高等數(shù)學1-7-無窮小的比較ppt課件

1、第七節(jié) 無窮小的比較【例1】當 x0 時，2)(,2)(,)(xxxxxx都是無窮小，察看上述三個函數(shù)趨于零的速度：x0 xx )(xx2)(2)(xx 0.10.10.20.010.010.010.020.00010.0010.0010.0020.0000010.00010.00010.00020.00000001 趨于零的速度最快，趨于零的速度最快， ， 速度差不多速度差不多. .2)(xx xx )(xx2)(【例2】xxx3lim20,313sinlim0 xxx.,sin,3,02都是無窮小時當xxxxx 極限不同, 反映了趨向于零的“快慢程度不同.趨近零的速度要快得多比 xx32趨

2、于零的速度相同與xxsin, 0, 1察看各極限察看各極限203limxxx趨近零的速度要慢得多比23xx,xxxsinlim0趨于零的速度差不多與 xx3sin定義 設 是同一過程中的兩個無窮小，且 ,. 01假設 ，那么就說 是比 高階的無窮小，記作0lim);(o2假設 ，那么就說 是比 低階的無窮小;lim3假設 ，那么就說 與 同階無窮小;0lim c4假設 ，那么就說 是關于 的 k階無窮小;0, 0limkck5假設 ，那么就說 與 是等價無窮小，記作1lim.xx;cos1)2(xx5;3sin) 1 (2;cos1)4(2xxxx ; )1ln()5(xex; 1)6(【例3

3、】比較下列各對無窮小階時當,0 x的高低.2;cos1)3(xxxxxxxx33sin53lim53sinlim) 1 (0053同階xxxcos1lim)2(0)cos1 (sinlim20 xxxxxxxxxcos1sinsinlim001101高階)cos1 ()cos1)(cos1 (lim0 xxxxx2111112)cos1 ()cos1)(cos1 (limcos1lim)3(2020 xxxxxxxx)cos1 (sinlim220 xxxxxxxxcos11)sin(lim20二階無窮小2cos1lim)4(20 xxx220)2(2sinlimxxx1等價無窮小22cos1

4、cos22cos1sin22xxxx22sin2lim220 xxx2cos12xx5ln(1) (0)xx x故601limxxex001limlim1,ln(1)xxueuxu那那么么故故1 (0)xex x1,xeu 令令等價無窮小等價無窮小xxx)1ln(lim0 xxx10)1ln(limxxx)1ln(lim0)1 (limln10 xxx. 1ln e【例4】證明：當 時， .0 xnxxn11證 由于nxxnx11lim0) 1)1 ()1 (1)1(lim210nnnnnnxxxnxx11)1 ()1 (lim210nnnnxxxnnxxn11所以)(122321nnnnnn

5、nbabbabaababannxxnnnxnnxnx32! 3)2)(1(! 2) 1(! 11)1 (nxxn11【例4】證明：當 時， .0 x證 只需證 即可. 111lim0nxxnx. 1)1 (,11ntxtxn令. 0, 0tx當nxxnx11lim0 xxnnx11lim01)1 (lim0ntttnntttnnntnntntn320! 3)2)(1(! 2) 1(! 1lim1! 3)2)(1(! 2) 1(1lim120ntttnnntnnnn定理1 與是等價無窮小的充分必要條件是 ).(o稱 是 的主要部分.【例5】由于當 時， 0 x,arcsin,tan,sinxxx

6、xxx,2cos12xx所以當 時有 0 x)(tan),(sinxoxxxoxx)(2cos1),(arcsin22xoxxxoxx證 必要性. 設 ，那么01lim) 1lim(lim闡明 是比 的高階無窮小，即)(o因此 可以表示成 ).(o充分性. 假設 ，那么 )(o1)(1lim()(lim(limoo闡明 .定理2 (等價無窮小代換定理).limlim,lim,則存在且設證lim)lim(limlimlim.lim此定理還可以僅代換分子或分母：limlimlimlim常用等價無窮小:0時當 u,sinuu.11nuun,tanuu,)1ln(uu,1ueu,2cos12uu,ar

7、ctanuu,arcsinuu u可以是變量，也可以是函數(shù)可以是變量，也可以是函數(shù). 這個定理通知我們，在求兩個無窮小之比的極這個定理通知我們，在求兩個無窮小之比的極限時，可將分子、分母同時或分別用與它等價限時，可將分子、分母同時或分別用與它等價的無窮小來代換的無窮小來代換. .)0(,1)1 (uu【例6】證明,1)1 (tx)0, 0(,1)1 (xxx兩端取對數(shù)，得),1ln()1ln(tx又當x0，t0. 所以)1ln(1)1 (lim1)1 (lim00 xxxxxx證)1ln(xx由于 ，所以,1)1 (tx令xxx1)1 (lim01)1ln(lim0ttt)0, 0(,1)1

8、(xxx所以【例7】求以下極限xxx5sin3tanlim) 1 (0 xxxx3sinlim)2(303)21ln(lim)3(0 xxx解 1當 x0 時，xxxx55sin,33tan5353lim5sin3tanlim00 xxxxxx2當 x0 時，xx sinxxxxxxxx3lim3sinlim30303131lim20 xx3當 x0 時，xx2)21ln( 332lim)21ln(lim00 xxxxxx0lim2320 xx【例8】.2sinsintanlim30 xxxx求解.sin,tan,0 xxxxx時當 30)2(limxxxx原式. 0解,0時當 x)cos1

9、(tansintanxxxx,2232xxx,22sinxx330)2(21limxxx原式.161錯錯 作業(yè) 習題 1-7 P.55 3.4.5【例【例1010】.cos12tanlim20 xxx求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時當22021)2(limxxx原式. 8 .)31ln(1limsin0 xexx求313sinlim0 xxx原式【例【例1313】解解,0時當 x,3)31ln(xx,sin1sinxexxxxxxarctan1sin1lim20 xxxxxx21lim2sinlim030【例【例1414】2sin1sin1xxxx【例【例5 5】證明】證明

10、證證 令令arcsin (0),xx x txtxsin,arcsin則ttxxtxsinlimarcsinlim00，當x0，t0.1所以，arcsin (0),xx x 【例【例5 5】證明】證明1 ln (0)xaxa x證證 令令)1 (log,1txtaax則atln)1ln( 當x0，t0.aattaxatxxlnln)1ln(limln1lim001)1ln(lim0ttt所以，1 ln (0)xaxa x【例【例7 7 】.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求解解第一步，判別類型：1型第二步，套用第二個重要極限第三步，變形求解310)1sin1tan1(1 limx

11、xxx原式31sin1sintansintansin10sin1sintan1 limxxxxxxxxxxx301sin1sintanlimxxxxx301cos)sin1 ()cos1 (sinlimxxxxxxxxxxxxxcos)sin1 (1cos1sinlim2021.21e原式01sin1limarctanxxxxx解解 由于當由于當x0 x0001sin1sin112limlimarctan2xxxxxxxxx x【例【例7 7 】求】求xxxxxxarctan,2sin1sin101coslim(1 cos)xxxx解解【例【例7 7 】求求)cos1 ()cos1 ()cos

12、1)(cos1 (lim0 xxxxxx2cos12uu)cos1 ()cos1 (cos1lim0 xxxxx2)()cos1 (2lim220 xxxxx原式011lim2(1cos )xx三、小結1.無窮小的階的比較無窮小的階的比較反映了同一過程中反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度兩無窮小趨于零的速度快慢快慢, 但并不是一切的無窮小都可進展比較但并不是一切的無窮小都可進展比較.2. 等價無窮小交換：等價無窮小交換：求極限的重要方法求極限的重要方法, 留意適用條件留意適用條件.高高(低低)階無窮小階無窮小; 等價無窮小等價無窮小; 同階無窮小同階無窮小.思索題思索題1. 求求xxbx

13、axx)(lim22lim()()xxxxa xb 解：解：2()lim,()xa b x abxa bxb a x ab 2()lim1()xxab xabxba xaba be原式xxbxaxx)(lim2xxbxxaxx)()(limxxxbxxaxx)()(limxxxxbxxaxx)(lim)(limxxxxbxbaxa)1 (lim)1 (limbabaeee2. 求11lim32cos0 xeexx解：解：11lim32cos0 xeexx11) 1(lim321cos0 xeexx)0(1uueu)0(1)1 (uuu31coslim20 xxex)0(2cos12uuu32l

14、im220 xxexe236 6、xaxnx1)1(lim10 = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習習 題題7 7、當、當0 x時，時，)0(3 aaxa 對于對于x是是_階無窮小階無窮小 . .8 8、當、當0 x時，無窮小時，無窮小xcos1 與與nmx等價，則等價，則 ._, nm 二、求下列各極限：二、求下列各極限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；三、三、 證明：若證明：若 ,是無窮小，則是無窮小，則)(0 . .四、設四、設 f(x)=f(x

15、)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表達式的表達式 . . 2 2、確定、確定ba,的值的值, ,使得使得)1()(lim1fxfx ， )1()(lim1 fxfx . .一一、1 1、23； 2 2、 nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2； 4 4、 ； 5 5、x； 6 6、na； 7 7、3 3； 8 8、21, , 2 2. .二二、1 1、21； 2 2、 e； 3 3、 ； 4 4、a2sec. .練習題答案練習題答案四、四、1 1、 1),cos(1,2)cos(11,2)cos(11,2sinxbxaxbaxbaxxx； 2

16、 2、0,), 1,0(2 bkka. .【例【例1111】 知當知當 x0 x0時，時，1)1 (312ax1cosx與是等價無窮小，求a ., 12131lim1cos1)1 (lim2203120 xaxxaxxx.23a則解解不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別交換對于代數(shù)和中各無窮小不能分別交換. .留意：留意：3030) 1cos1(sinlimsintanlimxxxxxxxxxxxxxcos)cos1 (sinlim30211121.tansin3的同階無窮小為xxx【例【例5 5】由于】由于)cos1 (cos)cos1)(cos1 (sinlim30 xxxxxxxxxxxxcos11cos1sinlim3302,tansin3xxxx的三階無窮小為或的主要部分. 是tanx-sinx【例9】求以下極限xxx)sin(sinlim) 1 (0 xx sin1sinlim0 xxx11cos1lim)2(0 xxx022lim20 xxx2cos12xx211xx xeexxxtanlim)3(0 xeexxxtan) 1() 1(lim0 xexexxxxtan1limtan1