D31中值定理高等數(shù)學(xué)課件

1、D31中值定理高等數(shù)學(xué)第三章中值定理中值定理研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三節(jié))推廣推廣微分中值定理 與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 D31中值定理高等數(shù)學(xué)一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理第一節(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 D31中值定理高等數(shù)學(xué)費馬費馬(fermat)引理引理一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理,)(0有定義在x且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf證證: 設(shè), )()

2、(, )(0000 xfxxfxxx則)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x)(xfy 費馬 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證畢D31中值定理高等數(shù)學(xué)羅爾（羅爾（ Rolle ）定理）定理)(xfy 滿足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyoab)(xfy 證證:，上連續(xù)在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 則, ,)(baxMxf因此.0)(, ),(fba在(

3、a , b ) 內(nèi)至少存在一點機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)若 M m , 則 M 和 m 中至少有一個與端點值不等,不妨設(shè) , )(afM 則至少存在一點, ),(ba使,)(Mf. 0)(f注意注意:1) 定理條件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,1,010,)(xxxxfx1yo則由費馬引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)使2) 定理條件只是充分的. 本定理可推廣為)(xfy 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b

4、 ) 內(nèi)至少存在一點,. 0)(f證明提示證明提示: 設(shè)證 F(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 . )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)例例1. 證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且僅有一個小于1 的正實根 .證證: 1) 存在性 .則)(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假設(shè)另有, 0)(

5、1xf使在以)(xf10, xx為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 ,之間在10, xx至少存在一點,. 0)(f使但矛盾, 故假設(shè)不真!設(shè)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù))(xfy 滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思維逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,)(x在 a , b 上連續(xù) , 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且證證: 問題轉(zhuǎn)化為證)(x)(xfxa

6、bafbf)()()(a由羅爾定理知至少存在一點, ),(ba,0)(使即定理結(jié)論成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0)()()(abafbff證畢D31中值定理高等數(shù)學(xué)拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論推論: 若函數(shù)在區(qū)間 I 上滿足,0)( xf則)(xf在 I 上必為常數(shù).)(xf證證: 在 I 上任取兩點, )(,2121xxxx上用拉在,21xx日中值公式 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上為常數(shù) .) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令則機(jī)動

7、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)例例2. 證明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx證證: 設(shè),arccosarcsin)(xxxf上則在) 1, 1()(xf由推論可知Cxxxfarccosarcsin)( (常數(shù)) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所證等式在定義域 上成立. 1, 1自證自證:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0經(jīng)驗經(jīng)驗: 欲證Ix時,)(0Cxf只需證在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)例例3. 證明不等式證證: 設(shè), )1l

8、n()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(xtf中值定理條件,即因為故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此應(yīng)有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點, ),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf滿足 :)(xF0)(

9、xF)()(aFbF)(abFba0要證)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)證證: 作輔助函數(shù))()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則babax且, ),(ba使, 0)(即由羅爾定理知, 至少存在一點.)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF兩個 不一定相同錯錯! !機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返

10、回 結(jié)束 上面兩式相比即得結(jié)論. D31中值定理高等數(shù)學(xué)柯西定理的幾何意義柯西定理的幾何意義:)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:xyo弦的斜率切線斜率機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué))0() 1 (ff)0() 1 (FF例例4. 設(shè)).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在xf至少存在一點),1,0(使證證: 結(jié)論可變形為設(shè)則)(, )(xFxf在 0, 1 上滿足柯西中

11、值定理條件, 因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點 , 使)(f )(F012即)0() 1 (2)(fff證明機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)11lncos1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(eFfFeFfef例例5. 試證至少存在一點), 1(e使.lncos1sinlncos1sin 證證: 法法1 用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿足柯西中值定理條件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

12、 D31中值定理高等數(shù)學(xué)例例5. 試證至少存在一點), 1(e使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理條件, ), 1 ( e使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的應(yīng)用(1) 證明恒等式(2) 證明不等式(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵關(guān)鍵: 利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)

13、費馬引理機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)4412 3412思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 填空題填空題1) 函數(shù)4)(xxf在區(qū)間 1, 2 上滿足拉格朗日定理條件, 則中值._2) 設(shè)有個根 , 它們分別在區(qū)間341530)( xf)4, 3(, )2, 1 (, )3,2(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程D31中值定理高等數(shù)學(xué)2. 設(shè),0)(Cxf且在),0(內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點, ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由結(jié)論可知, 只需證0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf驗證)(xF在,0

14、上滿足羅爾定理條件.設(shè)xxfxFsin)()(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)3. 若)(xf可導(dǎo), 試證在其兩個零點間一定有)()(xfxf的零點. 提示提示: 設(shè),0)()(2121xxxfxf欲證:, ),(21xx使0)()(ff只要證0)()(ffee亦即0 )(xxxfe作輔助函數(shù), )()(xfexFx驗證)(xF在,21xx上滿足羅爾定理條件.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)4. 思考: 在0,00,sin)(12xxxxfx,0 x),0(, )0)()0()(xxffxf即xx12sin1sin2(,)cos1x),0(x

15、xx111sinsin2cos當(dāng),00 x時. 0cos1問問是否可由此得出 ?0coslim10 xx不能不能 !因為)(x是依賴于 x 的一個特殊的函數(shù).因此由上式得表示 x 從右側(cè)以任意方式趨于 0 .0 x應(yīng)用拉格朗日中值定理得上對函數(shù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué) )(111nnf作業(yè)作業(yè)P132 7, 8 , 10 , 12 , 14 , 15提示提示:xexfx)()(題15. )(nxxf)0(f 0)0(f0題14. 考慮第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D31中值定理高等數(shù)學(xué)費馬費馬(1601 1665)法國數(shù)學(xué)家, 他是一位律師, 數(shù)學(xué)只是

16、他的業(yè)余愛好. 他興趣廣泛, 博覽群書并善于思考, 在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn). 他特別愛好數(shù)論, 他提出的費馬大定理:,2無整數(shù)解方程時當(dāng)nnnzyxn至今尚未得到普遍的證明. 他還是微積分學(xué)的先驅(qū) ,費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中 提煉出來的.D31中值定理高等數(shù)學(xué)拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論, 解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn), 近百余年來, 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作, 他是對分析數(shù)學(xué) 產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.D31中值定理高等數(shù)學(xué)柯西柯西(1789 1857)法國數(shù)學(xué)家, 他對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫的分析教程, 無窮小分析概論, 微積分在幾何上的應(yīng)用 等, 有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠(yuǎn) .對數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一, 他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 , D31中值定理高等數(shù)學(xué)備用題備用題求證存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使1. 設(shè) 1 , 0可導(dǎo)，且,0) 1 (f在連續(xù)，) 1 ,0()(xf證證：)()(xfxxn, )