第六章方差分析1

1、第六章第六章 方差分析（方差分析（anova）多個(gè)均數(shù)的比較多個(gè)均數(shù)的比較 兩個(gè)總體平均數(shù)比較：兩個(gè)總體平均數(shù)比較： t 檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。2121xxsxxt3個(gè)或個(gè)或3個(gè)以上總體平均數(shù)如何比較呢？個(gè)以上總體平均數(shù)如何比較呢？用用t t檢驗(yàn)進(jìn)行多個(gè)平均數(shù)比較的局限性：檢驗(yàn)進(jìn)行多個(gè)平均數(shù)比較的局限性：1 1、檢驗(yàn)過(guò)程煩瑣、檢驗(yàn)過(guò)程煩瑣2 2、無(wú)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和、無(wú)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低檢驗(yàn)的靈敏性低 3 3、推斷的可靠性低，檢驗(yàn)的、推斷的可靠性低，檢驗(yàn)的i i型錯(cuò)誤率大型錯(cuò)誤率大 如果用如果用t檢驗(yàn)方法：需要對(duì)多個(gè)平均數(shù)進(jìn)行兩兩比較檢驗(yàn)方法：需要對(duì)多個(gè)平均

2、數(shù)進(jìn)行兩兩比較（1）3個(gè)平均數(shù)：比較個(gè)平均數(shù)：比較3次次 323121321;,xxxxxxxxx和和和（2）4個(gè)平均數(shù)：比較個(gè)平均數(shù)：比較6次次4342324131214321;,xxxxxxxxxxxxxxxx和和和和和和，（3）k個(gè)平均數(shù)：個(gè)平均數(shù)：2) 1(2kkck1、檢驗(yàn)過(guò)程煩瑣、檢驗(yàn)過(guò)程煩瑣 對(duì)同一試驗(yàn)的多個(gè)處理進(jìn)行比較時(shí)，應(yīng)該有一個(gè)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差的估計(jì)值。若用t檢驗(yàn)法作兩兩比較，由于每次比較需計(jì)算一個(gè)試驗(yàn)誤差，故使得各次比較誤差的估計(jì)不統(tǒng)一，同時(shí)沒(méi)有充分利用資料所提供的信息而使誤差估計(jì)的精確性降低，從而降低檢驗(yàn)的靈敏性。2、無(wú)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低、無(wú)

3、統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低 型錯(cuò)誤：原假設(shè)實(shí)際為正確，但做出了拒絕原假設(shè)的判斷型錯(cuò)誤：原假設(shè)實(shí)際為正確，但做出了拒絕原假設(shè)的判斷 犯犯型錯(cuò)誤的概率等于顯著性水平型錯(cuò)誤的概率等于顯著性水平。 設(shè)每次比較的顯著性水平為設(shè)每次比較的顯著性水平為0.050.05， 則，犯則，犯型錯(cuò)誤的概率為型錯(cuò)誤的概率為0.050.05，或者說(shuō)不犯，或者說(shuō)不犯型錯(cuò)誤型錯(cuò)誤 的概的概 率為率為1 10.050.050.950.95。 c c次檢驗(yàn)均不犯次檢驗(yàn)均不犯型錯(cuò)誤的概率為型錯(cuò)誤的概率為0.950.95c c 或者說(shuō)，或者說(shuō)，c c次檢驗(yàn)犯次檢驗(yàn)犯型錯(cuò)誤的總概率為型錯(cuò)誤的總概率為1 10.95

4、0.95c c 因此，不能簡(jiǎn)單地用因此，不能簡(jiǎn)單地用t 檢驗(yàn)方法對(duì)檢驗(yàn)方法對(duì)3 個(gè)或個(gè)或3個(gè)以個(gè)以上的總體平均數(shù)進(jìn)行兩兩比較。上的總體平均數(shù)進(jìn)行兩兩比較。 方差分析方法可以有效地解決這個(gè)問(wèn)題。方差分析方法可以有效地解決這個(gè)問(wèn)題。3、推斷的可靠性低，檢驗(yàn)的、推斷的可靠性低，檢驗(yàn)的i型錯(cuò)誤率大型錯(cuò)誤率大方差分析由英國(guó)統(tǒng)計(jì)方差分析由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家學(xué)家r.a.fisherr.a.fisher于于19231923年首創(chuàng)，為紀(jì)念年首創(chuàng)，為紀(jì)念fisherfisher，以，以f f命名，故命名，故方差分析又稱(chēng)方差分析又稱(chēng) f f 檢驗(yàn)檢驗(yàn) （f f test test）。用于推）。用于推斷斷多個(gè)總體均數(shù)多個(gè)總

5、體均數(shù)有無(wú)有無(wú)差異差異 方差分析(analysis of variance)(analysis of variance)方差分析的基本思想：方差分析的基本思想：將將k k個(gè)處理的觀測(cè)值作為一個(gè)整體看待個(gè)處理的觀測(cè)值作為一個(gè)整體看待把觀測(cè)值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于把觀測(cè)值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來(lái)源的平方和及自由度不同變異來(lái)源的平方和及自由度獲得不同變異來(lái)源總體方差估計(jì)值獲得不同變異來(lái)源總體方差估計(jì)值通過(guò)計(jì)算這些總體方差的估計(jì)值的適當(dāng)比值，就通過(guò)計(jì)算這些總體方差的估計(jì)值的適當(dāng)比值，就能檢驗(yàn)各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等能檢驗(yàn)各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)

6、于方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測(cè)值變異原因的數(shù)量分析觀測(cè)值變異原因的數(shù)量分析table 1. the hemoglobin concentration of tibetan chicken and dwarf chicken 1 embryos incubated at 2900m and 100m g/100ml 2 dwarf tibetan day of incubation 2900 m 100 m 2900 m 100 m 12 5.74 0.36b 6.07 0.30b 7.26 0.34a 7.03 0.28a 15 8.78 0.31b 8.11 0.27bc 9.59 0.28a

7、7.70 0.27c 18 9.69 0.28a 8.84 0.33b 10.35 0.28a 8.48 0.35b a-cmeans within the same row with no common superscript differ significantly 3 (p0.05) . 4 第一節(jié)第一節(jié) 方差分析的基本原理與步驟方差分析的基本原理與步驟 將數(shù)據(jù)之間的變異分解為組間變異和組內(nèi)變異。將數(shù)據(jù)之間的變異分解為組間變異和組內(nèi)變異。所謂的組：指樣本，不同的組來(lái)自不同的總體，所謂的組：指樣本，不同的組來(lái)自不同的總體，接受不同接受不同的處理的處理。（1）組內(nèi)變異：）組內(nèi)變異： 由于同組

8、內(nèi)的個(gè)體來(lái)自同一總體（接受同一處理），由于同組內(nèi)的個(gè)體來(lái)自同一總體（接受同一處理），因此組內(nèi)變異因此組內(nèi)變異僅僅是由于個(gè)體之間的隨機(jī)誤差造成的。僅僅是由于個(gè)體之間的隨機(jī)誤差造成的。（2）組間變異：）組間變異： 不同組個(gè)體間的變異，除了個(gè)體之間的隨機(jī)誤差以不同組個(gè)體間的變異，除了個(gè)體之間的隨機(jī)誤差以外，還包括不同處理（不同的組來(lái)自不同總體）所造成的外，還包括不同處理（不同的組來(lái)自不同總體）所造成的差異。差異。方差分析的基本原理方差分析的基本原理方差分析法的基本原理：方差分析法的基本原理： 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量組內(nèi)變異組間變異 比較組間變異和組內(nèi)變異，如果組間變異顯比較組間變異和組內(nèi)變異，如果組間變異顯著大

9、于組內(nèi)變異，表明不同的處理之間確實(shí)存在著大于組內(nèi)變異，表明不同的處理之間確實(shí)存在差異，或者說(shuō)不同的總體平均數(shù)之間存在差異；差異，或者說(shuō)不同的總體平均數(shù)之間存在差異；反之，則沒(méi)有差異。反之，則沒(méi)有差異。 組間變異組間變異組內(nèi)變異組內(nèi)變異總變異總變異數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型就是為了某種目的，根據(jù)對(duì)研究對(duì)象所觀察就是為了某種目的，根據(jù)對(duì)研究對(duì)象所觀察到的現(xiàn)象及其實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，用到的現(xiàn)象及其實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，用字母字母、數(shù)學(xué)及其它、數(shù)學(xué)及其它數(shù)學(xué)符數(shù)學(xué)符號(hào)號(hào)建立起來(lái)的建立起來(lái)的等式等式或或不等式不等式及及圖表圖表、圖象圖象、框圖框圖等歸等歸結(jié)成的一套反映對(duì)象某些主要數(shù)量關(guān)系的結(jié)成的一套反映對(duì)象某些主要數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)公

10、式公式、邏輯邏輯準(zhǔn)則準(zhǔn)則和具體算法，用來(lái)描述客觀事物的和具體算法，用來(lái)描述客觀事物的特征特征，內(nèi)，內(nèi)在聯(lián)系和在聯(lián)系和運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 6.1.1線性模型與基本假定 處處理理觀觀測(cè)測(cè)值值合合計(jì)計(jì)平平均均1x11 x12 11nxx11x2x21 x22 22nxx22x kxk1 xk2 kknxxkkx總數(shù) = n，總和 = x ，總平均 = x1、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 設(shè)有設(shè)有k 個(gè)組，每組的觀察值數(shù)據(jù)是來(lái)自該組的處理所代個(gè)組，每組的觀察值數(shù)據(jù)是來(lái)自該組的處理所代表的總體的一個(gè)樣本。表的總體的一個(gè)樣本。全部數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)如下：全部數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)如下：6.1.1線性模型與基本假定 因此，將觀測(cè)值用以下

11、線性模型表示為：因此，將觀測(cè)值用以下線性模型表示為：ai : 第第i 個(gè)處理的總體平均數(shù)（第個(gè)處理的總體平均數(shù)（第i組所來(lái)自總體的總體平組所來(lái)自總體的總體平 均數(shù)）均數(shù)）ij : 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差), 0(2nij假設(shè)：（假設(shè)：（1）（2）各個(gè)各個(gè)ij彼此獨(dú)立彼此獨(dú)立ijiijax6.1.1線性模型與基本假定 單因素試驗(yàn)的線性模型（linear modellinear model） 方差分析的基本假定 效應(yīng)的可加性（additivityadditivity） 分布的正態(tài)性（normalitynormality） 方差的同質(zhì)性（homogeneityhomogeneity）在這個(gè)模型中ijx表示

12、為總平均數(shù)、處理效應(yīng)i、試驗(yàn)誤差ij之和。1 由ij相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布n（0， 2） ， 可知各處理ai(i=1， 2， ，2 k)所屬總體亦應(yīng)具正態(tài)性， 即服從正態(tài)分布n(i,2)。 盡管各總體的均3 數(shù)i可以不等或相等，2則必須是相等的。 4 ijiijax6.1.1線性模型與基本假定 觀測(cè)值變異的分解通過(guò)對(duì)總平方和與自由度的剖分來(lái)完成觀測(cè)值變異的分解通過(guò)對(duì)總平方和與自由度的剖分來(lái)完成 kinjijtixxss112)(總平方和2222)()(2)()()()(xxxxxxxxxxxxxxiiiijiijiiijij1 1、 平方和的剖分平方和的剖分（1）先將離均差平方和改寫(xiě)為：）先將

13、離均差平方和改寫(xiě)為：6.1.2平方和與自由度的剖分 iinjiiiijnjijxxnxxxx12212)()()(因?yàn)椋阂驗(yàn)椋海?）再求一個(gè)組內(nèi)的離均差平方和相加得：）再求一個(gè)組內(nèi)的離均差平方和相加得：iinjiijinjiiijxxxxxxxx110)()(2)(2離均差之和為離均差之和為0 kiiikinjiijkinjijxxnxxxxii12112112)()()(組內(nèi)平方和組內(nèi)平方和組間平方和組間平方和（3）最后，將）最后，將k 個(gè)組的離均差平方和相加得：個(gè)組的離均差平方和相加得：ettsssssstetsssssstssess組內(nèi)離均差平方和，簡(jiǎn)稱(chēng)組內(nèi)離均差平方和，簡(jiǎn)稱(chēng)組內(nèi)平方和組內(nèi)平方和：度量了組內(nèi)的變異。由于組內(nèi)變異與處理無(wú)度量了組內(nèi)的變異。由于組內(nèi)變異與處理無(wú)關(guān)，是由于個(gè)體間的隨機(jī)誤差造成的，所以關(guān)，是由于個(gè)體間的隨機(jī)誤差造成的，所以又稱(chēng)為又稱(chēng)為誤差平方和誤差平方和。組間離均差平方和，簡(jiǎn)稱(chēng)組間離均差平方和，簡(jiǎn)稱(chēng)組間平方和組間平方和：度量了組間的變異。由于組間的差異除了隨度量了組間的變異。由于組間的差異除了隨機(jī)誤差以外，還包括不同處理造成的差異，機(jī)誤差以外，還包括不同處理造成的差異，所以又稱(chēng)為處理平方和。所以又稱(chēng)為