shù)列的求和公式可求【解答】解：3an+1+an=0+1 _7數(shù)列an是以-一為公比的等比數(shù)列-_ 4-時亍二 a1=441 - 斗10由等比數(shù)列的求和公式可得， $0=-=-=3 （1-3-1

13、0）I H故選 C【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應用，屬于基礎試題5.（2013?新課標U）等比數(shù)列an的前 n 項和為 S,已知 Ss=a?+10a1，a5=9,則（且斗 aLq+芒q厶二1口十a(chǎn) 巧J二9【解答】解：設等比數(shù)列an的公比為 q，a1=（【分析】設等比數(shù)列an的公比為 q，利用已知和等比數(shù)列的通項公式即可得A.B.D.，解出即可.TS3=a2+10a1，氏=9，23 + atq二釗田口引 H巧q二91故選 c.【點評】熟練掌握等比數(shù)列的通項公式是解題的關鍵.6. （2008?全國卷I）已知等差數(shù)列an滿足 a2+a4=4, a3+a5=10,則它的前

14、 10 項 的和 Sio=（）A. 138 B. 135 C. 95 D. 23【分析】本題考查的知識點是等差數(shù)列的性質(zhì)，及等差數(shù)列前n 項和，根據(jù)a2+a4=4, a3+a5=10 我們構造關于基本量（首項及公差）的方程組，解方程組求出 基本量（首項及公差），進而代入前 n 項和公式，即可求解.【解答】解：（as+a5）-（ a2+a4） =2d=6,二 d=3， ai= - 4,-Si0=10ai+故選 C【點評】在求一個數(shù)列的通項公式或前 n 項和時，如果可以證明這個數(shù)列為等差 數(shù)列，或等比數(shù)列，則可以求出其基本項（首項與公差或公比）進而根據(jù)等差或 等比數(shù)列的通項公式，寫出該數(shù)列的通項公

15、式，如果未知這個數(shù)列的類型，則可 以判斷它是否與某個等差或等比數(shù)列有關，間接求其通項公式.7. （2013?新課標I）設等差數(shù)列an的前 n 項和為 Sn,若 Sm-1= - 2, Sm=0, Sn+1=3,則 m=（）A. 3 B. 4C. 5 D. 6【分析】 由an與Si的關系可求得am+1與am,進而得到公差d,由前n項和公式 及Sm=0可求得 a1，再由通項公式及 am=2 可得 m 值.【解答】 解：am=Sn Sn-1=2, am+1=Sn+1- Sn=3,所以公差 d=am+1- am=1,，解得二g1ai=i=95.Sm=0,得 ai=- 2,2所以 am=- 2+ (m -

16、 1) ?仁 2,解得 m=5,故選 C.【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前 n 項和公式及通項 an與 S 的關系, 考查學生的計算能力.8. (2014?新課標n)等差數(shù)列an的公差為 2,若 a2, a4, as成等比數(shù)列，則an的前 n 項和 sn=()2【分析】由題意可得 a42= (a4- 4) (a4+8),解得 a4可得 a1,代入求和公式可得.【解答】解：由題意可得 a42=a2?as,即 a42= (a4- 4) (a4+8),解得 a4=8,【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎題.9.(2015?北京)設an是等差數(shù)列，下列結論中正確的是()A.若 a 什

17、 a20,貝Ua2+a30B.若 a1+a30，貝Ua 什 a20C.若 0a1 a2,則a2：D.若 a10【分析】對選項分別進行判斷，即可得出結論.【解答】解：若 a1+a20,則 2a1+d0, a2+a3=2ai+3d2d, d0 時，結論成立，即 A 不正確；若 a1+a30，貝Ua 計 a2=2a1+d 0, a2+a3=2ai+3d2d, d0 時，結論成立，即 B不正確；A. n (n+1)B. n (n- 1)-a1 =a43x2=2,n(n- 1)1:d,n(n L)2故選：A.Sn=nai+=2n+x2=n(n+1),an是等差數(shù)列，0 a1 2 .-；,二 a2 .,即

18、 C 正確；若 aiv0,則(a2- ai) (a2- a3)= - d22),再由已知 a1, a2+1, a3成等差數(shù)列求出數(shù)列首項，可得數(shù)列an是首項為 2,公比為 2 的等比數(shù)列，則 其通項公式可求；(n)由(I)求出數(shù)列一的通項公式，再由等比數(shù)列的前 n 項和求得 Tn, 結合求解指數(shù)不等式得 n 的最小值.51000【解答】解：(I)由已知 S=2ai- a1，有an=Sn Si-1=2an 2an-1（n2）,即 an=2an-1（n2）,從而 a2=2a1, a3=2a2=4a1,又Ta1, a2+1, a3成等差數(shù)列，a1+4a1=2 （2a 什 1）,解得：a1=2.數(shù)列a

19、n是首項為 2,公比為 2 的等比數(shù)列.故 弘二廠;二 n10.(n)由(I)得:,即 2n 1000. 29=512v1000v1024=210,11于是，使|Tn- 1| V 一成立的 n 的最小值為 10.1000【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、 等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和 公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.11. （2015?湖北）設等差數(shù)列an的公差為 d,前 n 項和為 Sn,等比數(shù)列bn的 公比為 q,已知 b1=ai, b2=2, q=d,So=1OO.（1）求數(shù)列an , bn的通項公式（2）當 d 1 時，記 Cn=：，求數(shù)列cn的前 n 項和 T

20、n.【分析】（1）利用前 10 項和與首項、公差的關系，聯(lián)立方程組計算即可；（2）當 d 1 時，由（1）知 Cn=j，寫出 Tn、當 Tn的表達式，利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計算即可.解得丿【解答】解：（1）設 a1=a,由題意可得10a+45d=100ad=2時，an=2 n 1, bn=2nbn=9? 一 （2）當 d 1 時，由（1）知 an=2n-1, bn=2n1,%2n- L一:+ (2n 1) ?-n2+ (2n 3) ?-n + (2n1),=3-3?【點評】本題考查求數(shù)列的通項及求和，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，注S=1d二,心丄(2n+79),當卜二 =1+

21、3?丄+5?1.22+7?丄 +9? 2324(2n 1)2意解題方法的積累，屬于中檔題.12. (2014?新課標U)已知數(shù)列an滿足 ai=1, &+i=3an+1.【分析】(I)根據(jù)等比數(shù)列的定義，后一項與前一項的比是常數(shù)，即 數(shù)，又首項不為 0,所以為等比數(shù)列；再根據(jù)等比數(shù)列的通項化式，求出an的通項公式；(U)將丄進行放大，即將分母縮小，使得構成一個等比數(shù)列，從而求和，證明不等式.【點評】本題考查的是等比數(shù)列，用放縮法證明不等式，證明數(shù)列為等比數(shù)列, 只需要根據(jù)等比數(shù)列的定義就行；數(shù)列與不等式常結合在一起考，放縮法是常用 的方法之一，通過放大或縮小，使原數(shù)列變成一個等比數(shù)列，或可以用

22、裂項相消法求和的新數(shù) 列當 n 2 時，：3n- 1 3n- 3n當n=1 時,1 ,1La21當 n 2 時,3R_12=-3n-3n1屮-11-(丄)門13 -；-_1-TC130, 二 an=ai+ (n 1) d, an+i=ai+ nd,令 Cn=一n= , 呂+ndn又.數(shù)列的前n項和為=,I ai=1 或-1 (舍)，d=2, an=i+2 (n- i) =2n- i ；(2)由(i) 知 bn= (an+i) ?2 J= (2n i+i) ?22n1=n?4n,二 Tn=bi+b2+bn=1?41+2?42+n?4n, 4Tn=1?42+2?43+ + (n - 1) ?4n+

23、n?4n+i,1 -如3Tn=41+42+-+4n n?4n+1= _ - ?4n+1(3n-l)-4n+1+4【點評】本題考查求數(shù)列的通項及求和，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，注 意解題方法的積累，屬于中檔題.1則Cn=d+GSd】(引+a 飛兩式相減，得-+ . +aj 4-2d季+(n- 1 )d18.( 2015?浙江)已知數(shù)列和bn滿足 ai=2, bi=1, an+i=2an(n N*),*bi+b2+b3+*bn=bn+i- 1 (n N )23 n(I)求 an與 bn；(n)記數(shù)列anbn的前 n 項和為 Tn,求 Tn.【分析】(I)直接由 ai=2, an+i=2an,

24、可得數(shù)列an為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列an的通項公式;整理得數(shù)列J 為常數(shù)列，由此可得bnnn的通項公式;然后利用錯位相減法求數(shù)列anbn的前 n 項和為 Tn.【解答】解：(I)由 ai=2,an+i=2cb,得-二、十J由題意知，當 n=i 時，bi=b2- i,故 b2=2,(n)由(I)知,因此.，.+ ”，- +.2Tn= 22+2* 2324+-+n - 21*1 I : -fL _ ： (nN*).【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列等基礎知識, 同時再由 bi=i, bi+b2遞推式，作差得到是b3+n=bn+i-3 ni，取 n=i 求得

25、b2=2,當 n2 時，得另(n)求出當n2時，biib2b3+-I ,，整理得: (疋 N*)；.1 -I1口- 1 %btr+1 %=bn- i，和原遞推式作差得,兩式作差得:.一:八:/-1,n+1 n考查數(shù)列求和等基本思想方法，以及推理論證能力，是中檔題.i9.(20i5?安徽)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且 ai+a4=9, a2a3=8.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設 sn為數(shù)列an的前 n 項和，bn_過廿1，求數(shù)列bn的前 n 項和 Tn.SnSn+l【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出首項和公比即可，求數(shù)列an的通項公式；(2)求出 bn二，利用裂項法即可求數(shù)列b

26、n的前 n 項和 Tn.SnSrttl【解答】解：(1)v數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且 ai+a4=9，a2a3=8.ai+a4=9，aia4=a2a3=8.解得 ai=1，a4=8 或 ai=8，a4=1 (舍)，解得 q=2,即數(shù)列an的通項公式 an=2n_1;(2) S=2n- 1，1_Q.bn= a 卄 i才 i - 口= iSnSn+lSnSn+lSnSn+1數(shù)列bn的前n項和Tn哥詁吉-苧榻-話十孟=1-12n+1-1 .【點評】本題主要考查數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和的計算，利用裂項法是解決 本題的關鍵.20.(2015?山東)設數(shù)列an的前 n 項和為 Sn,已知 2Sn=3n

27、+3.(I)求an的通項公式；(n)若數(shù)列bn，滿足 anbn=log3an，求bn的前 n 項和 Tn.【分析】 (I)利用 2Sn=3n+3， 可求得 ai=3;當 n 1 時， 2Sn-i=3n-1+3,兩式相 減 2an=2S-2S-1,可求得 an=3n-1,從而可得an的通項公式；(n)依題意，Shbn=log3an,可得 big，當 n 1 時，bn=3vn?log331= (n 1)x31-n,于是可求得 Ti=bi令;當 n 1 時，Tn=bi+b2+bn吉+(1x3-1+2X3-2+-+(n- 1)X31-n),利用錯位相減法可求得bn的前 n 項和 Tn.【解答】 解:

28、(I)因為 2Sn=3n+3,所以 2a1=31+3=6,故刁=3, 當 n 1 時， 2Sn-1=3n-1+3,此時，2an=2Sh- 2Sn-1=3n- 3n-1=2X3n-1, 即卩 an=3n-1,1當 n 1 時，bn=31 n?log33n 1= (n 1)X31 n,所以 T1=b16卄34X 3n【點評】 本題考查數(shù)列的求和， 著重考查數(shù)列遞推關系的應用, 相減法”求和，考查分析、運算能力，屬于中檔題.21.(2008?全國卷n)設數(shù)列an的前 n 項和為 Sn.已知 a1=a, an+1=S+3n, nN*.由(I)設 bn=S - 3n,求數(shù)列bn的通項公式；(n)若 an

29、+1an, n N*，求 a 的取值范圍.【分析】 (I)依題意得S+1=2S+3n,由此可知 Sn+1- 3n+1=2 (&-3n).所以bn=S -3n= (a- 3)2n-1, n N*.(n)由題設條件知 S=3n+ ( a - 3) 2n-1, n N*,于是，an=S - S-所以 an=3, n=l薩飛門1.(n)因為 anbn=log3an,所以 bi當 n 1 時, Tn=b 什 b2+bn= +(1X31+2X32+-+(n1) X3仁n),所以 3Tn=1 + (1X3+2X3+3X3一2+(n_1)X32_n),兩式相減得: 2Tn一+(30+3-1+3-2+32n (

30、n_1) X3廣n)=211- 3l n31- 3_L,_13冊3| 62X 3n.13-124X 3n綜上可得Tn -突出考查錯位(n-1)X3n；3,經(jīng)檢驗，n=1 時也適合,所以-,n-21=瀘一+曠 3,由此可以求得 a 的取值范圍是-9,+x).【解答】解：(I)依題意，Sn+1-Sn=an+1=$+3n,即卩 Sn+1=2+3n,由此得 S+1- 3n+1=2S+3n- 3n+1=2 (s- 3n). (4 分)因此，所求通項公式為 bn=S-3n= (a-3) 2n-1, n N*(6 分)(U)由知 Sn=3n+ (a-3) 2n-1, n N*,于是，當 n 2 時，an=S

31、n-S-i=3n+(a-3)x2n-1-3n-1-(a-3)x2n-2=2X3n-1+(a-3)2n-2,an+1-an=4X3n-1+(a-3)2n-2=凸一甲(*)+ 且-引,當 n 2 時，鈿 屮 12 煜)心十 a-30? a- 9.又 a2=ai +3 ai.綜上，所求的 a 的取值范圍是-9,+x). (12 分)【點評】本題考查數(shù)列的綜合運用，解題時要仔細審題，注意挖掘題設中的隱含 條件.22.(2014?山東)已知等差數(shù)列an的公差為 2,前 n 項和為 S,且 Si, 9, 成等比數(shù)列.(I)求數(shù)列&的通項公式；(U)令 bn= (- 1)n-1山，求數(shù)列bn的前 n 項和 Tn.【分析】(I)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前 n 項和公式即可得出;(U)由