傳染病數(shù)學(xué)模型ppt課件

1、傳染病模型傳染病模型穩(wěn)定性理論穩(wěn)定性理論傳染病的隨機(jī)感染模型傳染病的隨機(jī)感染模型在人群中有病人在人群中有病人(帶菌者帶菌者)和健康人和健康人(易感人群易感人群)，任何兩個(gè)人之間的接觸都是隨機(jī)的。當(dāng)然健康人任何兩個(gè)人之間的接觸都是隨機(jī)的。當(dāng)然健康人與非健康人之間的接觸時(shí)是否被感染也是隨機(jī)的。與非健康人之間的接觸時(shí)是否被感染也是隨機(jī)的。這時(shí)如何估計(jì)平均每天有多少健康人被感染？這時(shí)如何估計(jì)平均每天有多少健康人被感染？ 接觸概率接觸概率感染概率感染概率總的感染人數(shù)總的感染人數(shù)一個(gè)健康人被其他的所有病人感染的概率一個(gè)健康人被其他的所有病人感染的概率一個(gè)健康人被一名指定病人感染的概率一個(gè)健康人被一名指定病

2、人感染的概率人群中只分為健康人和病人兩種人群中只分為健康人和病人兩種 isn人群中任何兩人的接觸是相互獨(dú)立的。每人人群中任何兩人的接觸是相互獨(dú)立的。每人平均每天與平均每天與 m人接觸。人接觸。 當(dāng)一健康人與一病人接觸時(shí)，健康人被感染當(dāng)一健康人與一病人接觸時(shí)，健康人被感染的概率為的概率為 模型假設(shè)模型假設(shè)接觸概率接觸概率p接觸人數(shù)服從二項(xiàng)分布接觸人數(shù)服從二項(xiàng)分布m (1)np感染概率感染概率1p1p 一健康人被一指定病人感染的概率一健康人被一指定病人感染的概率1mpn一健康人被感染的概率一健康人被感染的概率2p 11(1)ip健康人被感染的人數(shù)也服從二項(xiàng)分布，健康人被感染的人數(shù)也服從二項(xiàng)分布，

3、每天被每天被感染的人數(shù)感染的人數(shù) 也服從二項(xiàng)分布也服從二項(xiàng)分布2sp21(1)mipn()minin離散離散連續(xù)連續(xù)變化是時(shí)間的函數(shù)變化是時(shí)間的函數(shù)人群中只分為健康人和病人兩種或者易感染者人群中只分為健康人和病人兩種或者易感染者（susceptible）和已感染者（）和已感染者（infective）.病人數(shù)和健病人數(shù)和健康人數(shù)在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記為康人數(shù)在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記為 ( )( )1s ti t人群中任何兩人的接觸是相互獨(dú)立的。每個(gè)病人群中任何兩人的接觸是相互獨(dú)立的。每個(gè)病人平均每天的有效接觸為常數(shù)人平均每天的有效接觸為常數(shù) ( )s tndidtin(0)i0i01( )11

4、(1)ti tei101ln(1)mti12i 變化最大？變化最大？it 1具有免疫性具有免疫性sir 不具有免疫性不具有免疫性sis 0(1)(0)diiiidtii()10101() ,( )1() ,teii tti 0(1)(0)diiiidtii()10101() ,( )1() ,teii tti 1( )1i tt 1( )0i t 00(1)(0), (0)diiiidtdssidtii ss 0011s sdsdisii0001()lnsisiss 隨著時(shí)間的變化隨著時(shí)間的變化, ,s i r如何變化如何變化?0011s sdsdisiidridtdssidt r單調(diào)遞增單調(diào)

5、遞增s單調(diào)遞減單調(diào)遞減?i0( )rrrt則則i 0110s1s1sri 01s110dsdis 則則i先單調(diào)遞增先單調(diào)遞增1si達(dá)到最大值達(dá)到最大值1si減小且趨向于零減小且趨向于零011ln0sss0011s sdsdisiidridtdssidt r單調(diào)遞增單調(diào)遞增s單調(diào)遞減單調(diào)遞減0i01si減小且趨向于零減小且趨向于零s單調(diào)遞減至單調(diào)遞減至s穩(wěn)定性理論穩(wěn)定性理論設(shè)微分方程設(shè)微分方程 ，方程右邊不顯含自變量，方程右邊不顯含自變量 稱(chēng)之為自治方程。稱(chēng)之為自治方程。 ( )( )x tf xt( )0f x 的實(shí)根的實(shí)根0,xx顯然也是該方程的解，顯然也是該方程的解，稱(chēng)為稱(chēng)為方程的平衡點(diǎn)（

6、奇點(diǎn)）方程的平衡點(diǎn)（奇點(diǎn)）如果存在某個(gè)鄰域，使得該方程的解在鄰域內(nèi)的某如果存在某個(gè)鄰域，使得該方程的解在鄰域內(nèi)的某個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)(0)x出發(fā)，出發(fā)， 滿(mǎn)足滿(mǎn)足0lim ( ),tx tx則稱(chēng)平衡點(diǎn)則稱(chēng)平衡點(diǎn) 為為0 x穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)判定判定0 x是否為穩(wěn)定點(diǎn)，是否為穩(wěn)定點(diǎn)，主要利用直接法主要利用直接法若若0()0,fx則則0 x為穩(wěn)定點(diǎn)為穩(wěn)定點(diǎn)若若0()0,fx則則0 x非穩(wěn)定點(diǎn)非穩(wěn)定點(diǎn)00( )()()x tfxxx0()0( )fxtx tcex112212(,)(,)xf x xxg x x12120(,)0(,)f x xg x x001122,xxxx的兩個(gè)實(shí)根的兩個(gè)實(shí)根稱(chēng)為該微分方程的平衡點(diǎn)稱(chēng)為該微分方程的平衡點(diǎn)001122lim( ),lim( )ttx txx tx 則稱(chēng)該點(diǎn)為穩(wěn)定點(diǎn)則稱(chēng)該點(diǎn)為穩(wěn)定點(diǎn),f g是非線(xiàn)性，這時(shí)應(yīng)用泰勒公式，只保留其線(xiàn)是非線(xiàn)性，這時(shí)應(yīng)用泰勒公式，只保留其線(xiàn)性主部，而這時(shí)的新方程和原來(lái)的