數(shù)列綜合應(yīng)用放縮法

1、數(shù)列綜合應(yīng)用（ 1）用放縮法證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式 一、備考要點數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中， 是歷年高考命題的熱點，這類問題能有效地考查學(xué)生 綜合運用數(shù)列與不等式知識解決問題的能力解決 這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條： 一是先求和再放縮，二是先放縮再求和二、典例講解1先求和后放縮例 1 正數(shù)數(shù)列 an 的前 n 項的和 Sn ，滿足2 Sn an 1 ，試求：（1）數(shù)列 an 的通項公式；（2）設(shè) bn，數(shù)列 bn 的前 n 項的和an an 1為 Bn ，求證： Bn 122. 先放縮再求和 放縮后成等差數(shù)列，再求和例2已知各項均為正數(shù)的數(shù)列 an的前 n

2、項和為 Sn,2且 an an2Sn.（1） 求證： Sn22anan 1（2） 求證： Sn求證： 2S1 S2 放縮后成等比數(shù)列，再求和 例 3（ 1）設(shè) a，nN*，a 2，證明：2n n na2n （ a）n （a 1） an ；1（2）等比數(shù)列 an中， a11 ，前 n 項的和為 An，22an 且A7，A9，A8成等差數(shù)列設(shè) bnn ，數(shù)列 bn1 an前n項的和為 Bn，證明： Bn13 放縮后為差比數(shù)列，再求和 例 4已知數(shù)列 an 滿足： a1 1，an 1 (1 2nn )an(n 1,2,3 )求證：n1an 1an2n 放縮后為裂項相消，再求和 例 5在 m（m2）個

3、不同數(shù)的排列 P1P2Pn 中， 若 1iPj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)） ， 則稱 Pi與 Pj 構(gòu)成一個逆序 . 一個排列的全部逆序的 總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù) . 記排列 （n 1）n（n 1） 321 的逆序數(shù)為 an，如排列 21 的逆序數(shù) a1 1，排列 321的 逆序數(shù) a3 6 （1）求 a4、 a5，并寫出 an的表達式；（2）令 bn anan 1 ，證明：an 1 an2n b1 b2bn 2n 3 ，n=1,2,.高考真題再現(xiàn)：321.（06 浙江卷） 已知函數(shù) f （x） x3 x2 ， 數(shù)列 xn（ xn 0）的第一項 x1 1，以后各項按如下方式取定：曲線 yf（x）

4、在 （xn 1, f（xn 1） 處的切線與經(jīng)過（0，0）和（ xn ，f （xn） ）兩點的直線平行（如圖）求證：當(dāng)* n N*時，()xn2 xn3xn 12xn 1 ；1 n 11 n 2（）( )n 1xn ( ) 。2.（06 福建卷） 已知數(shù)列 an 滿足a1 1,an 1 2 an 1（n N ）.（I ）求數(shù)列 an 的通項公式；（II ）證明：n213a1a2a2 .a3an an 1nn2(nN*)3.（07 浙江）已知數(shù)列an中的相鄰兩項a2k 1，a2k是關(guān)于 x 的方程2 x(3kk2k)x3k2k0的兩個根，且 a2k 1 a2k（k 1，2，3，L ） （ I ）

5、求 a1 ， a2 ， a3 ， a7 ；II ）求數(shù)列 an 的前 2n項和 S2n ；1 sin n)記 f (n) 32 sin n( 1)f (4)a5 a6( 1)f (n 1)a2n 1a2 n求證：1 5 *16Tn 254(n N*)( 1)f (2) a1a2( 1)f (3) a3a44.（07湖北） 已知 m，n 為正整數(shù)，I ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) x1時，(1 x)m 1 mx ；II）對于 n6 ，已知 1n3求證 1m m n3m1， m 1，2，L ， n ；2III ）求出滿足等式 3n 4n L(n 2) n (n 3)m的所有正整數(shù) n 5. （08 遼寧

6、） 在數(shù)列 an , bn 中, a1 2,b1 4 ,且an,bn,an 1成等差數(shù)列 ,bn,an1,bn 1成等比數(shù)列求 a2,a3,a4及b2,b3,b4, 由此猜測 an , bn 的通項 公式, 并證明你的結(jié)論證明 :1a1 b11La2 b215an bn 12數(shù)列綜合應(yīng)用（ 1）用放縮法證明與數(shù)列和有關(guān)的不等式 一、備考要點 數(shù)列與不等式的綜合問題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中， 是歷年高考命題的熱點，這類問題能有效地考查學(xué)生 綜合運用數(shù)列與不等式知識解決問題的能力解決 這類問題常常用到放縮法，而求解途徑一般有兩條： 一是先求和再放縮，二是先放縮再求和二、典例講解 1先求和后放縮 例

7、 1 正數(shù)數(shù)列 an 的前 n 項的和 Sn ，滿足2 Sn an 1 ，試求：（1）數(shù)列 a n 的通項公式；1（2）設(shè) bn，數(shù)列 bn 的前 n 項的和an a n 1為 Bn ，求證： Bn 122. 先放縮再求和 放縮后成等差數(shù)列，再求和例 2已知各項均為正數(shù)的數(shù)列 an 的前 n項和為 Sn ,且 an2 an 2Sn .22(1) 求證：anan 1 ；Sn；4(2) 求證：2S1S2Sn2 放縮后成等比數(shù)列，再求和例 3( 1)設(shè) a，nN*，a 2，證明：2n n na ( a) (a 1) a ；1(2)等比數(shù)列 an中， a11 ，前 n 項的和為 An，22an且 A7

8、，A9，A8成等差數(shù)列設(shè) bnn ，數(shù)列 bn1 an1前 n 項的和為 Bn，證明： Bn 3 放縮后為差比數(shù)列，再求和 例 4已知數(shù)列 an 滿足： a1 1，an 1an 1(1 2nn )an(n 1,2,3 )求證：n1an 3 2n 1 放縮后為裂項相消，再求和例 5在 m（m2）個不同數(shù)的排列 P1P2Pn 中， 若 1iPj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)） ， 則稱 Pi與 Pj 構(gòu)成一個逆序 . 一個排列的全部逆序的 總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù) . 記排列 （n 1）n（n 1） 321 的逆序數(shù)為 an，如排列 21 的逆序數(shù) a1 1，排列 321的 逆序數(shù) a3 6 1）求 a4

9、、 a5，并寫出 an的表達式；2）令 bnanan 1 ，證明：an 1an高考真題再現(xiàn)：321.（06 浙江卷） 已知函數(shù) f （x） x3 x2 ， 數(shù)列 xn（ xn 0）的第一項 x1 1，以后各項按如下方式取定： 曲線 y f（x）在（xn 1, f（xn 1） 處的切線與經(jīng)過0，0）和（ xn， f （xn ） ）兩點的直線平行（如圖） 求證：當(dāng) n N* 時，2() xn xn2xn 1 ；3xn2 12.（06 福建卷） 已知數(shù)列 an 滿足a1 1,an 1 2 an 1(n N ).I ）求數(shù)列 an 的通項公式；ann *n (n N * ).an 12II ）證明：

10、n 1 a1 a22 3 a2 a33.（07 浙江） 已知數(shù)列 an 中的相鄰兩項 a2k 1，a2k2 k k是關(guān)于 x的方程 x2 （3k 2k ）x 3k 2k 0的兩個根，且 a2k 1 a2k（k 1，2，3，L ） I )求 a1 ， a2 ， a3 ， a7 ；II ）求數(shù)列 an 的前 2n項和 S2n ；)記 f (n)1 sin n2 sin n3，( 1)f (3) ( 1)f (4)( 1)f (n 1)a2n 1a2 n求證：1 5 *16 Tn 254 (n N* )a1a2a3a4 a5 a6T ( 1)f (2)Tn4.（07湖北） 已知 m，n 為正整數(shù)，I ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) x1時，(1 x)m 1 mx ；II）對于 n6 ，已知mm12m求證 1 mn3，m1，2，L ，III ）求出滿足等式3n 4n(n 2) nn；(n 3)m的所有正整數(shù) n