IIR數(shù)字濾波器設計

1、第6章 IIR數(shù)字濾波器設計 6.1 6.1 數(shù)字濾波類型與指標數(shù)字濾波類型與指標 6.2 6.2 模擬濾波器設計模擬濾波器設計6.3 6.3 設計設計IIRIIR濾波器的脈沖響應不變法濾波器的脈沖響應不變法6.4 6.4 設計設計IIRIIR濾波器的雙線性變換法濾波器的雙線性變換法6.5 6.5 設計設計IIRIIR數(shù)字濾波器頻率變換法數(shù)字濾波器頻率變換法6.6 IIR6.6 IIR數(shù)字濾波器的計算機輔助設計數(shù)字濾波器的計算機輔助設計 第第6章章 IIR數(shù)字濾波器設計數(shù)字濾波器設計 濾波的目的n為了壓制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例n廣義濾波包括對信號的檢測與

2、參量的估計w信號的檢測:確定在干擾背景中信號是否存在w信號參量的估計:為識別信號而確定信號的某一個或某幾個參量的估值 6.1 數(shù)字濾波類型與指標數(shù)字濾波類型與指標 濾波技術(shù)包括:n濾波器設計:根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)， n濾波過程的實現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方式達到對輸入信號的進行濾波的目的1.1.數(shù)字濾波器的頻率特性數(shù)字濾波器的頻率特性數(shù)字濾波器n具有某種特定頻率特性的線性時不變系統(tǒng)n廣義上，任何線性時不變離散系統(tǒng)都是一個數(shù)字濾波器設計數(shù)字濾波器的任務n尋求一個因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有指定的頻率特性0)()()(nnjezjenhzHeH

3、j0)()()(nnjezjenhzHeHj對因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)：)(jeH:濾波器的傳輸函數(shù)H(z):系統(tǒng)函數(shù)h(n) :濾波器的單位脈沖響應)()()(jjeHeH)(Im)(Re)(22jjeHeHH)(Re)(Im)(jjeHeHarctg)(H：幅度響應)(：相位響應22Tfss2/sDF按頻率特性分類按頻率特性分類可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通特點為特點為l數(shù)字頻率以數(shù)字頻率以 周期周期2l頻率特性只限于頻率特性只限于 范圍，依取樣定范圍，依取樣定理，理， 對應于實際模擬抽樣頻率的一半對應于實際模擬抽樣頻率的一半 )(sfT頻率變量以數(shù)字

4、頻率頻率變量以數(shù)字頻率 表示表示 其中其中 模擬角頻率，模擬角頻率，T抽樣時間間隔，抽樣時間間隔，fs 抽樣頻率抽樣頻率理想濾波器的頻率響應 )e (Hj0sp1p：通帶波紋：通帶波紋s：阻帶波紋：阻帶波紋：過渡帶：過渡帶：通帶截止頻率：通帶截止頻率p：阻帶截止頻率：阻帶截止頻率sDF的性能要求（低通為例）的性能要求（低通為例）1p1psps)(jeH從信號不失真角度講通常要求n相位線性)(為時延常數(shù)具有群恒時延特性 常數(shù))()(dd)(相位響應2 2IIRIIR和和FIRFIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通?？杀硎境傻挠欣矸质紽IR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)則可表示為的多項式 設計過程

5、一般包括以下三個基本問題： n根據(jù)實際要求確定濾波器性能指標；n用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個指標；n用一個有限精度的運算去實現(xiàn)這個傳輸函數(shù) w問題1、3與實際的要求及實現(xiàn)的硬件條件有關(guān)w本章主要討論問題2，即系統(tǒng)函數(shù)的設計(或逼近)問題。 3 3設計設計IIRIIR濾波器的幾種方法濾波器的幾種方法 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可表示為的有理分式 11101)(zazbzHkNkkNk 設計IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，就是要確定H(z)的階數(shù)N（通常稱N為濾波器的階數(shù)）以及分子分母多項式的系數(shù)jezjkkzHeHba)()(，使其、 滿足指定的頻率特性(1)(1)利用模擬濾波器的理論來設計利用模

6、擬濾波器的理論來設計 模擬濾波器研究較早，理論已經(jīng)十分成熟，有許多簡單而嚴謹?shù)脑O計公式和大量的圖表可以利用，利用這些現(xiàn)有技術(shù)來解決數(shù)字濾波器的設計問題采用這種方法時，要先要設計一個合適的模擬濾波器，然后將它轉(zhuǎn)換成滿足給定指標的數(shù)字濾波器這種方法適合于設計幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等當把模擬濾波器的H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的H(z) 時，要實現(xiàn)S平面向Z平面的映射，必須滿足兩個條件 必須保證模擬頻率映射為數(shù)字頻率，且保證兩者的頻率特性基本一致n要求變換后代表S平面的虛軸j應映射到Z平面的單位圓n且數(shù)字濾波器的頻率響應和模擬濾波器頻率響應的形狀應基本保持不變； 因果穩(wěn)定的

7、模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)H(z)后，仍然是因果穩(wěn)定的n要求S平面左半平面的極點必須映射到Z平面的單位圓內(nèi) 兩種常用的方法 n脈沖響應不變法：從時域的角度出發(fā)進行映射n雙線性不變法：從頻域角度出發(fā)進行映射(2)(2)利用最優(yōu)化技術(shù)進行利用最優(yōu)化技術(shù)進行CADCAD設計設計 若需設計濾波器的幅頻特性是任意的或者形狀比較復雜，可采用計算機輔助設計(CAD)方法進行優(yōu)化設計設計思想)(jdeH 希望濾波器的幅頻響應： )(jeH 設計濾波器的幅頻響應： 選擇一種最優(yōu)化的準則，例如采用最小均方誤差準則 )()(jjdeHeH、設在指定的一組離散的頻率點 Mii,2,1,的均方誤

8、差 221()()iiMjjdiHeHe 求解H(z)的系數(shù)，、kkba使均方誤差最小 當濾波器階數(shù) N 較高時，轉(zhuǎn)換為一個多變量最優(yōu)化問題，需要大量的迭代運算，因此必須采用CAD的方法。 6.2 模擬濾波器設計 IIR濾波器的設計是基于模擬濾波器的成熟技術(shù)而完成的簡單介紹模擬濾波器設計的一些基本概念，并介紹兩種常用的濾波器的設計方法 ：n巴特沃思(Butterworth)濾波器n切比雪夫(Chebyshev)濾波器621模擬濾波器設計的基本概念 1 . 模擬濾波器的頻率特性與衰減特性模擬濾波器的頻率特性與衰減特性 濾波器的頻率特性主要取決于構(gòu)成濾波器系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) jssHjH| )()(

9、工程設計中給定的指標往往是通帶和阻帶的衰減，它一般用反映功率增益的幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù)來定義dBjHjHA| )(|lg20| )(|lg10)(2 當要求濾波器具有線性相位特性（延時為常數(shù)）時濾波器的頻率特性為H jH jej()|()|()(，2. 歸一化與頻率變換歸一化與頻率變換 采用歸一化參數(shù)n設計結(jié)果具有普遍性n計算方便歸一化包含：n電路參數(shù)歸一化：將系統(tǒng)中無源元件的阻抗或運算阻抗分別除以基準電阻(系統(tǒng)的負載電阻值)。 n頻率歸一化：將所有的頻率都除以基準頻率（濾波器的截止頻率）w計算實際電路參數(shù)時應要將歸一化頻率乘以截止頻率，進行反歸一化n頻率變換：從歸一化低通原型濾波器到高通

10、、帶通、帶阻等其它類型的濾波器的變換方法3 . 從模方函數(shù)從模方函數(shù) 求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s) 當不含有源器件，作為一個因果穩(wěn)定、物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)必須滿足的條件 |()|H j2a、是一個具有實系數(shù)的s有理函數(shù) )(/ )()(sDsNsHb、所有極點必須全部分布在s的左半平面內(nèi) c、分子多項式式N(s)的階次必須小于或等于分母多項式D(s)的階次 正實函數(shù)正實函數(shù) 實函數(shù)的傅立葉變換存在共軛對稱的性質(zhì) HjHj*()()()(| )(|2jHjHjH)()(sHsHjs|()|()*()()()H jH jHjH jHj2有 得平面的虛軸，解析延拓代表sj從給

11、定的模方函數(shù)求出所需要的系統(tǒng)函數(shù)的方法 a、解析延拓,令s= 代入模方函數(shù)得到 ,并求其零極點 jH s Hs( )()b、取 所有在左半平面的極點作為 的極點 )(sHH s Hs( )()c、按需要的相位條件(最小相位,混合相位等)取一半的零點構(gòu)成 的零點 )(sHH s Hs( )()4 模擬濾波器的設計模擬濾波器的設計-逼近問題逼近問題 pAsA：通帶衰減：通帶衰減：阻帶衰減：阻帶衰減,：與通帶衰減、阻：與通帶衰減、阻帶衰減有關(guān)的系數(shù)帶衰減有關(guān)的系數(shù) ：通帶截止頻率：通帶截止頻率：阻帶截止頻率：阻帶截止頻率ps尋找一個恰當?shù)慕坪瘮?shù)來逼近理想特性所謂逼近問題最常用的具有優(yōu)良性能的濾波器

12、：n巴特沃思(Butterworth)濾波器n切比雪夫(Chebyshev)濾波器n橢圓(elliptic)函數(shù)或考爾（Cauer）濾波器n實現(xiàn)線性相位的貝塞爾濾波器2110log()1pA 2110log()1sA 之間的關(guān)系、與sPAA,622巴特沃思Butterworth低通濾波器 1基本性質(zhì)基本性質(zhì) BW濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)BW的低通模平方函數(shù)表示 , 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc指定 、 后，帶 到上式，得pApp0.122211|()|101(/)1pApNpcH j 10101 . Ap13時，當dBAp指定 、 后，帶 到上式，得sAs

13、s0.122211|()|101(/)1sAsNscH j 1010 1 . As用3dB截止頻率 來規(guī)一化：對頻率進行 ，下式變?yōu)?c /c, 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc|()|()H jN2211討論：|()|()H jN2211當 =0 時， =1 ,取最大值|()|H j2當 時， =0.5,取3dB值)( 1c|()|H j21)(/, 1/22接近時，很小，通帶jHNNcc0)(/, 1/22接近時，很大，通帶jHNNcc阻帶內(nèi)，由于|() |()HjjjcN221 或 AH jNjjsc 10202lg|()|lg()幅度隨著 N的增加阻帶衰減近似為6N d

14、b/倍頻程。 N越大，頻帶特性越接近理想矩形特性 |()|()H jN2211上式的臺勞級數(shù)展開為 ：NNjH4221| )(|12 , 2 , 1, 0| )(|02NkjHddk =0處函數(shù)對2Nl階導數(shù)都等于零曲線在 =0附近是最“平坦”,巴特沃思濾波器又叫做“最大平坦濾波器” 歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性 2設計過程設計過程 (a)按給定指標確定階次按給定指標確定階次N 222)(Nps)/lg()110/() 110lg(21)/lg()/lg(1 . 01 . 0psAApspsN)/lg()110lg()/lg()lg()/lg()/lg(1 . 0csAcscssN實際計

15、算時，要對上式求得的數(shù)值取整加1。若給定的指標 =3dB, 即通帶邊頻 時, =1,可求得cppA(b)從模方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)從模方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)H(s) 求得極點求得極點 , 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc帶入上式，得： js0)(12Ncjs)12() 1(kje由于NkesNNkjck2 , 2 , 12/)12(分析討論c在歸一化頻率的情況 =1，極點均勻分布在單位圓上 NkesNNkjk2 , 2 , 12/)12(對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng),它的所有極點均應在 s的左半平面上 系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成 濾波器的極點求出后，可取左平面上的所有極點構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù) )(1)(1

16、iNissAsH對于低通濾波器，為了保證在頻率零點 =0處， =1，可取| )(|jHNiiNsA1) 1()() 1()(1iiNiNssssH因此得 例例6 6-2-1舉例說明系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成 設計一巴特沃思濾波器，使其滿足以下指標: 通帶邊頻 =100k rad/s, 通帶的最大衰減為 =3dB，阻帶邊頻為 =400k rad/s,阻帶的最小衰減為 =35 dBpApsAs解解:由于通帶邊頻就是3dB 截止頻率，即 cp11101 . 0pA2 .561101 . 0sA確定階次N，9 . 24lg2 .56lg)/lg()/lg(csN3N取求左半平面的極點: sekkcjkNN()/,

17、 ,21212 3,3/21jces,2jcessecj323/得極點：構(gòu)成巴特沃思濾波器傳輸函數(shù)H(s)為 H ss s sssssssssscccc( )()()()1 231233322322相對截止頻率 歸一化，得歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) cHsa( )Hssssa( ) 122132一般一般N階歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù)階歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) 表示表示 Hsssa sa sassaiNiNNN( )()111112211是 =1時的極點，分布在單位圓上 sic分母一般稱為巴特沃思多項式，其系數(shù)可通過查表求得,見表5-2-1 表6-2-1 巴特沃思多項式系數(shù) Na1a2a

18、3a4a5a6a7a8a9 21.4142 32.00002.0000 42.61313.41422.6131 53.23615.23615.23613.2361 63.86377.46419.14167.46413.8637 74.494010.09714.59214.59210.0974.4940 85.152813.13721.84625.68821.84613.1375.1528 95.758816.58131.16341.98641.98631.16316.5815.7588106.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.392

19、5表6-2-2 巴特沃思多項式因式分解 N 巴 特 沃 思 多 項 式1 s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180+1)6(s2+0.5176s+1)(s2 +1.412s+1)(s2 +1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s

20、2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)上述歸一化公式和表格是相對3dB 截止頻率 給出的。由指定的技術(shù)指標 利用上述公式和表格進行設計時，最關(guān)鍵的2個參數(shù)是濾波器的節(jié)數(shù)N和3dB 截止頻率 。N用來求巴特沃思多項式， 用來反歸一化，求實際濾波器的參數(shù)。ssPpAA,ccc623 切比雪夫濾波器 63 設計IIR濾波器的脈沖響應不變法利用模擬濾波器設計數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設計數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)H（z），這歸根到底是一個由S平面到Z平面的變換，這種映射變換應遵循兩個基本原則：1）H（z）的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即S平面的虛軸應映

21、射到Z平面的單位圓上。2）Ha(s) 的因果穩(wěn)定性映射成 H（z）后保持不變，即S平面的左半平面 ReS0 應映射到Z平面的單位圓以內(nèi)|Z|1。1 1脈沖響應不變法脈沖響應不變法 原理：原理：從時域響應出發(fā)，使求得的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應h(t)的抽樣值。 nTtthnh)()(1(),( )Hsh tLHs如 果已 知則 有 ：（）則可由下式求的H（z）： )()()(nThZnhZzH下面討論兩種常用的映射變換方法。方法方法：將H(s)表示為部分分式形式 kkNkssAsH 1)( 其拉氏反變換為 得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應 對上式兩邊取Z變換得 )

22、()(1tueAthtskNkkNknTskNknTsknueAnTueAnhkk11)()()()(111)(zeAzHTskNkk（6-2-3） 根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號拉氏變換的關(guān)系maamTjsHTsH21)(推導理想采樣信號的拉氏變換與采樣序列的 Z 變換之間存在的 S 平面與 Z 平面的映射關(guān)系。 nnsTnststnenThdtenTtthdtenTtthsH)()()( )()()(aaaannznhzH)()(sTez s平面與z平面的映射關(guān)系 以上表明，采用脈沖響應不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時，它所完成的 S 平面到 Z 平面的變換，正是拉氏變換到Z變換的

23、標準變換關(guān)系，即首先對Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過 的映射關(guān)系映射到 Z 平面上。STez如果模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是穩(wěn)定的，其極點應位于左半平面 111)(zeAzHTskNkk0kesR 對應Z平面的極點有 1Tskkez 位于單位園內(nèi)。因此H(z)是一個穩(wěn)定的離散系統(tǒng)函數(shù)，這說明由一個穩(wěn)定的模擬濾波器得到了一個穩(wěn)定的數(shù)字濾波器 w穩(wěn)定性w映射關(guān)系jjT2jsrezj,令TerT,則S平面上每一條寬為 的橫帶部分，都將重疊地映射到Z平面的整個平面上:每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以內(nèi)，每一橫帶的右半部分映射到Z平面單位圓以外， 軸映射到單位圓上， 軸上每一段 都對應于繞單位圓一周。

24、T2j0TT3T3T)Im( zj)Re( z0S 平面Z 平面: 應指出，Z=esT的映射關(guān)系反映的是Ha(s)的周期延拓與 H（Z）的關(guān)系，而不是Ha(s)本身與H（Z）的關(guān)系，因此，使用脈沖響應不變法時，從Ha(s)到H(z)并沒有一個由S平面到Z平面的一一對應的簡單代數(shù)映射關(guān)系，即沒有一個S=f(z)代數(shù)關(guān)系式。還可看到，數(shù)字濾波器的頻響并不是簡單的重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓：TmjjHTeHamj21 mezmTjsHTsHzHST21)(aa如果模擬濾波器的頻率響應是帶限于折疊頻率之內(nèi)，即 這樣數(shù)字濾波器的頻率響應才能等于模擬濾波器的頻率響應 H jTs()

25、02H eTH jTj()()1但任何一個實際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即混淆，如圖，這時，數(shù)字濾波器的頻響將不同于原模擬濾波器的頻響而帶有一定的失真。模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時，采用脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。)(jeH)(TjHa00脈沖響應不變法中的頻響混淆注意：高通和帶阻濾波器一定不能滿足避免頻率混迭要求，將會產(chǎn)生混疊脈沖響應不變法不適合用來設計高通和帶脈沖響應不變法不適合用來設計高通和帶阻數(shù)字濾波器。阻數(shù)字濾波器。例 將一個具有如下系統(tǒng)函數(shù) 的模擬濾波器數(shù)字化。 解： 3111) 3)(1

26、(2)(sssssHTTezezzH3111111)(243131)(1)(zeeezeezTTTTT模擬濾波器的頻率響應為: 示于圖a4)3(2)3)(1(2)()(2jjjsHjHajs數(shù)字濾波器的頻率響應為: 顯然 與采樣間隔T有關(guān),如圖b,T越小,衰減越大,混疊越小,當 fs=24Hz ,混疊可忽略不計,為什么混迭呢? 2433)(1)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj)(jeH3 3幾點修正幾點修正 1 1）、消去）、消去T T的影響的影響 H eTH jTj()()1由由上上式可見，式可見，數(shù)字頻率響應與模擬頻率響應的第一差別是具有一數(shù)字頻率響應與模擬頻率響

27、應的第一差別是具有一個乘法因子個乘法因子(1/T)=(1/T)= f fS S，當采樣頻率，當采樣頻率f fS S很高時，將會使濾波器的增很高時，將會使濾波器的增益很大，這往往是不希望的，為此可對益很大，這往往是不希望的，為此可對下下式作修正式作修正：nTtthnh)()(h nTh ttnT( )( )令令2 2）、直接用數(shù)字頻率表示的求）、直接用數(shù)字頻率表示的求H( (z) )的公式的公式在實際濾波器設計中，因模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的表格大都是歸一化在實際濾波器設計中，因模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的表格大都是歸一化低通原型低通原型 ，其濾波器，其濾波器3dB3dB點截止頻率都歸一化在點截止頻率都歸一化

28、在c 1Hsa( )原因：可將設計公式及有關(guān)參數(shù)表格化，使之更通用。我們只要原因：可將設計公式及有關(guān)參數(shù)表格化，使之更通用。我們只要知道濾波器的階數(shù)，就可直接查出低通原型的系統(tǒng)函數(shù)。知道濾波器的階數(shù)，就可直接查出低通原型的系統(tǒng)函數(shù)。Hsa( )c當濾波器的實際截止頻率不等于當濾波器的實際截止頻率不等于1 1時，須進行所謂反歸一化，時，須進行所謂反歸一化，以以(s/ )(s/ )代替代替 中的中的s s，即實際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)即實際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H( (s) )應為應為H sHsac( )(/)H sHsAssAssackNkckkNkckc( )()(/)11H sHsac( )(/

29、)1( )NkakkAHsss為模擬歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)的極點 skH zZ Th tTAezkNkcs Tkc( )( ) 111有由,TccH zAezkNkcskc( ) 111例例5-3-15-3-1利用脈沖響應不變法設計一個4階巴特沃斯型數(shù)字低通濾波器，滿足以下指標(A) 若采樣周期T=10s，求實際模擬截止頻率fc， (B) 3dB截止頻率=0.2弧度。kHzfsradfTcccc102,/1020102.035有由,Tcc解：先計算模擬截止頻率，設計數(shù)字低通濾波器分三步：4 , 1,) 18478. 1)(17654. 0(1)(8)142(22kessssssHkjka第一步 查

30、巴特沃斯數(shù)字低通濾波器原型表，求得系統(tǒng)函數(shù) 第二步 部分分式分解并求AkH sAssAsskakkkkk iik( ),(),144114第三步 將 代入下式，kcksA及、整理并化簡求得H(z)的實系數(shù)二次形式 H zAezkNkcskc( ) 111H zAezkkcskc( ) 1411101847760884821 1314950618231847760409811 108704031317112112.zzzzzz小結(jié) 1)脈沖響應不變法的一個重要特點是頻率坐標的變換是線性的，與是線性關(guān)系。 因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過變換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響

31、應與頻率的關(guān)系。 例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過脈沖響應不變法得到的仍是線性相位的低通數(shù)字濾波器。 2)在某些場合，要求數(shù)字濾波器在時域上能模仿模擬濾波器的功能時，如要實現(xiàn)時域沖激響應的模仿，一般使用脈沖響應不變法。 TjHeHaj/)()( 3)如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是穩(wěn)定的。 4)脈沖響應不變法的最大缺點：有頻譜周期延拓效應，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應越小，至于高通和帶阻濾波器,由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中，此時可增加一保護濾波器，濾掉高于 的頻帶，再用脈

32、沖響應不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會增加設計的復雜性和濾波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡瞬態(tài)響應時才采用。 2s64 設計IIR濾波器的雙線性變換法1 1設計方法設計方法)( jH)(jeH 從頻域響應出發(fā)，直接使數(shù)字濾波器的頻域響從頻域響應出發(fā)，直接使數(shù)字濾波器的頻域響應應 ，逼近模擬濾波器的頻域響應逼近模擬濾波器的頻域響應 , ,進而求出進而求出H H( (z z) )。脈沖響應不變法的主要缺點脈沖響應不變法的主要缺點：n對時域的采樣會造成頻域的混疊效應，因而有可能對時域的采樣會造成頻域的混疊效應，因而有可能使設計的數(shù)字濾波器的頻域響應與原來模擬濾波器使設計的數(shù)字濾波器的頻域

33、響應與原來模擬濾波器的頻域響應相差很大，而且不能用來設計高通和帶的頻域響應相差很大，而且不能用來設計高通和帶阻濾波器阻濾波器原因：原因：從從S S平面到平面到Z Z平面的映射是多值的映射關(guān)系平面的映射是多值的映射關(guān)系雙線性變換的映射過程 脈沖響應不變法的映射過程 雙線性變換法的改進 為避免為避免頻域的混疊頻域的混疊，分兩步完成，分兩步完成S S平面到平面到Z Z平面的映射平面的映射TT，v將將S S平面壓縮到某一中介的平面壓縮到某一中介的S S1 1平面的一條橫帶域平面的一條橫帶域v通過標準的變換將此橫帶域映射到整個通過標準的變換將此橫帶域映射到整個Z Z平面上去，平面上去， 為了將S平面的j

34、軸壓縮到S1平面j1軸上的/T到/T 一段上，可通過以下的正切變換實現(xiàn)：0)2(tg1Tc這里C是待定常數(shù)， 經(jīng)過這樣的頻率變換， 當由 時, 1由-/T經(jīng)過變化到/T ，即S平面的整個j軸被壓縮到S1平面的2/T 一段。實現(xiàn)方法：通過標準變換關(guān)系映射到Z平面，將1映射到Z平面的單位圓上 Tsez1通常取C=2/T,TsTseecTscs1111)2(th1zzTsTsez1再將 S1 平面通過標準變換關(guān)系映射到Z平面，即令將這一關(guān)系解析擴展至整個S平面，則得到S平面到S1平面的映射關(guān)系：最后得S平面與Z平面的單值映射關(guān)系： 雙線性換法的主要優(yōu)點是S平面與Z平面一一單值對應，S平面的虛軸(整個

35、j)對應于Z平面 單位圓的一周，S平面的=0處對應于Z平面的=0處，對應即數(shù)字濾波器的頻率響應終 止于折疊頻率處，所以雙線性變換不存在混迭效應。zzTssTsTz)/()/(雙線性變換的映射關(guān)系滿足關(guān)于映射關(guān)系可行性的兩個條件 （1）S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上；（2）位于S左半平面的極點應映射到Z平面的單位圓內(nèi)。 2 12()21jjesjtgjTTe,jez 令112 11zsTz帶入表達式得：說明S平面的虛軸 映射成了Z平面的單位圓sj令 , 帶入表達式1/ 21/ 2T szT s得： 即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所

36、得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。2222221221|,221221 TTTTzTjTTjTz01| ,0;1|zz時時小結(jié) 1) 與脈沖響應不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點：S平 面與Z平面是單值的一一對應關(guān)系（靠頻率的嚴重非線性關(guān)系得到的），即整個j軸單值的對應于單位圓一周，關(guān)系式為：22tgT可見，和為非線性關(guān)系，如圖所示。 圖2 雙線性變換的頻率非線性關(guān)系 由圖中看到，在零頻率附近，接近于線性關(guān)系，進一步增加時，增長變得緩慢， (終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會出現(xiàn)由于高頻部 分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。,時 2)雙線性變換缺點： 與成非線性關(guān)系，導致： a. 數(shù)字濾波器

37、的幅頻響應相對于模擬濾波器的幅頻響應有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應與頻率的對應關(guān)系上發(fā)生畸變)。 例如，一個模擬微分器，它的幅 度與頻率是直線關(guān)系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器bktgjHeHbkjHtgj2)()()(2b. 線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。 c.要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段恒定的，故雙線性變換只能用于設計低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。 )計算H(Z) 雙線性變換比脈沖響應法的設計計算更直接和簡單。由于s與z之間的簡單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。 置換過程: 頻響：

38、 11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa22)()(22tgTjHjHeHatgTaj這些都比脈沖響應不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當著眼于濾波器的時域瞬態(tài)響應時，采用脈沖響應不變法較好，而其他情況下，對于IIR的設計，大多采用雙線性變換。 通過模擬原型設計數(shù)字濾波器的四個步驟：1）確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率k。2）由變換關(guān)系將k映射到模擬域，得出模擬濾波器的臨界頻率值k。3）根據(jù)k設計模擬濾波器的Ha(s)4） 把Ha(s) 變換成H(z)（數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)） 下面舉例討論兩種變換法在IIR數(shù)字濾波器設計中的應用。例例1 設采樣周期 ,設計一個三階巴特

39、沃茲LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1khz。分別用脈沖響應不變法和雙線性變換法求解。 解：a. 脈沖響應不變法 由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系是線性的，所以可直接按c =2fc設計Ha(s)。根據(jù)上節(jié)的討論，以截止頻率c 歸一化的三階巴特沃茲 濾波器的傳遞函數(shù)為：322211)(ssssHa32)/()/( 2)/( 211)(cccassssHcs /)4(250khzfsTs以 代替其歸一化頻率，得： 為進行脈沖響應不變法變換，計算Ha(S)分母多項式的根，將上式寫成部分分式結(jié)構(gòu)：2/)31 (3/2/)31 (3/)(6/6/jcsecjcseccscsHajj6/2113/;,jcce

40、cAsA2/)31 (,3/;2/)31 (36/32jsecAjscjcNiTSiZeAZHi111)(iS對照前面學過的脈沖響應不變法中的部分分式形式 ,有將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： 極點 并將 代入，得： 合并上式后兩項，并將 代入，計算得： 12/ )31(6/12/ )31(6/11)3/(1)3/(1/)(ZeeTZeeTZeTZHjjcjjcCccc5 . 02Tfcc21112079.01905.015541.0571.12079.01571.11)(ZZZZTZHTcc/ 可見，H（Z）與采樣周期T有關(guān)，T越小，H（Z）的相對增益越大，這是不希望的。為此，實際應

41、用脈沖響應不變法時稍作一點修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只與 有關(guān)，即只與fc和fs的相對值 有關(guān)，而與采樣頻率fs無直接關(guān)系。 例如， 與 的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù)，這一結(jié)論適合于所有的數(shù)字濾波器設計。 最后得：scff /21112079. 01905. 015541. 0571. 12079. 01571. 1)(zzzzZHCKHzfKHzfcs10,40KHzfKHzfcs1,4 b. 雙線性變換法 （一）首先確定數(shù)字域臨界頻率 5 . 02TfccTtgTcc222cs/32)/()/(2)/(211)(cccassssHTc/2（二）根據(jù)頻率的非線性關(guān)系，

42、確定預畸的模擬濾波器臨界頻率(三 ) 以 代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù)并將 代入上式。 （四）將雙線性變換關(guān)系代入，求H(Z)。311211111121111211211)()(11zzzzzzsHZHzzTsa 231112312111121131311131313111113131311212113131312111312122122211111141111111211111211211zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz 圖1 三階Butterworth 數(shù)字濾波器的頻響脈沖響應不變法雙線性變換法fs/2我們也可以用 MATLAB 完成設計，在 M

43、ATLAB 中相關(guān)的語句有butter（巴特沃茲濾波器） 、impinvar（脈沖響應不變法） 、bilinear（雙線性變換） ，具體的程序如下：B,A=butter(3,2*pi*1000,s); num1,den1=impinvar(B,A,4000); h1,w=freqz(num1,den1); B,A=butter(3,2/0.00025,s); num2,den2=bilinear(B,A,4000); h2,w=freqz(num2,den2); f=w/pi*2000; plot(f,abs(h1),-.,f,abs(h2),-); grid; xlabel(頻率/Hz )

44、ylabel(幅值/dB)020040060080010001200140016001800200000.10.20.30.40.50.60.70.80.91頻 率 / Hz幅值頻率/Hz三階巴特沃茲濾波器的頻率響應幅度/dB 圖1為兩種設計方法所得到的頻響，對于雙線性變換法，由于頻率的非線性變換，使截止區(qū)的衰減越來越快，最后在折 疊頻率處 形成一個三階傳輸零點,這個三階零點正是模擬濾波器在 處的三階傳輸零點通過映射形成的。因此,雙線性變換法使過渡帶變窄,對頻率的選擇性改善,而脈沖響應不變法存在混淆,且沒有傳輸零點。, 1Z進行頻率變換有以下兩種基本方法 ：65 設計IIR數(shù)字濾波器頻率變換法

45、第一種方法的簡化的形式：n找出歸一化模擬低通原型與數(shù)字高通，帶通和帶阻濾波器之間的從S域到Z域的變換關(guān)系n直接由歸一化模型低通原型變換成所需的數(shù)字濾波器在模擬濾波器的高通設計中，低通至高通的變換就是S變量的倒置，這一關(guān)系同樣可應用于雙線性變換，只要將變換式中的S代之以1/S，就可得到數(shù)字高通濾波器. 即11112zzTs1歸一化模擬低通原型到數(shù)字高通濾波器的頻率變換歸一化模擬低通原型到數(shù)字高通濾波器的頻率變換 由于倒數(shù)關(guān)系不改變模擬濾波器的穩(wěn)定性，因此，也不會影響雙線變換后的穩(wěn)定條件，而且 軸仍映射在單位圓上，只是方向顛倒了。jjjctgTeeTseZjjj22112,時22ctgT如圖即 映

46、射到 即 映射到 即 圖1 高通變換頻率關(guān)系 這一曲線的形狀與雙線性變換時的頻率非線性關(guān)系曲線相對應，只是將 坐標倒置，因而通過這一變換后可直接將模擬低通變?yōu)閿?shù)字高通,如圖2。22ctgT01z1z01.01.00 圖2 高通原型變換 應當明確： 所謂高通DF，并不是高到 ，由于數(shù)字頻域存在 折疊頻 率 ，對于實數(shù)響應的數(shù)字濾波器， 部分只是 的鏡象部分，因此有效的數(shù)字域僅是 ，高通也僅指這一段的高端，即到 為止的部分。 高通變換的計算步驟和低通變換一樣。但在確定模擬原型預畸的臨界頻率時，應采用 ,不必加負 號，因臨界頻率只有大小的意義而無正負的意義。2由0由022kkctgT例例 ： 采樣

47、設計一個三階切比雪夫高通DF，其通過頻率 （但不必考慮 以上的頻率分量），通帶內(nèi)損耗不大于1dB。 解：首先確定數(shù)字域截止頻率 , ,100,10usTkHzfskHzf5 .2kHzfs525.0211Tf22211TctgT1222/11)(NaVjH)(NV則切比雪夫低通原型的振幅平方函數(shù)為：為N階切比雪夫多項式通帶損耗 時，N=3時,系統(tǒng)函數(shù)為：5089. 01101 . 03212131319883. 0238. 14913. 04913. 0)(ssssHadB1為方便，將 和 S 用T/2歸一化， 則12, 12/11TssT329883. 0238. 14913. 04913.

48、 0)(ssssHa于是 321321112041. 06043. 03432. 013311321. 0)()(11zzzzzzsHZHzzsa圖3 三階切比雪夫高通頻響2歸一化模擬低通原型到數(shù)字帶通濾波器的頻歸一化模擬低通原型到數(shù)字帶通濾波器的頻率變換率變換 直接尋求模擬低通到數(shù)字帶通之間的映射關(guān)系 l0uslsus ： 中心頻率 ：下邊頻和上邊頻 ：下阻帶上邊頻 ：上阻帶下邊頻 ：模擬的阻帶下邊頻 c:模擬的3DB截止頻率 0000zesj(零點) 01,zsj(極點) 數(shù)字帶通到模擬低通的映射應滿足的映射關(guān)系 滿足以上關(guān)系的變換式為: sszezezzzzzjj()()()()()co

49、s0011211202穩(wěn)定變換：S平面穩(wěn)定的函數(shù)變換到Z平面也是穩(wěn)定的 例如設0z=r1,則有 01)cos1 (2)1 (11cos2202202rrrrrrs表明：Z平面單位圓內(nèi)的極點變到了S平面的左半平面 jez 其次令 代入上式，可得頻率變換關(guān)系 jjeeesjjjsincoscos11cos20202表明：Z平面單位圓變換到了S平面的虛軸 模擬低通與數(shù)字帶通的頻率變換 sususbsincoscos01c當 時，反歸一化處理csp/) 1(1cos2202zzzspcc)2cos()2cos(cos0luuluucsincoscos0例例6-5-3 設計一個三階巴氏數(shù)字帶通濾波器對模

50、擬信號濾波,上下邊帶的3dB截止頻率為 =12.5kHz, =37.5kHz,阻帶邊頻 = 45.125 kHz,采樣頻率為 =100kHz。并求阻帶的最小衰減。 f21f2sfsf解: 1）先確定上下邊帶的3dB數(shù)字截止頻率，及上阻帶下邊頻 radffs75. 010/105 .372/253113522/212.5 10 /100.25lsffradradffssu925. 010/10125.452/25322）確定數(shù)字中心頻率: 0)2cos()2cos(cos212100()/ 20.5lu得：3512/237.5 10 /100.75usffrad3522/245.125 10 /

51、100.925sussffrad3）求模擬低通截止頻率和阻帶下邊頻 01coscoscos0.5cos0.751sinsin 0.75ucu 0coscoscos(0.5 )cos(0.925 )4.1653sinsin(0.925 )sussu 4）求 , 當 =1時,三階巴氏低通濾波器的傳輸函數(shù)為: Hsa( )cHssssa( ) 1221325）求H(z),將 代入上式得 szzzzz2022221111cosH zHszzzzaszz( )( )22112464121333fs26）求相對 =45.125kHz處的阻帶的最小衰減。由下式 sANcssjH1 . 02210)/(11|

52、 )(|得：)/(11log10210NcssA代入 和 及N=3，求得 csdBAs18.37例6-5-3設計的帶通濾波器的幅度響應與相位響應652 數(shù)字域頻率變換法 在已知數(shù)字低通濾波器時，通過在Z域內(nèi)的數(shù)字頻域變換得到所需類型的數(shù)字濾波器 假定變換前的平面為z平面，變換后的為Z平面，這種變換就是要將z平面的系統(tǒng)函數(shù) 映射成Z平面的系統(tǒng)函數(shù) 。假設從z到Z的映射關(guān)系為 )(zHL)(ZHd)(11ZGz)(11| )()(ZGzLdzHZH則有：變換函數(shù) 必須滿足以下三個條件： )(1ZG（1）為滿足一定的頻率響應要求，z域的頻率必須變換成Z域的頻率，也就是說平面的單位圓必須映射到Z平面的

53、單位圓上； （2）為保證由因果穩(wěn)定的系統(tǒng)變換得到的系統(tǒng)也是因果穩(wěn)定的，要求平面的單位圓內(nèi)部必須映射到Z平面的單位圓內(nèi)部； （3）由于 是z-1的有理函數(shù)，為了保證變換后的 也是Z-1的有理函數(shù)，要求變換函數(shù) 必須是Z-1的有理函數(shù)。 )(zHL)(ZHd)(1ZG設 和 分別為z 平面和Z 平面的數(shù)字頻率變量，即 jez jeZ 得帶入)(11ZGz)(arg| )(|)(jeGjjjeeGeGe有：1| )(|jeG)(argjeG表明函數(shù) 在單位圓上的幅度必須恒等于1全通函數(shù)，任何全通函數(shù)都可以表示為NiiiZZZG11*111)()(1ZG全通函數(shù)的特點保證極點在單位圓內(nèi)，即 ，以保證變

54、換后穩(wěn)定性不變 1|iNiiiZZZG11*111)()(1ZG的所有零點都是其極點的共軛倒數(shù) ，)/1 (*i當 由0變到 時，全通函數(shù)相角 的變化量為 。選擇合適的N和 ，則可得到各類變換 )(argjeGNia1數(shù)字低通數(shù)字低通 數(shù)字低通數(shù)字低通 )(zHL)(ZHd 和 都是低通系統(tǒng)函數(shù)，只是截止頻率不同)(zHL)(ZHd 從0變到 時， 也應從0變到 ，如圖所示。由全通函數(shù)相角變化為 ，可確定此處階數(shù)應為 ，故變換函數(shù)為一階全通函數(shù) N1N11111)(ZZZGzjjeZez,帶入，注意為實數(shù)。得頻率間關(guān)系為 ：jjjeee1 圖1(a) LP-LP變換（有對稱性）c00cos1s

55、inarctan2cos)1 (2sin)1 (arctan22由此求得 與 之間的關(guān)系：，線性時，0時，頻率壓縮0時，頻率擴張0對于幅度響應為分段常數(shù)的濾波器，變換后仍可得類似的頻率響應 設低通原型的截止頻率為 ，變換后的對應截止頻率為cc帶入下式得：jjjeee122sincccc 由截頻為 的 得到截頻為 的 變換關(guān)系：cc)(zHL)(ZHd1111| )()(ZzzLdzHZH2數(shù)字低通數(shù)字低通數(shù)字高通數(shù)字高通 低通變成高通，只需將頻率響應旋轉(zhuǎn)180，即將Z變換成-Z即可旋轉(zhuǎn)變換 11111)(ZZZGz將下式中的 用 代替，1Z1 Z得到低通到高通的變換1111ZZz2cos2co

56、scccc圖3 (a) LP-BP變換102cc003數(shù)字低通數(shù)字低通數(shù)字帶通數(shù)字帶通 LP-BP變換把帶通的中心頻率 故 N=2。 由以上分析得變換關(guān)系： 或 00c2c1) 1 (1)(1122211211zrzrrzrzzgu) 2(1122212jjjjjererreree00000,0時，如圖3(a), 1)1(,0g，時全通函數(shù)取負號。 1122221111122212122212jjjjjjjjjjererrereeererrereecc把變換關(guān)系 代入（2）式得 ：消去 r1，得：令cc21,)()()()(1212121222111122)()(2jjjjjjjjjjjjjj

57、jjjjjjeeeeeeeeeeeeeeeeeeeercccccc2)2(12ctgtgk確定r1, r2 ：可證明， 其中 r1,r2代入（2）式，則可確定頻率變換關(guān)系，如圖3（b）。112kkr121kkr)2cos()2cos(1212LP-BP頻率關(guān)系 圖4 (a) LP-BS變換201cc)(jeH004數(shù)字低通數(shù)字低通數(shù)字帶阻數(shù)字帶阻 如圖4(a), LPBS變換把帶阻的中心頻率 的變化范圍為 ,故 N=2 又 g(1)=1, 所以，全通函數(shù)取正號。 由以上分析得變換關(guān)系： （1） 或 （2）0000000，21)(1122211211zrzrrzrzzgu1122212jjjjj

58、ererreree確定r1, r2 ： 把變換關(guān)系 代入（2）式得 ： 其中 ， r1, r2代入（2）式，得圖4（b）,此頻率變換關(guān)系與前面的分析相吻合。2212ctgtgk121krkkr1122cos2cos1212cc21,LP-B S頻率變換關(guān)系6.6 IIR數(shù)字濾波器的計算機輔助設計 脈沖響應不變法和雙線性變換法脈沖響應不變法和雙線性變換法n設計時先設計模擬濾波器，再經(jīng)過變換得到需要的數(shù)字濾波器設計時先設計模擬濾波器，再經(jīng)過變換得到需要的數(shù)字濾波器n只適合于設計幅度特性分段恒定的濾波器，例如低通、高通、帶通只適合于設計幅度特性分段恒定的濾波器，例如低通、高通、帶通和帶阻等濾波器，不

59、能設計任意幅度特性或多帶的濾波器和帶阻等濾波器，不能設計任意幅度特性或多帶的濾波器n設計所得的濾波器在性能上也不一定是最優(yōu)的設計所得的濾波器在性能上也不一定是最優(yōu)的計算機輔助設計計算機輔助設計n按照指定的濾波器特性，根據(jù)某種最優(yōu)化準則，利用計算機進行反按照指定的濾波器特性，根據(jù)某種最優(yōu)化準則，利用計算機進行反復迭代運算，從而求出所要求的濾波器復迭代運算，從而求出所要求的濾波器n既可在時域特性進行，也可在頻域特性進行，既可在時域特性進行，也可在頻域特性進行，w指定濾波器的單位脈沖響應或指定濾波后的輸出波形指定濾波器的單位脈沖響應或指定濾波后的輸出波形w指定濾波器的頻率特性指定濾波器的頻率特性本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容n介紹一種從頻域出發(fā)，基于最小均方誤差的最優(yōu)化介紹一種從頻域出發(fā)，基于最小均方誤差的最優(yōu)化準則，求濾波器傳輸函數(shù)的計算機輔助設計方法準則，求濾波器傳輸函數(shù)的計算機輔助設計方法n討論最小平方逆濾波的問題討論最小平方逆濾波的問題w從時域出發(fā)，按照均方誤差最小的準則來求取濾波器的單從時域出發(fā)