高水平數(shù)學(xué)概念教學(xué)“教什么”課件

1、高水平數(shù)學(xué)概念教學(xué)高水平數(shù)學(xué)概念教學(xué)“教什么教什么” 李祎李祎福建師范大學(xué)福建師范大學(xué)目目 錄錄 一一. .什么是數(shù)學(xué)概念什么是數(shù)學(xué)概念 二二. .基于本質(zhì)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)基于本質(zhì)的數(shù)學(xué)概念教學(xué) 三三. .基于過程的數(shù)學(xué)概念教學(xué)基于過程的數(shù)學(xué)概念教學(xué) 四四. .基于方法的數(shù)學(xué)概念教學(xué)基于方法的數(shù)學(xué)概念教學(xué) 五五. .基于結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)基于結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)概念教學(xué) 六六. .數(shù)學(xué)概念教學(xué)典型案例分析數(shù)學(xué)概念教學(xué)典型案例分析一、什么是數(shù)學(xué)概念一、什么是數(shù)學(xué)概念 1.1.數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵 客觀事物的性質(zhì)客觀事物的性質(zhì)屬性屬性. . 感覺、知覺形成表象感覺、知覺形成表象感性認(rèn)識(shí)感性認(rèn)識(shí). .

2、比較、分析、綜合、概括，抽象出獨(dú)有屬性比較、分析、綜合、概括，抽象出獨(dú)有屬性本質(zhì)屬性本質(zhì)屬性理性認(rèn)識(shí)理性認(rèn)識(shí). . 概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維產(chǎn)物概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維產(chǎn)物. . 數(shù)學(xué)：空間形式和數(shù)量關(guān)系數(shù)學(xué)：空間形式和數(shù)量關(guān)系. . 數(shù)學(xué)概念：反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維產(chǎn)物數(shù)學(xué)概念：反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維產(chǎn)物. . 本質(zhì)屬性：本質(zhì)屬性：共有性，特有性，整體性，穩(wěn)定性共有性，特有性，整體性，穩(wěn)定性. . 示例示例1 1：“平行四邊形平行四邊形”概念概念 諸多屬性：方位、大小、形狀；諸多屬性：方位、大小、形狀； “四條邊四條邊”屬性：與一般多邊形相區(qū)分；屬性：與一般多邊形相區(qū)分；

3、 “對(duì)邊平行對(duì)邊平行”屬性：與一般四邊形相區(qū)分屬性：與一般四邊形相區(qū)分. . 把某些屬性從眾多屬性中分離出來把某些屬性從眾多屬性中分離出來, ,并將其作為并將其作為一個(gè)一個(gè)“整體整體”, ,便形成便形成“平行四邊形平行四邊形”這個(gè)概念這個(gè)概念. . 本質(zhì)屬性是本質(zhì)屬性是不可分割不可分割的，它的一部分，只是概念的，它的一部分，只是概念的屬性，但不再是本質(zhì)屬性的屬性，但不再是本質(zhì)屬性. . 2.2.概念與語詞的關(guān)系概念與語詞的關(guān)系 數(shù)學(xué)概念通常用特有的數(shù)學(xué)概念通常用特有的名稱或符號(hào)名稱或符號(hào)來表示來表示. . 概念反映名稱或符號(hào)的內(nèi)容，而概念的名稱或符概念反映名稱或符號(hào)的內(nèi)容，而概念的名稱或符號(hào)是

4、表達(dá)概念的語言形式號(hào)是表達(dá)概念的語言形式. . 有時(shí)同一個(gè)概念會(huì)有不同的名稱或符號(hào)，有時(shí)同一個(gè)概念會(huì)有不同的名稱或符號(hào)，如如“5”5”、“五五”、“five”five”都表示同一個(gè)數(shù)；等都表示同一個(gè)數(shù)；等邊三角形和正三角形表達(dá)同一個(gè)數(shù)學(xué)概念邊三角形和正三角形表達(dá)同一個(gè)數(shù)學(xué)概念. . 有時(shí)同一個(gè)名稱在不同的情況下，會(huì)表達(dá)不同的有時(shí)同一個(gè)名稱在不同的情況下，會(huì)表達(dá)不同的概念，概念，如如“角角”“”“數(shù)數(shù)”等等. . 3.3.概念與定義的關(guān)系概念與定義的關(guān)系 定義定義是對(duì)于一種事物的本質(zhì)特征或一個(gè)概念的是對(duì)于一種事物的本質(zhì)特征或一個(gè)概念的內(nèi)內(nèi)涵和外延涵和外延所作的確切表述。所作的確切表述。 最有代表

5、性的定義是最有代表性的定義是“種差種差+ +屬屬”定義，即把某定義，即把某一概念包含在它的屬概念中，并揭示它與同一個(gè)一概念包含在它的屬概念中，并揭示它與同一個(gè)屬概念下其他種概念之間的差別。屬概念下其他種概念之間的差別。 同一個(gè)數(shù)學(xué)概念可以有不同的定義方式。同一個(gè)數(shù)學(xué)概念可以有不同的定義方式。 數(shù)學(xué)概念有數(shù)學(xué)概念有外延式定義和內(nèi)涵式定義外延式定義和內(nèi)涵式定義。二二. .基于本質(zhì)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)基于本質(zhì)的數(shù)學(xué)概念教學(xué) 1.1.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的關(guān)鍵是揭示本質(zhì)屬性數(shù)學(xué)概念教學(xué)的關(guān)鍵是揭示本質(zhì)屬性 示例示例2 2：集合概念的教學(xué)：集合概念的教學(xué) 幼兒園孩子學(xué)習(xí)集合。幼兒園孩子學(xué)習(xí)集合。 應(yīng)如何學(xué)習(xí)集合？應(yīng)如

6、何學(xué)習(xí)集合？ 示例示例3 3：數(shù)列概念的教學(xué)：數(shù)列概念的教學(xué) 數(shù)列的本質(zhì)是什么？數(shù)列的本質(zhì)是什么？ 應(yīng)如何學(xué)習(xí)數(shù)列？應(yīng)如何學(xué)習(xí)數(shù)列？ 示例示例4 4：距離：距離 初中階段學(xué)過的初中階段學(xué)過的“距離距離”:“:“兩點(diǎn)之間的距兩點(diǎn)之間的距離離”;“;“直線外一點(diǎn)到已知直線的距離直線外一點(diǎn)到已知直線的距離”;“;“兩兩平行線之間的距離平行線之間的距離”。 距離的本質(zhì)：距離的本質(zhì)：圖形圖形P P內(nèi)任一點(diǎn)與圖形內(nèi)任一點(diǎn)與圖形Q Q內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)間的距離中的最小值，叫做圖形間的距離中的最小值，叫做圖形P P與與Q Q的距離。的距離。 把握住這一本質(zhì)，高中階段學(xué)習(xí)把握住這一本質(zhì)，高中階段學(xué)習(xí)“點(diǎn)到平面的點(diǎn)

7、到平面的距離距離”“”“直線到與它平行的平面的距離直線到與它平行的平面的距離”“”“兩兩個(gè)平行平面的距離個(gè)平行平面的距離”“”“異面直線的距離異面直線的距離”的概的概念時(shí)，學(xué)生也能做到不教自明。念時(shí)，學(xué)生也能做到不教自明。 2.2.凸顯數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的基本策略是凸顯數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的基本策略是“變式教學(xué)變式教學(xué)” 變化當(dāng)中保持不變的屬性就是事物的本質(zhì)屬性。變化當(dāng)中保持不變的屬性就是事物的本質(zhì)屬性。 變式是變更對(duì)象的變式是變更對(duì)象的非本質(zhì)屬性或本質(zhì)屬性非本質(zhì)屬性或本質(zhì)屬性特征的特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對(duì)象的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)要

8、素。對(duì)象的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素。 通過變式可以更好地掌握事物的本質(zhì)和規(guī)律。通過變式可以更好地掌握事物的本質(zhì)和規(guī)律。 數(shù)學(xué)概念變式教學(xué)，主要包括兩類：數(shù)學(xué)概念變式教學(xué)，主要包括兩類： 一類是屬于概念的外延集合的變式，稱為一類是屬于概念的外延集合的變式，稱為概念變概念變式式, ,也叫正例變式；也叫正例變式； 另一類是不屬于概念的外延集合另一類是不屬于概念的外延集合, ,但與概念對(duì)象但與概念對(duì)象有某些共同非本質(zhì)屬性的變式有某些共同非本質(zhì)屬性的變式, ,稱為稱為非概念變式非概念變式. . 概念變式和非概念變式，統(tǒng)稱為概念變式和非概念變式，統(tǒng)稱為概念性變式概念性變式. . （1 1）概念變式

9、）概念變式 數(shù)學(xué)概念是一種外延性概念，也就是說，每個(gè)概數(shù)學(xué)概念是一種外延性概念，也就是說，每個(gè)概念都有一個(gè)明晰的邊界，掌握概念意味著能通過念都有一個(gè)明晰的邊界，掌握概念意味著能通過內(nèi)涵去確定一個(gè)具體對(duì)象是否在這個(gè)邊界內(nèi)。內(nèi)涵去確定一個(gè)具體對(duì)象是否在這個(gè)邊界內(nèi)。 教學(xué)的有效途徑就是將概念的外延作為變異空間教學(xué)的有效途徑就是將概念的外延作為變異空間, ,將其所包含的對(duì)象作為變式將其所包含的對(duì)象作為變式, ,通過類化不同變式通過類化不同變式的共同屬性而突出概念的本質(zhì)屬性。的共同屬性而突出概念的本質(zhì)屬性。 示例示例5 5：復(fù)數(shù)的本質(zhì)：復(fù)數(shù)的本質(zhì) 二元的復(fù)數(shù)不僅有數(shù)量意義二元的復(fù)數(shù)不僅有數(shù)量意義, ,而

10、且還有方向意義，而且還有方向意義，“數(shù)量加方向數(shù)量加方向”是復(fù)數(shù)的本質(zhì)屬性。是復(fù)數(shù)的本質(zhì)屬性。 用幾何形式表示：用幾何形式表示：它的意義是一個(gè)向量，其本質(zhì)它的意義是一個(gè)向量，其本質(zhì)特征是向量的長度和方向特征是向量的長度和方向; ; 用三角形式表示：用三角形式表示：在在z=r(cos+isin)z=r(cos+isin)中，中，r r表表示復(fù)數(shù)向量的長度，示復(fù)數(shù)向量的長度，表示復(fù)數(shù)向量的方向；表示復(fù)數(shù)向量的方向； 用代數(shù)形式表示用代數(shù)形式表示: :在在z=a+biz=a+bi中，復(fù)數(shù)向量的長度中，復(fù)數(shù)向量的長度是是“ ”“ ”，“ ”“ ”就表示了復(fù)數(shù)向量的方就表示了復(fù)數(shù)向量的方向。向。22ab

11、ba （6 6）非概念變式）非概念變式 數(shù)學(xué)概念通常都不是孤立的，而是存在于概念體數(shù)學(xué)概念通常都不是孤立的，而是存在于概念體系之中。要明確概念的外延，就必須劃清概念與系之中。要明確概念的外延，就必須劃清概念與其周邊概念之間的邊界。有效途徑就是利用所謂其周邊概念之間的邊界。有效途徑就是利用所謂的的“非概念變式非概念變式”。 非概念變式一般有兩個(gè)來源：一是來自非概念變式一般有兩個(gè)來源：一是來自概念之間概念之間的邏輯關(guān)系的邏輯關(guān)系；二是基于學(xué)生；二是基于學(xué)生常見的錯(cuò)誤常見的錯(cuò)誤。 示例示例6 6：當(dāng)學(xué)生通過當(dāng)學(xué)生通過“標(biāo)準(zhǔn)圖形標(biāo)準(zhǔn)圖形”獲得了對(duì)頂角的獲得了對(duì)頂角的概念之后，宜采用反例變式：概念之后，

12、宜采用反例變式： 反例變式的運(yùn)用，消除了非本質(zhì)特征的干擾，明反例變式的運(yùn)用，消除了非本質(zhì)特征的干擾，明確了概念的外延，達(dá)到了對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)特征的確了概念的外延，達(dá)到了對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)特征的深刻理解。深刻理解。 3.3.背會(huì)數(shù)學(xué)定義不等于掌握了數(shù)學(xué)概念背會(huì)數(shù)學(xué)定義不等于掌握了數(shù)學(xué)概念 示例示例7 7：“比比”的概念的概念 兩數(shù)相除又叫做兩數(shù)的比。兩數(shù)相除又叫做兩數(shù)的比。 比的本質(zhì)源于比的本質(zhì)源于度量度量，度量解決了物體可度量的屬，度量解決了物體可度量的屬性（長度、面積、體積、質(zhì)量）的可比性，比卻性（長度、面積、體積、質(zhì)量）的可比性，比卻能夠解決物體不可度量的屬性（形狀、速度、濃能夠解決物體不可度量

13、的屬性（形狀、速度、濃度等）的可比性，這就是比的本質(zhì)。度等）的可比性，這就是比的本質(zhì)。 示例示例8 8：方程：方程 方程的定義方程的定義“含有未知數(shù)的等式叫方程含有未知數(shù)的等式叫方程”，并沒并沒有反映方程的本原思想。教師在方程定義的黑體有反映方程的本原思想。教師在方程定義的黑體字上大做文章，反復(fù)舉例，咬文嚼字地學(xué)習(xí)，朗字上大做文章，反復(fù)舉例，咬文嚼字地學(xué)習(xí)，朗朗上口地背誦，沒有實(shí)質(zhì)性的意義。絕對(duì)沒有學(xué)朗上口地背誦，沒有實(shí)質(zhì)性的意義。絕對(duì)沒有學(xué)生因?yàn)楸巢怀鲞@句話而學(xué)不會(huì)生因?yàn)楸巢怀鲞@句話而學(xué)不會(huì)“方程方程”的。的。 方程的本質(zhì)方程的本質(zhì)在于對(duì)已知數(shù)和未知數(shù)一視同仁，通在于對(duì)已知數(shù)和未知數(shù)一視同仁

14、，通過建立起已知數(shù)和未知數(shù)之間的等式關(guān)系，從而過建立起已知數(shù)和未知數(shù)之間的等式關(guān)系，從而求得未知數(shù)。求得未知數(shù)。 理解方程的本質(zhì)，首先要理解等式的意義。理解方程的本質(zhì)，首先要理解等式的意義。 等式的等式的“程序性觀點(diǎn)程序性觀點(diǎn)”：3 32 25 5 等式的等式的“結(jié)構(gòu)性觀點(diǎn)結(jié)構(gòu)性觀點(diǎn)”：3 32 21 14 4 程序性觀點(diǎn)程序性觀點(diǎn)過程層面的思維方式過程層面的思維方式； 結(jié)構(gòu)性觀點(diǎn)結(jié)構(gòu)性觀點(diǎn)對(duì)象層面的思維方式對(duì)象層面的思維方式。 認(rèn)識(shí)方程的認(rèn)識(shí)方程的顯性特征顯性特征：兩次分類的方法；：兩次分類的方法； 認(rèn)識(shí)方程的認(rèn)識(shí)方程的隱性特征隱性特征：方程是表示已知量和未：方程是表示已知量和未知量之間相等

15、關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型。知量之間相等關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型。 示例示例9 9：基本事件是相對(duì)的還是絕對(duì)的？：基本事件是相對(duì)的還是絕對(duì)的？ 在一個(gè)特定的隨機(jī)試驗(yàn)中，稱每一可能出現(xiàn)的結(jié)在一個(gè)特定的隨機(jī)試驗(yàn)中，稱每一可能出現(xiàn)的結(jié)果為一個(gè)基本事件，全體基本事件的集合稱為事果為一個(gè)基本事件，全體基本事件的集合稱為事件空間。件空間。（未明確進(jìn)行定義）（未明確進(jìn)行定義） 基本事件的特點(diǎn)：基本事件的特點(diǎn)： （1 1）任何兩個(gè)基本事件是互斥的；）任何兩個(gè)基本事件是互斥的； （2 2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。基本事件的和。 問題：問題：在連續(xù)兩次擲一枚骰子的

16、隨機(jī)試驗(yàn)中，向上在連續(xù)兩次擲一枚骰子的隨機(jī)試驗(yàn)中，向上的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)的概率是多少？的點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)的概率是多少？ 教師甲：教師甲：P(A)=18/36=1/2P(A)=18/36=1/2 (1(1，1) (11) (1，2) (12) (1，3) (13) (1，4) (14) (1，5) (15) (1，6)6) (2(2，1) (21) (2，2) (22) (2，3) (23) (2，4) (24) (2，5) (25) (2，6)6) (6(6，1) (61) (6，2) (62) (6，3) (63) (6，4) (64) (6，5) (65) (6，6)6) 教師乙：教師乙： 基

17、本事件共有基本事件共有4 4個(gè)，即：個(gè)，即： （奇，奇）（奇，偶）（偶，奇）（偶，偶）（奇，奇）（奇，偶）（偶，奇）（偶，偶） P(A)=2/4=1/2P(A)=2/4=1/2 區(qū)別在于確定基本事件的方法不同區(qū)別在于確定基本事件的方法不同： 甲按照點(diǎn)數(shù)的具體值找基本事件；甲按照點(diǎn)數(shù)的具體值找基本事件； 乙按照點(diǎn)數(shù)的奇偶性找基本事件。乙按照點(diǎn)數(shù)的奇偶性找基本事件。 在同一個(gè)解決問題的過程中，基本事件應(yīng)是在同一個(gè)解決問題的過程中，基本事件應(yīng)是不能不能再分或不必再分再分或不必再分的事件。的事件。 4.4.數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)淡化形式，注重實(shí)質(zhì)” 示例示例1010：對(duì)稱軸：

18、對(duì)稱軸 如果沿某條直線對(duì)折如果沿某條直線對(duì)折, ,對(duì)折的兩部分是完全重合對(duì)折的兩部分是完全重合的的, ,那么就稱這樣的圖形為軸對(duì)稱圖形那么就稱這樣的圖形為軸對(duì)稱圖形, ,這條直線這條直線叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱軸。叫做這個(gè)圖形的對(duì)稱軸。 示例示例1111：角：角 有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫角。有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫角。 陳省身：陳省身：“當(dāng)然不能考定義、定理，只能考具體當(dāng)然不能考定義、定理，只能考具體問題，看你能不能把定義落實(shí)到例子上問題，看你能不能把定義落實(shí)到例子上”。 形式與實(shí)質(zhì)之困：形式與實(shí)質(zhì)之困： 示例示例1212： 一般地，函數(shù)一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)。叫做指數(shù)函數(shù)。 一

19、般地，函數(shù)一般地，函數(shù) 叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。叫做對(duì)數(shù)函數(shù)。 思考：思考： ， 是指數(shù)函數(shù)嗎？是指數(shù)函數(shù)嗎？ ， 是對(duì)數(shù)函數(shù)嗎？是對(duì)數(shù)函數(shù)嗎？ 給出一個(gè)函數(shù)，怎么才知道它能否變成一個(gè)指給出一個(gè)函數(shù)，怎么才知道它能否變成一個(gè)指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)呢？數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)呢？(0,1)xyaaalog(0,1)ayx aa12 2xy1222222logloglogyxxx1logxay 13xy 含有未知數(shù)的等式叫做含有未知數(shù)的等式叫做方程方程； 一般地，如果一般地，如果A A，B B表示兩個(gè)整式，并且表示兩個(gè)整式，并且B B中含有中含有字母，那么式子字母，那么式子A/BA/B叫做叫做分式分式。 x-x=0 x

20、-x=0是不是方程？是不是方程？ x/2xx/2x是不是分式？是不是分式？ 示例示例1313：概率的統(tǒng)計(jì)定義：概率的統(tǒng)計(jì)定義 一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A A發(fā)生的發(fā)生的頻率頻率 會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p p附近，那么事件發(fā)生附近，那么事件發(fā)生的概率的概率P P（A A）=p=p。 頻率穩(wěn)定于概率，是不是說頻率的極限是概率？頻率穩(wěn)定于概率，是不是說頻率的極限是概率？頻率穩(wěn)定于頻率穩(wěn)定于p p，能不能寫成：，能不能寫成：nnpnnnlim “ “ 穩(wěn)定于穩(wěn)定于p”p”意味著對(duì)意味著對(duì) ，有，有 即是說只要即是說只要n n充分大，則充分大，則頻率

21、充分接近概率的頻率充分接近概率的概率就是概率就是1 1。 大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性。也就是說性。也就是說當(dāng)當(dāng)n n很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率與很大時(shí)，事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小概率有較大偏差的可能性很小。 拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)，目的是體驗(yàn)用大數(shù)次實(shí)驗(yàn)的頻拋擲硬幣實(shí)驗(yàn)，目的是體驗(yàn)用大數(shù)次實(shí)驗(yàn)的頻率來估計(jì)概率，而不是驗(yàn)證可能性相等。率來估計(jì)概率，而不是驗(yàn)證可能性相等。nn01)(|limpnPnn三三. .基于過程的數(shù)學(xué)概念教學(xué)基于過程的數(shù)學(xué)概念教學(xué)1.1.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過程性特征數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過程性特征（1 1）數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的形成與同

22、化）數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的形成與同化 數(shù)學(xué)概念的形成數(shù)學(xué)概念的形成 數(shù)學(xué)概念形成的過程數(shù)學(xué)概念形成的過程, ,是從大量具體實(shí)例出發(fā)是從大量具體實(shí)例出發(fā), , 分化出各種屬性分化出各種屬性, ,同化出共同屬性同化出共同屬性, ,抽象出本質(zhì)屬抽象出本質(zhì)屬性性, ,再概括到一類事物中再概括到一類事物中, ,從而形成數(shù)學(xué)概念從而形成數(shù)學(xué)概念. . 概念形成的學(xué)習(xí)形式接近于人類自發(fā)形成概念概念形成的學(xué)習(xí)形式接近于人類自發(fā)形成概念. . A.辨別各種辨別各種刺激模式刺激模式； B.分化出各種刺激模式的分化出各種刺激模式的屬性屬性； C.概括出各個(gè)刺激模式的概括出各個(gè)刺激模式的共同屬性共同屬性,并提出它們的并提出它

23、們的共同關(guān)鍵屬性的種種假設(shè)；共同關(guān)鍵屬性的種種假設(shè)； D.在特定的情境中檢驗(yàn)假設(shè)在特定的情境中檢驗(yàn)假設(shè),確認(rèn)確認(rèn)關(guān)鍵屬性關(guān)鍵屬性； E.進(jìn)一步概括進(jìn)一步概括,從而從而形成概念形成概念； F.把新概念的共同關(guān)鍵屬性把新概念的共同關(guān)鍵屬性推廣推廣到同類事物中；到同類事物中； G.用習(xí)慣的形式符號(hào)用習(xí)慣的形式符號(hào)表示新概念表示新概念. 示例示例1414：(1)(1)教師給出一組函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行教師給出一組函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察，找出它們的各種屬性；觀察，找出它們的各種屬性；(2)(2)引導(dǎo)學(xué)生提出引導(dǎo)學(xué)生提出所給例子的共同成分的假設(shè)所給例子的共同成分的假設(shè), ,并依據(jù)這些假設(shè)檢并依據(jù)這些假設(shè)檢驗(yàn)每

24、個(gè)例子；驗(yàn)每個(gè)例子；(3)(3)提出一個(gè)一般模式，檢驗(yàn)每一提出一個(gè)一般模式，檢驗(yàn)每一實(shí)例是否屬于該模式；實(shí)例是否屬于該模式；(4)(4)教師給出冪函數(shù)的定教師給出冪函數(shù)的定義，并對(duì)其進(jìn)行解釋，把冪函數(shù)的表達(dá)式與之前義，并對(duì)其進(jìn)行解釋，把冪函數(shù)的表達(dá)式與之前所學(xué)過的有關(guān)函數(shù)聯(lián)系起來；所學(xué)過的有關(guān)函數(shù)聯(lián)系起來；(5)(5)通過列舉正反通過列舉正反例例, ,使學(xué)生加強(qiáng)對(duì)冪函數(shù)概念的理解；使學(xué)生加強(qiáng)對(duì)冪函數(shù)概念的理解；(6)(6)討論冪討論冪函數(shù)的定義域、圖像及性質(zhì)；函數(shù)的定義域、圖像及性質(zhì)；(7)(7)舉例、練習(xí)。舉例、練習(xí)。 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)概念的同化概念的同化 概念同化是指在以定義方式概念同化是指在以定

25、義方式直接給出直接給出概念的條件概念的條件下，學(xué)習(xí)者利用已有知識(shí)，主動(dòng)地與原有認(rèn)知結(jié)下，學(xué)習(xí)者利用已有知識(shí)，主動(dòng)地與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念相聯(lián)系，從而掌握概念的方式。構(gòu)中的有關(guān)概念相聯(lián)系，從而掌握概念的方式。 同化能否順利進(jìn)行同化能否順利進(jìn)行, ,與學(xué)習(xí)者與學(xué)習(xí)者原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有有很大關(guān)系很大關(guān)系. .如果認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有適當(dāng)?shù)钠鸸潭ㄗ饔萌绻J(rèn)知結(jié)構(gòu)中有適當(dāng)?shù)钠鸸潭ㄗ饔玫挠^念可以利用的觀念可以利用, ,同化就能順利進(jìn)行；否則同化就能順利進(jìn)行；否則, ,就難就難以實(shí)現(xiàn)同化。以實(shí)現(xiàn)同化。 A.A.揭示數(shù)學(xué)概念的揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性本質(zhì)屬性, ,給出它的定義、名給出它的定義、名稱和符號(hào)

26、；稱和符號(hào)； B.B.對(duì)概念進(jìn)行對(duì)概念進(jìn)行特殊分類特殊分類, ,再討論這個(gè)概念表達(dá)的再討論這個(gè)概念表達(dá)的各種特殊情況各種特殊情況, ,突出概念的本質(zhì)屬性；突出概念的本質(zhì)屬性； C.C.建立與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念的建立與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念的聯(lián)系聯(lián)系, ,同化同化新學(xué)習(xí)的概念；新學(xué)習(xí)的概念； D.D.用肯定例證和否定例證讓學(xué)生進(jìn)行用肯定例證和否定例證讓學(xué)生進(jìn)行辨認(rèn)辨認(rèn)； E.E.實(shí)際實(shí)際應(yīng)用應(yīng)用強(qiáng)化概念強(qiáng)化概念, ,并把所學(xué)的概念并把所學(xué)的概念納入納入到相到相應(yīng)的概念系統(tǒng)中。應(yīng)的概念系統(tǒng)中。 示例示例1515 (1)(1)教師給出冪函數(shù)的定義：形如教師給出冪函數(shù)的定義：形如y=xy=x的函數(shù)

27、叫的函數(shù)叫做冪函數(shù)；做冪函數(shù)； (2)(2)教師解釋定義，給出實(shí)例說明；教師解釋定義，給出實(shí)例說明； (3)(3)討論冪函數(shù)的定義域、圖像及性質(zhì)；討論冪函數(shù)的定義域、圖像及性質(zhì)； (4)(4)舉例強(qiáng)化冪函數(shù)的概念；舉例強(qiáng)化冪函數(shù)的概念； (5)(5)學(xué)生練習(xí)。學(xué)生練習(xí)。 （2 2）數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的）數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOSAPOS理論理論 數(shù)學(xué)概念形成：活動(dòng)數(shù)學(xué)概念形成：活動(dòng)過程過程對(duì)象對(duì)象圖式。圖式。 活動(dòng)階段活動(dòng)階段：觀察、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的具體實(shí)體階段：觀察、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的具體實(shí)體階段. . 過程階段過程階段：對(duì)具體實(shí)體進(jìn)行思維概括得出數(shù)學(xué)概念：對(duì)具體實(shí)體進(jìn)行思維概括得出數(shù)學(xué)概念. . 對(duì)象階段

28、對(duì)象階段：將概念作為一個(gè)對(duì)象應(yīng)用到它生存的土：將概念作為一個(gè)對(duì)象應(yīng)用到它生存的土壤或背景中壤或背景中, ,將它作為一個(gè)工具和對(duì)象來看待將它作為一個(gè)工具和對(duì)象來看待. . 圖式階段圖式階段：能夠區(qū)分、評(píng)價(jià)此概念與彼概念：能夠區(qū)分、評(píng)價(jià)此概念與彼概念, ,概念概念以一種完整圖式儲(chǔ)存于大腦中以一種完整圖式儲(chǔ)存于大腦中, ,其中包括具體實(shí)例、其中包括具體實(shí)例、抽象過程、完整定義及概念之間的聯(lián)系等抽象過程、完整定義及概念之間的聯(lián)系等. .示例示例1616：函數(shù)：函數(shù)A. A. 活動(dòng)階段活動(dòng)階段 理解函數(shù)需要進(jìn)行活動(dòng)或操作。例如，在有現(xiàn)理解函數(shù)需要進(jìn)行活動(dòng)或操作。例如，在有現(xiàn)實(shí)背景的問題中建立函數(shù)關(guān)系實(shí)背

29、景的問題中建立函數(shù)關(guān)系y yx x2 2，需要用具，需要用具體的數(shù)字構(gòu)造對(duì)應(yīng)：體的數(shù)字構(gòu)造對(duì)應(yīng)：2424；3939；416416；525525；通過操作，理解函數(shù)的意義。通過操作，理解函數(shù)的意義。B. B. 過程階段過程階段 把上述操作活動(dòng)綜合成為一個(gè)把上述操作活動(dòng)綜合成為一個(gè)函數(shù)過程函數(shù)過程。一般。一般地有地有xxxx2 2；其它的各種函數(shù)也可以概括為一般；其它的各種函數(shù)也可以概括為一般的對(duì)應(yīng)過程：的對(duì)應(yīng)過程：xf(x)xf(x)。 C. C. 對(duì)象階段對(duì)象階段 把函數(shù)過程上升為一個(gè)獨(dú)立對(duì)象來處理把函數(shù)過程上升為一個(gè)獨(dú)立對(duì)象來處理, ,如函如函數(shù) 的 加 減 乘 除 、 復(fù) 合 運(yùn) 算 等數(shù)

30、 的 加 減 乘 除 、 復(fù) 合 運(yùn) 算 等 . . 在 表 達(dá) 式在 表 達(dá) 式f(x)f(x)g(x)g(x)中，函數(shù)中，函數(shù)f(x)f(x)和和g(x)g(x)均作為整體對(duì)均作為整體對(duì)象出現(xiàn)象出現(xiàn). . D.D.圖式階段圖式階段 此時(shí)函數(shù)概念以一種綜合的心理圖式而存在于此時(shí)函數(shù)概念以一種綜合的心理圖式而存在于腦海中，在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中占有特定的地位腦海中，在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中占有特定的地位. .這這一心理圖式含有具體的函數(shù)實(shí)例、抽象的過程、一心理圖式含有具體的函數(shù)實(shí)例、抽象的過程、完整的定義，乃至和其它概念的區(qū)別和聯(lián)系完整的定義，乃至和其它概念的區(qū)別和聯(lián)系( (方方程、曲線、圖像等等程、曲線、

31、圖像等等).). 2.應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)概念形成過程的教學(xué)應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)概念形成過程的教學(xué) 示例示例1717：直線的方向向量與平面的法向量：直線的方向向量與平面的法向量 為什么要提出方向向量與法向量的概念？為什么要提出方向向量與法向量的概念？ 如何來刻畫直線與平面的方向？如何來刻畫直線與平面的方向？ 為什么要用向量平行來刻畫直線的方向？為什么要用向量平行來刻畫直線的方向？ 為什么要用向量的垂直來刻畫平面的方向？為什么要用向量的垂直來刻畫平面的方向？李李祎祎. .基于探究學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略研究基于探究學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略研究, ,數(shù)學(xué)通數(shù)學(xué)通報(bào)報(bào)，20092009年第年第2 2期期 示例示例1818：函數(shù)的單

32、調(diào)性：函數(shù)的單調(diào)性（形式化過程）（形式化過程） 單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)大體從三個(gè)層次展開：單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)大體從三個(gè)層次展開： 首先，觀察圖像，描述變化規(guī)律，如上升、下降，首先，觀察圖像，描述變化規(guī)律，如上升、下降，從幾何直觀角度加以認(rèn)識(shí)；從幾何直觀角度加以認(rèn)識(shí)； 其次，結(jié)合圖、表，用自然語言描述，即因變量其次，結(jié)合圖、表，用自然語言描述，即因變量隨自變量的增大而增大（或減?。?；隨自變量的增大而增大（或減?。?最后，用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述變化規(guī)律，逐步實(shí)現(xiàn)最后，用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述變化規(guī)律，逐步實(shí)現(xiàn)用精確的數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)的變化規(guī)律。用精確的數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)的變化規(guī)律。 教學(xué)的困惑教學(xué)的困惑：從圖像上不難獲

33、得圖像：從圖像上不難獲得圖像“上升上升”或或“下降下降”的直觀特征，但為什么還要進(jìn)一步來研的直觀特征，但為什么還要進(jìn)一步來研究它呢？究它呢？ 解釋和說明：解釋和說明：“上升上升”“”“下降下降”是一種日常語言，是一種日常語言，用日常語言描述用日常語言描述“單調(diào)增單調(diào)增”“”“單調(diào)減單調(diào)減”這樣的數(shù)這樣的數(shù)學(xué)性質(zhì)是學(xué)性質(zhì)是不夠準(zhǔn)確的不夠準(zhǔn)確的。 能否用數(shù)學(xué)語言來描述函數(shù)的這種特點(diǎn)呢？如果能否用數(shù)學(xué)語言來描述函數(shù)的這種特點(diǎn)呢？如果可以的話，又該如何來描述呢？可以的話，又該如何來描述呢？ 這時(shí)結(jié)合圖像的特點(diǎn)，即它是這時(shí)結(jié)合圖像的特點(diǎn)，即它是“函數(shù)函數(shù)”的圖像的圖像，從而根據(jù)函數(shù)的意義，自然過渡到第二

34、個(gè)層次。從而根據(jù)函數(shù)的意義，自然過渡到第二個(gè)層次。 教學(xué)的難點(diǎn)教學(xué)的難點(diǎn)：如何用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語言來描述遞：如何用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語言來描述遞增的特征，這其中有兩個(gè)難點(diǎn)：增的特征，這其中有兩個(gè)難點(diǎn)： 3.3.應(yīng)注重將陳述性數(shù)學(xué)概念應(yīng)注重將陳述性數(shù)學(xué)概念“算法化算法化” 程序性知識(shí)是由陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化而來的，是陳述程序性知識(shí)是由陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化而來的，是陳述性知識(shí)的動(dòng)態(tài)成份性知識(shí)的動(dòng)態(tài)成份。 不少數(shù)學(xué)概念具有過程性特征，概念的定義就反不少數(shù)學(xué)概念具有過程性特征，概念的定義就反映了某種數(shù)學(xué)過程或規(guī)定了操作過程。映了某種數(shù)學(xué)過程或規(guī)定了操作過程。 “分母有理化分母有理化”的概念；的概念；“平均數(shù)平均數(shù)”的概念

35、；的概念； “向量的加法向量的加法”的概念；的概念；“導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)”的概念。的概念。 為了更好地運(yùn)用概念，需將概念為了更好地運(yùn)用概念，需將概念算法化算法化，即要將，即要將陳述性的概念定義轉(zhuǎn)化為程序性的算法化知識(shí)陳述性的概念定義轉(zhuǎn)化為程序性的算法化知識(shí) 示例示例1919：“二面角的平面角二面角的平面角”的算法化的算法化 （1 1）“二面角二面角”概念概念 角的頂點(diǎn)在二面角的棱上角的頂點(diǎn)在二面角的棱上; ; 角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi); ; 角的兩邊與二面角的棱垂直。角的兩邊與二面角的棱垂直。 （2 2）作二面角的平面角的算法）作二面角的平面角的算法：先在二面角的：先

36、在二面角的棱上任取一點(diǎn)，再從這點(diǎn)出發(fā)，在二面角的兩個(gè)棱上任取一點(diǎn)，再從這點(diǎn)出發(fā)，在二面角的兩個(gè)面內(nèi)分別作與二面角的棱垂直的射線；面內(nèi)分別作與二面角的棱垂直的射線； （3 3）判斷一個(gè)角是否為二面角的平面角的算法）判斷一個(gè)角是否為二面角的平面角的算法：頂點(diǎn)是否在棱上頂點(diǎn)是否在棱上; ;角的兩邊是否分別在二面角的角的兩邊是否分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)兩個(gè)面內(nèi); ;角的兩邊是否都與棱垂直角的兩邊是否都與棱垂直 沒有實(shí)現(xiàn)陳述性概念定義的算法化沒有實(shí)現(xiàn)陳述性概念定義的算法化, ,是學(xué)生不能是學(xué)生不能應(yīng)用概念的主要原因之一應(yīng)用概念的主要原因之一四四. .基于方法的數(shù)學(xué)概念教學(xué)基于方法的數(shù)學(xué)概念教學(xué) 數(shù)學(xué)概念是

37、基于問題解決的需要而建立的。但有數(shù)學(xué)概念是基于問題解決的需要而建立的。但有的數(shù)學(xué)概念本身就蘊(yùn)含著解決問題的方法。的數(shù)學(xué)概念本身就蘊(yùn)含著解決問題的方法。 這時(shí)教師在教學(xué)中需要著重思考：這時(shí)教師在教學(xué)中需要著重思考： 概念解決的是什么類型的問題？概念解決的是什么類型的問題？ 解決問題的思路與方法是什么？解決問題的思路與方法是什么？ 不能將數(shù)學(xué)概念教學(xué)簡單化，不能將數(shù)學(xué)概念教學(xué)簡單化，以為學(xué)生會(huì)利用概以為學(xué)生會(huì)利用概念進(jìn)行推理和運(yùn)算就是理解了概念念進(jìn)行推理和運(yùn)算就是理解了概念。 示例示例2020：導(dǎo)數(shù)與定積分：導(dǎo)數(shù)與定積分 解決問題：解決問題：導(dǎo)數(shù)求解的是瞬時(shí)變化率問題；定積導(dǎo)數(shù)求解的是瞬時(shí)變化率問

38、題；定積分求解的是總量問題。分求解的是總量問題。 解決思路：解決思路：導(dǎo)數(shù)是辯證轉(zhuǎn)化與否定之否定思想的導(dǎo)數(shù)是辯證轉(zhuǎn)化與否定之否定思想的成功運(yùn)用；定積分是成功運(yùn)用；定積分是“化整為零、積零為整化整為零、積零為整”的的辯證思想的成功應(yīng)用。辯證思想的成功應(yīng)用。 示例示例2121：古典概型與幾何概型：古典概型與幾何概型 解決問題：解決問題：隨機(jī)試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率；隨機(jī)試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率； 適用條件：適用條件：兩者均是等可能概型，古典概型適用兩者均是等可能概型，古典概型適用于試驗(yàn)結(jié)果有限個(gè)的情形，幾何概型適用于試驗(yàn)于試驗(yàn)結(jié)果有限個(gè)的情形，幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果無限多的情形。結(jié)果無限多的情形。

39、 解決方法：解決方法：辨別；計(jì)算。辨別；計(jì)算。 ( )P A 構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積） 概率模型的類型，也是相對(duì)而言的。概率模型的類型，也是相對(duì)而言的。 一個(gè)靶子如圖所示，飛鏢手隨機(jī)地?cái)S一個(gè)飛鏢扎一個(gè)靶子如圖所示，飛鏢手隨機(jī)地?cái)S一個(gè)飛鏢扎在靶子上，假設(shè)飛鏢既不會(huì)落在靶心，也不會(huì)落在靶子上，假設(shè)飛鏢既不會(huì)落在靶心，也不會(huì)落在兩個(gè)區(qū)域之間，求飛鏢落在在兩個(gè)區(qū)域之間，求飛鏢落在4 4號(hào)區(qū)域的概率。號(hào)區(qū)域的概率。 五五. .基于結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)基于結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)概念教學(xué) 數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)是一種多層次的復(fù)雜結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)是一種多層次的復(fù)雜結(jié)構(gòu), ,因此因

40、此, ,理理解和掌握數(shù)學(xué)概念應(yīng)遵循由簡單到復(fù)雜、由具體解和掌握數(shù)學(xué)概念應(yīng)遵循由簡單到復(fù)雜、由具體到抽象、由低級(jí)到高級(jí)的認(rèn)識(shí)順序到抽象、由低級(jí)到高級(jí)的認(rèn)識(shí)順序. . 一個(gè)新概念的建立要依靠哪些舊概念一個(gè)新概念的建立要依靠哪些舊概念, ,這個(gè)概念這個(gè)概念在教材中是怎樣發(fā)展的在教材中是怎樣發(fā)展的, , 理解要分為幾個(gè)層理解要分為幾個(gè)層次次教師要清楚地了解這些問題教師要清楚地了解這些問題. . 1.1.數(shù)學(xué)概念的邏輯結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)概念的邏輯結(jié)構(gòu) 示例示例2222：角的概念：角的概念 A.A.平面角平面角: :靜態(tài)的定義靜態(tài)的定義; ; 動(dòng)態(tài)的定義動(dòng)態(tài)的定義 B.B.異面直線所成的角異面直線所成的角 C.C.

41、直線與平面所成的角直線與平面所成的角 D.D.二面角二面角 空間的空間的“異面直線所成的角異面直線所成的角”“”“直線與平面所成直線與平面所成的角的角”“”“二面角二面角”, ,都是在都是在“平面角平面角”概念的基概念的基礎(chǔ)上發(fā)展和推廣的礎(chǔ)上發(fā)展和推廣的; ;反之反之, ,這些空間中的角又是轉(zhuǎn)這些空間中的角又是轉(zhuǎn)化為化為“平面角平面角”來進(jìn)行表示來進(jìn)行表示. . 示例示例2323：單調(diào)性、斜率、正切、導(dǎo)數(shù)：單調(diào)性、斜率、正切、導(dǎo)數(shù) A.A.單調(diào)性單調(diào)性 B.B.斜率斜率 直線是線性的，它描述的是均勻變化，是最直線是線性的，它描述的是均勻變化，是最簡單的變化。即直線在某個(gè)區(qū)間簡單的變化。即直線在

42、某個(gè)區(qū)間 上的平上的平均變化率均變化率 ，與直線上任意一點(diǎn)，與直線上任意一點(diǎn)x x0 0的瞬的瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)）時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)） 是相同的，都等于這是相同的，都等于這條直線的斜率條直線的斜率k k。 2121()()f xf xxx C.C.正切正切 D.D.導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限，即表示瞬時(shí)變化導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限，即表示瞬時(shí)變化率。其幾何意義是切線的斜率：率。其幾何意義是切線的斜率： 遞增；遞增； 遞減。遞減。2121tanyyyxxx00000( )()()limlimxxxxf xf xykfxxxx( )0,( )fxf x( )0,( )fxf x 2.2.數(shù)學(xué)概念的認(rèn)

43、知結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu) 示例示例2424：函數(shù)：函數(shù) 初中數(shù)學(xué)：初中數(shù)學(xué)： “在一個(gè)變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量在一個(gè)變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量。有些量的數(shù)值是始終不變的，我們稱它為變量。有些量的數(shù)值是始終不變的，我們稱它們?yōu)槌Ａ俊優(yōu)槌Ａ?。? (人教版八年級(jí)上冊人教版八年級(jí)上冊) ) “一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x x與與y y，并且對(duì)于，并且對(duì)于x x的每一個(gè)確定的值，的每一個(gè)確定的值，y y都有唯一都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x x是自變量，是自變量，y y是是x x的函

44、數(shù)的函數(shù)?！? (人教版八年級(jí)上人教版八年級(jí)上) ) 高中數(shù)學(xué)：高中數(shù)學(xué)： 設(shè)設(shè)A A、B B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系系f f，使對(duì)于集合，使對(duì)于集合A A中的任意一個(gè)數(shù)中的任意一個(gè)數(shù)x x，在集合，在集合B B中中都有唯一確定的數(shù)都有唯一確定的數(shù)f(x)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f f：ABAB為從集合為從集合A A到集合到集合B B的一個(gè)函數(shù)，記作的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)y=f(x)，xA.xA.其中其中x x叫做自變量，叫做自變量，x x的取值范圍的取值范圍A A叫做函數(shù)的定義域；與叫做函數(shù)的定義域；與x x的值相對(duì)

45、應(yīng)的的值相對(duì)應(yīng)的y y值叫做值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xAf(x)|xA叫做函數(shù)的叫做函數(shù)的值域值域. .顯然，顯然，值域是集合值域是集合B B的子集的子集. .（人教版數(shù)學(xué)人教版數(shù)學(xué)1 P161 P16） 大學(xué)數(shù)學(xué)：大學(xué)數(shù)學(xué)： 設(shè)集合設(shè)集合X X、Y Y，定義，定義X X與與Y Y的積集為的積集為 對(duì)于積集對(duì)于積集X XY Y中的一子集中的一子集R R，若，若 ，則稱，則稱x x與與y y有關(guān)系有關(guān)系R R，記為，記為 ，X X稱作關(guān)系稱作關(guān)系R R的定義的定義域，域，Y Y稱作關(guān)系稱作關(guān)系R R的值域。的值域。 設(shè)設(shè)f f是集合是集合X X與集合與集合Y Y的

46、關(guān)系，即的關(guān)系，即 ，如，如果還滿足果還滿足 則則 ，那么稱，那么稱f f是集合是集合X X到集合到集合Y Y的函數(shù)。的函數(shù)。 ( , ),XYx y xX yY( , )x yRxRyYXf,),( ,),(2111fyxfyx21yy 進(jìn)一步思考：函數(shù)的本質(zhì)究竟是什么？進(jìn)一步思考：函數(shù)的本質(zhì)究竟是什么？ A.“A.“非空數(shù)集非空數(shù)集”是函數(shù)的本質(zhì)屬性之一嗎是函數(shù)的本質(zhì)屬性之一嗎泛函數(shù)泛函數(shù). . B.“B.“單值對(duì)應(yīng)單值對(duì)應(yīng)”是函數(shù)的本質(zhì)屬性之一嗎是函數(shù)的本質(zhì)屬性之一嗎多值函數(shù)多值函數(shù). . C. “C. “對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則”是函數(shù)的本質(zhì)屬性之一嗎是函數(shù)的本質(zhì)屬性之一嗎 D. AD. A同

47、同f f同、但同、但B B不同的兩個(gè)函數(shù)，是否為同一不同的兩個(gè)函數(shù)，是否為同一個(gè)函數(shù)？個(gè)函數(shù)？ E.E.函數(shù)本質(zhì)上是一種人為約定的特殊函數(shù)本質(zhì)上是一種人為約定的特殊“對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)”. .2,0,1,0,1yx xyxx和 示例示例2525：對(duì)稱性：對(duì)稱性 小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)數(shù)學(xué)：二年級(jí)上二年級(jí)上“美麗的對(duì)稱圖形美麗的對(duì)稱圖形”（認(rèn)識(shí)（認(rèn)識(shí)并畫出：畫一畫）；五年級(jí)并畫出：畫一畫）；五年級(jí)“圖形的變換圖形的變換軸軸對(duì)稱對(duì)稱”（方格紙上研究軸對(duì)稱的特征和性質(zhì)：量（方格紙上研究軸對(duì)稱的特征和性質(zhì)：量一量，數(shù)一數(shù)）一量，數(shù)一數(shù)） 初中數(shù)學(xué)：初中數(shù)學(xué)：初二上初二上“軸對(duì)稱軸對(duì)稱”（坐標(biāo)系中研究軸（坐標(biāo)系中研究軸對(duì)

48、稱的特征和性質(zhì)）對(duì)稱的特征和性質(zhì)） 高中數(shù)學(xué)：高中數(shù)學(xué)：函數(shù)的對(duì)稱性函數(shù)的對(duì)稱性奇偶性；方程曲線奇偶性；方程曲線的對(duì)稱性的對(duì)稱性于 的中心（）直于 的曲于 的于直 的（）直于直 的曲于直 的點(diǎn)關(guān) 點(diǎn) 對(duì)稱對(duì)稱問題 點(diǎn)對(duì)稱問題線關(guān) 點(diǎn) 對(duì)稱線關(guān) 點(diǎn) 對(duì)稱對(duì)稱問題點(diǎn)關(guān)線 對(duì)稱軸對(duì)稱問題 線對(duì)稱問題線關(guān)線 對(duì)稱線關(guān)線 對(duì)稱函數(shù)圖象的對(duì)稱性：函數(shù)圖象的對(duì)稱性：方程曲線的對(duì)稱性：方程曲線的對(duì)稱性：六六. .數(shù)學(xué)概念教學(xué)典型案例分析數(shù)學(xué)概念教學(xué)典型案例分析 示例示例2626：斜率：斜率 人教人教B B版和蘇教版的處理版和蘇教版的處理; ;其他版本教材的處理。其他版本教材的處理。 （1 1）用傾斜角的正切值

49、定義斜率）用傾斜角的正切值定義斜率（人教版數(shù)學(xué)（人教版數(shù)學(xué)2 2第第8282頁）頁） 確定直線位置的幾何要素確定直線位置的幾何要素傾斜程度傾斜程度傾斜角傾斜角斜率斜率過任意兩點(diǎn)的斜率公式過任意兩點(diǎn)的斜率公式 直接用傾斜角的正切值定義斜率的弊端直接用傾斜角的正切值定義斜率的弊端 為什么有了角已能確定直線的前提下，還一為什么有了角已能確定直線的前提下，還一定要將其代數(shù)化？定要將其代數(shù)化？ 把實(shí)際例子范圍縮小到了把實(shí)際例子范圍縮小到了“坡度坡度”問題；問題； 把代數(shù)形式的表示縮小到了把代數(shù)形式的表示縮小到了“正切；正切； 為什么想到要用坡度？為什么想到要用坡度？ 為什么要用正切？為什么要用正切？ 學(xué)

50、生可能會(huì)知其然，而不知其所以然。學(xué)生可能會(huì)知其然，而不知其所以然。 傾斜角代數(shù)化的理由傾斜角代數(shù)化的理由 “率率”是指兩個(gè)相關(guān)數(shù)的比值，是指兩個(gè)相關(guān)數(shù)的比值，x x變化單位變化單位長時(shí)，看長時(shí)，看y y變化了多少，實(shí)質(zhì)是對(duì)變化了多少，實(shí)質(zhì)是對(duì)x x和和y y變化變化的快慢程度的刻畫。角越大，傾斜程度越大，的快慢程度的刻畫。角越大，傾斜程度越大，該特定比值越大。該特定比值越大。 斜率公式反映出斜率在聯(lián)系兩點(diǎn)的坐標(biāo)與直斜率公式反映出斜率在聯(lián)系兩點(diǎn)的坐標(biāo)與直線傾斜角的優(yōu)越性。線傾斜角的優(yōu)越性。( (解析思想解析思想)()(列方程之需列方程之需) ) 斜率在研究直線平行與垂直上的作用。斜率在研究直線平

51、行與垂直上的作用。 一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+by=kx+b中中k k的幾何意義。的幾何意義。 斜率使用正切的理由斜率使用正切的理由 首先與首先與“坡度坡度”概念一致。坡面的鉛直高度概念一致。坡面的鉛直高度和水平長度的比。（垂直變化率）和水平長度的比。（垂直變化率） 其次，不管是銳角變化，還是鈍角變化，反其次，不管是銳角變化，還是鈍角變化，反映的都是傾斜角越大，斜率越大。映的都是傾斜角越大，斜率越大。 第三，正切值就是直線的變化率，這樣，第三，正切值就是直線的變化率，這樣，采采用正切值與導(dǎo)數(shù)保持了一致性用正切值與導(dǎo)數(shù)保持了一致性。 （2 2）直接用變化率定義斜率）直接用變化率定義斜率 根據(jù)根據(jù)

52、“兩點(diǎn)確定一條直線兩點(diǎn)確定一條直線”可知，兩點(diǎn)就可刻可知，兩點(diǎn)就可刻畫直線的傾斜程度。畫直線的傾斜程度。 解析幾何的本質(zhì)是用解析幾何的本質(zhì)是用“數(shù)數(shù)”刻畫刻畫“形形”，因而，因而用數(shù)用數(shù) 刻畫直線的傾斜程度，符合解析幾刻畫直線的傾斜程度，符合解析幾何的思想。何的思想。 傾斜角本身包含了形，用它來刻畫直線的傾斜傾斜角本身包含了形，用它來刻畫直線的傾斜程度，就像程度，就像“傾斜角相等傾斜角相等兩直線平行兩直線平行”一樣，一樣，看似直觀，卻不能體現(xiàn)解析幾何的思想?？此浦庇^，卻不能體現(xiàn)解析幾何的思想。2121yyxx 教學(xué)思路：教學(xué)思路： 兩點(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)呢？兩點(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)呢？一點(diǎn)無法確

53、定一點(diǎn)無法確定直線的方向直線的方向兩點(diǎn)可以確定直線的方向兩點(diǎn)可以確定直線的方向直直線定、傾斜程度定線定、傾斜程度定用兩點(diǎn)刻畫直線的傾斜程用兩點(diǎn)刻畫直線的傾斜程度度引出斜率概念引出斜率概念已知兩點(diǎn)與任一動(dòng)點(diǎn)已知兩點(diǎn)與任一動(dòng)點(diǎn) 直線的兩點(diǎn)式直線的兩點(diǎn)式。 一點(diǎn)加一傾斜角也可確定直線一點(diǎn)加一傾斜角也可確定直線任一動(dòng)點(diǎn)和已任一動(dòng)點(diǎn)和已知點(diǎn)，與傾斜角存在怎樣的聯(lián)系？知點(diǎn)，與傾斜角存在怎樣的聯(lián)系？動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的直線的傾斜程度，用斜率刻畫，發(fā)現(xiàn)它所形成的直線的傾斜程度，用斜率刻畫，發(fā)現(xiàn)它就是傾斜角的正切就是傾斜角的正切直線的點(diǎn)斜式直線的點(diǎn)斜式。 示例示例2727：三角函數(shù)：三角函數(shù) （1 1）三角

54、函數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)）三角函數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ) 三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，同時(shí)又是銳角三三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，同時(shí)又是銳角三角函數(shù)的上位概念；角函數(shù)的上位概念； 教學(xué)要以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以銳角三角函數(shù)概教學(xué)要以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以銳角三角函數(shù)概念為認(rèn)知起點(diǎn)，突破用直角三角形定義三角函念為認(rèn)知起點(diǎn)，突破用直角三角形定義三角函數(shù)的思維局限，以坐標(biāo)系和單位圓為定義工具，數(shù)的思維局限，以坐標(biāo)系和單位圓為定義工具，促進(jìn)任意角三角函數(shù)定義的有效生成。促進(jìn)任意角三角函數(shù)定義的有效生成。 （2 2）三角函數(shù)的本質(zhì)特征）三角函數(shù)的本質(zhì)特征 根據(jù)相似性說明根據(jù)相似性說明比值的不變性比值的不變性特征；特征； 角的邊上的任一點(diǎn)到另一邊的距離、在另一邊角的邊上的任一點(diǎn)到另一邊的距離、在另一邊的投影，以及該點(diǎn)到角的頂點(diǎn)的距離，三者中的投影，以及該點(diǎn)到角的頂點(diǎn)的距離，三者中任兩者的比保持不變。揭示這一本質(zhì)，既可在任兩者的比保持不變。揭示這一本質(zhì)，既可在直角三角形中，也可在坐標(biāo)系中，后者可體現(xiàn)直角三角形中，也可在坐標(biāo)系中，后者可體現(xiàn)三角函數(shù)的周期性特點(diǎn)三角函數(shù)的周期性特點(diǎn)（核心是對(duì)應(yīng)關(guān)系）（核心是對(duì)應(yīng)關(guān)系）。 引入銳角三角函數(shù)，目的是為了研究三角形中引入銳角三角函數(shù)，目的是為了研究三角形中的邊角關(guān)系，定義的邊角關(guān)系，定義側(cè)重幾何的角度側(cè)重幾何的角度；引入任意；引入任意角三角函數(shù)，目的是為了研究周期變化現(xiàn)象，角三角