第十一章壓桿穩(wěn)定

1、第第 十十 一一 章章壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 11-1 11-1 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念 11-2 11-2 兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力 11-3 11-3 不同桿端約束下細長壓桿的臨界軸力的不同桿端約束下細長壓桿的臨界軸力的歐拉公式歐拉公式 11-4 11-4 歐拉公式適用范圍歐拉公式適用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖 11-5 11-5 壓桿的穩(wěn)定計算壓桿的穩(wěn)定計算 11-6 11-6 提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措施內(nèi)容提要內(nèi)容提要 111 111 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念 AB為剛性直桿，該桿為剛性直桿，該桿A端為鉸支，端為鉸支，B端用彈簧

2、常數(shù)為端用彈簧常數(shù)為k的兩根彈簧支持。的兩根彈簧支持。一、彈性系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性一、彈性系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性F( b )( a )F2 k BBAAlF( b )( a )F2 k BBAAl外力外力F對對A點的力矩：點的力矩：F彈簧反力彈簧反力 對對A點的力矩：點的力矩：2kl1、若、若 ，即，即 ，則在干擾解除后，則在干擾解除后，桿將自桿將自動恢復(fù)至初始位置動恢復(fù)至初始位置，說明在該荷載作用下，說明在該荷載作用下，桿在豎直位置的桿在豎直位置的平衡是穩(wěn)定的平衡是穩(wěn)定的。F2kl2Fkl2、若、若 ，即，即 ，則在干擾解除后，則在干擾解除后，桿不僅不桿不僅不能自動返回其初始位置，而且將繼續(xù)偏轉(zhuǎn)能自動

3、返回其初始位置，而且將繼續(xù)偏轉(zhuǎn)。說明在該荷載作。說明在該荷載作用下，用下，桿在豎直位置的平衡是不穩(wěn)定的桿在豎直位置的平衡是不穩(wěn)定的。F2kl2Fkl2k一、彈性系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性一、彈性系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性F( b )( a )F2 k BBAAlF( b )( a )F2 k BBAAl1、若、若 ，即，即 ，則在干擾解除后，則在干擾解除后，桿將自桿將自動恢復(fù)至初始位置動恢復(fù)至初始位置，說明在該荷載作用下，說明在該荷載作用下，桿在豎直位置的桿在豎直位置的平衡是穩(wěn)定的平衡是穩(wěn)定的。F2kl2Fkl2、若、若 ，即，即 ，則在干擾解除后，則在干擾解除后，桿不僅不桿不僅不能自動返回其初始位置，而且將繼續(xù)

4、偏轉(zhuǎn)能自動返回其初始位置，而且將繼續(xù)偏轉(zhuǎn)。說明在該荷載作。說明在該荷載作用下，用下，桿在豎直位置的平衡是不穩(wěn)定的桿在豎直位置的平衡是不穩(wěn)定的。F2kl2Fkl3、若、若 ，即，即 ，則桿既可在豎直位置保持平衡，也則桿既可在豎直位置保持平衡，也可在微小偏斜狀態(tài)保持平衡，說明可在微小偏斜狀態(tài)保持平衡，說明在該荷載作用下，桿處于在該荷載作用下，桿處于臨界平衡臨界平衡狀態(tài)狀態(tài)或稱為或稱為隨遇平衡狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)。F2kl2Fkl彈性系統(tǒng)在某位置的平衡性質(zhì)不但彈性系統(tǒng)在某位置的平衡性質(zhì)不但與外荷載的大小有關(guān)，而且與系統(tǒng)與外荷載的大小有關(guān)，而且與系統(tǒng)的自身構(gòu)成特性有關(guān)。的自身構(gòu)成特性有關(guān)。 111 111

5、 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念二、理想壓桿的穩(wěn)定性二、理想壓桿的穩(wěn)定性例：一長為例：一長為300mm300mm的鋼板尺，橫截面尺寸為的鋼板尺，橫截面尺寸為 20mm 20mm 1 1mm mm 。鋼的許用應(yīng)力為鋼的許用應(yīng)力為 =196MPa=196MPa。按強度條件計算得。按強度條件計算得鋼板尺所能鋼板尺所能承受的軸向壓力為承受的軸向壓力為FN = FNmax = A = 3.92 KN 實際上，當(dāng)壓力不到實際上，當(dāng)壓力不到 40N 40N 時，鋼尺就被壓彎。當(dāng)鋼尺時，鋼尺就被壓彎。當(dāng)鋼尺被明顯壓彎時，就不能再承擔(dān)更大的壓力。由此可見，鋼被明顯壓彎時，就不能再承擔(dān)更大的壓力。由此可見，鋼尺的承

6、載能力并不取決于軸向壓縮的抗壓強度，而取決于尺的承載能力并不取決于軸向壓縮的抗壓強度，而取決于鋼尺受壓時能否保持直線形態(tài)的平衡。鋼尺受壓時能否保持直線形態(tài)的平衡。理想壓桿理想壓桿：假設(shè)壓桿由均質(zhì)材料制成、軸線為直線且外加壓：假設(shè)壓桿由均質(zhì)材料制成、軸線為直線且外加壓力的作用線與壓桿軸線重合，這種理想中心受壓直桿力學(xué)模力的作用線與壓桿軸線重合，這種理想中心受壓直桿力學(xué)模型，簡稱為理想壓桿。型，簡稱為理想壓桿。 111 111 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念二、理想壓桿的穩(wěn)定性二、理想壓桿的穩(wěn)定性理想壓桿理想壓桿：假設(shè)壓桿由均質(zhì)材料制成、軸線為直線且外加壓：假設(shè)壓桿由均質(zhì)材料制成、軸線為直線且外加壓

7、力的作用線與壓桿軸線重合，這種理想中心受壓直桿力學(xué)模力的作用線與壓桿軸線重合，這種理想中心受壓直桿力學(xué)模型，簡稱為理想壓桿。型，簡稱為理想壓桿。 FF(a) (b)(c)(d)F Fc rFF(a) (b) (c) (d)F Fc rFF(a) (b) (c) (d)F Fc rFF(a) (b) (c) (d)F Fc rF較小較小F較大較大使理想壓桿直線形式使理想壓桿直線形式的平衡開始由穩(wěn)定轉(zhuǎn)的平衡開始由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的軸向壓變?yōu)椴环€(wěn)定的軸向壓力值稱為壓桿的力值稱為壓桿的臨界臨界軸力軸力，記為，記為 Fcr 。當(dāng)軸向壓力當(dāng)軸向壓力達到或超達到或超過過理想壓桿的臨界軸理想壓桿的臨界軸力力F

8、cr時，壓桿即產(chǎn)生時，壓桿即產(chǎn)生失穩(wěn)失穩(wěn)或或屈曲屈曲現(xiàn)象。現(xiàn)象。 111 111 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念三、分叉點失穩(wěn)和極值點失穩(wěn)三、分叉點失穩(wěn)和極值點失穩(wěn)1 1、分叉點失穩(wěn)、分叉點失穩(wěn) 曲線曲線AC表示表示F Fcr而失穩(wěn)時理而失穩(wěn)時理想壓桿不能在微彎狀態(tài)平衡。想壓桿不能在微彎狀態(tài)平衡。A：分叉點：分叉點Ay00yFcrFDCEDAGKJO不穩(wěn)定穩(wěn)定FcrBB O(b)( a )FJFFFF(a) (b) (c) (d)F Fc ry0Ay00yFcrFDCEDAGKJO不穩(wěn)定穩(wěn)定FcrBB O(b)( a )FJFFOAC 曲線所描述曲線所描述的失穩(wěn)現(xiàn)象也稱的失穩(wěn)現(xiàn)象也稱為為分叉點失

9、穩(wěn)分叉點失穩(wěn)O 111 111 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念三、分叉點失穩(wěn)和極值點失穩(wěn)三、分叉點失穩(wěn)和極值點失穩(wěn)2 2、極值點失穩(wěn)、極值點失穩(wěn) 與理想壓桿相比，實際壓桿總是有缺陷的，與理想壓桿相比，實際壓桿總是有缺陷的，如初始彎曲、殘余應(yīng)力、荷載偏心等。如初始彎曲、殘余應(yīng)力、荷載偏心等。GJK曲線特點：無曲線特點：無直線段，下降的曲直線段，下降的曲線線JK 反映實際壓反映實際壓桿的崩潰現(xiàn)象桿的崩潰現(xiàn)象壓桿急劇彎曲而它壓桿急劇彎曲而它能承擔(dān)的外力能承擔(dān)的外力F不不斷降低。斷降低。Ay00yFcrFDCEDAGKJO不穩(wěn)定穩(wěn)定FcrBB O(b)( a )FJFFFF(a) (b) (c) (d)

10、F Fc ry0Ay00yFcrFDCEDAGKJO不穩(wěn)定穩(wěn)定FcrBB O(b)( a )FJFFGJK 曲線所描述曲線所描述的失穩(wěn)現(xiàn)象稱為的失穩(wěn)現(xiàn)象稱為極值點失穩(wěn)極值點失穩(wěn)OFJ ：極值點荷載極值點荷載 兩端球形絞支，長為兩端球形絞支，長為 l 的等截面理想細長壓桿處于微彎平的等截面理想細長壓桿處于微彎平衡狀態(tài)時衡狀態(tài)時FcryxMFcr)(mxmymmxyBy 112 112 兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力 一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo)yABxFcrlFcrFcr 112 112 兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力 壓桿任一壓桿任一 x

11、 x 截面沿截面沿 y y 方向方向的位移為的位移為 y y = y (x)= y (x)該截面的彎矩為該截面的彎矩為yxMFcr)(桿的撓曲線近似微分方程為桿的撓曲線近似微分方程為yxMEIyFcr)(FcryxMFcr)(mmxyByFcr一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo) 112 112 兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力 令令kFEIcr2則有二階常系數(shù)線性微分方程則有二階常系數(shù)線性微分方程02yky其通解為其通解為kxBkxAycossinA，B為待定為待定常數(shù)，由該撓曲線的邊界條件確定。常數(shù)，由該撓曲線的邊界條件確定。yxMEIyFcr)(FcryxMFcr)(mm

12、xyByFcr一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo)邊界條件：邊界條件：kxBkxAycossin代入方程得：代入方程得：B=0mxmyyABxFcrlFcr一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo)x = 0，y = 0 x = l ，y = 0因為因為A不等于零（否則與微彎狀態(tài)不等于零（否則與微彎狀態(tài)相矛盾）相矛盾）klA sin00klsinnnnkl, 2 , 1 , 0 nnlnk,2102222 112 112 兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力 一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo)nnlnk,2102222所以所以kFEIcr2nnlEInEIkFcr,2102222n=0時時Fcr0，矛盾，所以

13、，矛盾，所以n取使取使Fcr不為零的最小值，即不為零的最小值，即n = 1歐拉公式歐拉公式22lEIFcr注意：注意：1、此公式是兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力計算公式；、此公式是兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力計算公式；2、當(dāng)壓桿端部各個方向的約束相同時，、當(dāng)壓桿端部各個方向的約束相同時，I取為壓桿橫截面的取為壓桿橫截面的最小形心主慣性矩，即最小形心主慣性矩，即IImin3、兩端鉸支壓桿臨界平衡時的撓曲線為、兩端鉸支壓桿臨界平衡時的撓曲線為一半波正弦曲線一半波正弦曲線 112 112 兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力 kxBkxAycossinB=0mxmyyABx

14、FcrlFcrnnnkl, 2 , 1 , 0 112 112 兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力 n=1時時lk sinxyAl sinxyl壓桿中點處的最大撓度壓桿中點處的最大撓度 可見，兩端鉸支理想細長壓桿可見，兩端鉸支理想細長壓桿在臨界軸力作用下失穩(wěn)時，其在臨界軸力作用下失穩(wěn)時，其撓曲撓曲線為半波正弦曲線線為半波正弦曲線。一、公式推導(dǎo)一、公式推導(dǎo)nnlEInEIkFcr,2102222n=0時時Fcr0，矛盾，所以，矛盾，所以n取使取使Fcr不為零的最小值，即不為零的最小值，即n = 1歐拉公式歐拉公式22lEIFcr 112 112 兩端鉸支理想細長壓桿的臨

15、界軸力兩端鉸支理想細長壓桿的臨界軸力 Fc rBA(c)Cl/2l/2y兩個半波兩個半波正弦曲線正弦曲線 2cr22EIFln = 2時時對應(yīng)的是中部有支承時的壓桿，相對應(yīng)的是中部有支承時的壓桿，相當(dāng)于兩根長度為當(dāng)于兩根長度為l/2的兩端鉸支細長壓桿同的兩端鉸支細長壓桿同時失穩(wěn)時失穩(wěn)例例11.2 11.2 兩端球鉸支的中心受壓細長壓桿，長兩端球鉸支的中心受壓細長壓桿，長1m1m，材，材料的彈性模量料的彈性模量E E200GPa200GPa，考慮采用矩形、等邊角鋼，考慮采用矩形、等邊角鋼4545 6 6、環(huán)形三種不同截面，如圖、環(huán)形三種不同截面，如圖11.511.5所示。試比較所示。試比較這三種

16、截面壓桿的穩(wěn)定性。這三種截面壓桿的穩(wěn)定性。(a)yyz5 010z66(b)(c)圖11.5yyzz4545382822lEIFcr（1 1）矩形截面）矩形截面 334min,1150mm 10 mm4166.6mm12zII2234cr,1222200 10 MPa 4166.6mm8.255kN1000 mmEIFl例例11.2 11.2 兩端球鉸支的中心受壓細長壓桿，長兩端球鉸支的中心受壓細長壓桿，長1m1m，材，材料的彈性模量料的彈性模量E E200GPa200GPa，考慮采用矩形、等邊角鋼，考慮采用矩形、等邊角鋼4545 6 6、環(huán)形三種不同截面，如圖、環(huán)形三種不同截面，如圖11.5

17、11.5所示。試比較所示。試比較這三種截面壓桿的穩(wěn)定性。這三種截面壓桿的穩(wěn)定性。(a)yyz5 010z66(b)(c)圖11.5yyzz4545382822lEIFcr（2 2）等邊角鋼）等邊角鋼 444min,23.89cm3.89 10 mmzII22344cr,2222200 10 MPa (3.89 10 mm )76.79kN1000 mmEIFlcr,18.255kNF例例11.2 11.2 兩端球鉸支的中心受壓細長壓桿，長兩端球鉸支的中心受壓細長壓桿，長1m1m，材，材料的彈性模量料的彈性模量E E200GPa200GPa，考慮采用矩形、等邊角鋼，考慮采用矩形、等邊角鋼4545

18、 6 6、環(huán)形三種不同截面，如圖、環(huán)形三種不同截面，如圖11.511.5所示。試比較所示。試比較這三種截面壓桿的穩(wěn)定性。這三種截面壓桿的穩(wěn)定性。(a)yyz5 010z66(b)(c)圖11.5yyzz4545382822lEIFcr（3 3）環(huán)形截面）環(huán)形截面 cr,276.79kNFcr,18.255kNF444444min,3()(3828 )mm72 182mm6464IDd2234cr,3222200 10 MPa 72182mm142.48kN1000 mmEIFl例例11.2 11.2 兩端球鉸支的中心受壓細長壓桿，長兩端球鉸支的中心受壓細長壓桿，長1m1m，材，材料的彈性模量料

19、的彈性模量E E200GPa200GPa，考慮采用矩形、等邊角鋼，考慮采用矩形、等邊角鋼4545 6 6、環(huán)形三種不同截面，如圖、環(huán)形三種不同截面，如圖11.511.5所示。試比較所示。試比較這三種截面壓桿的穩(wěn)定性。這三種截面壓桿的穩(wěn)定性。(a)yyz5 010z66(b)(c)圖11.5yyzz45453828cr,276.79kNFcr,18.255kNFcr,3142.48kNF21500mmA 22507.6mmA 23518.4mmA123:1:1.02:1.04AAA cr,1cr,2cr,3min,1min,2min,3:1:9.34:17.32FFFIII例例11.2 11.2

20、 兩端球鉸支的中心受壓細長壓桿，長兩端球鉸支的中心受壓細長壓桿，長1m1m，材料的彈性，材料的彈性模量模量E E200GPa200GPa，考慮采用矩形、等邊角鋼，考慮采用矩形、等邊角鋼4545 6 6、環(huán)形三種、環(huán)形三種不同截面，如圖不同截面，如圖11.511.5所示。試比較這三種截面壓桿的穩(wěn)定性。所示。試比較這三種截面壓桿的穩(wěn)定性。(a)yyz5 010z66(b)(c)圖11.5yyzz45453828cr,276.79kNFcr,18.255kNFcr,3142.48kNF21500mmA 22507.6mmA 23518.4mmA123:1:1.02:1.04AAA cr,1cr,2c

21、r,3min,1min,2min,3:1:9.34:17.32FFFIII 當(dāng)端部各個方向的約束均相同時，對用同樣多的材料制成當(dāng)端部各個方向的約束均相同時，對用同樣多的材料制成的壓桿，要提高其臨界軸力就要設(shè)法提高的壓桿，要提高其臨界軸力就要設(shè)法提高Imin的值，且盡可能的值，且盡可能使使Imin = Imax 。 22lEIFcr1 1、兩端鉸支、兩端鉸支4 4、一端固定、一端固定另端鉸支另端鉸支3 3、一端固定，一端、一端固定，一端夾支（兩端固定）夾支（兩端固定）2 2、一端固定另端自由、一端固定另端自由 113 113 不同桿端約束下細長壓桿臨界軸力的歐拉公式不同桿端約束下細長壓桿臨界軸力

22、的歐拉公式 22lEIFcrABFcrlABFcrll222 )( lEIFcr2250).(lEIFcr2270).(lEIFcrFcrAB0.5llABFcrll.705 5、兩端固定、兩端固定4 4、一端固定、一端固定另端鉸支另端鉸支3 3、一端固定，一端、一端固定，一端夾支（兩端固定）夾支（兩端固定）2 2、一端固定另端自由、一端固定另端自由 113 113 不同桿端約束下細長壓桿臨界軸力的歐拉公式不同桿端約束下細長壓桿臨界軸力的歐拉公式 22lEIFcrABFcrll222 )( lEIFcr2250).(lEIFcr2270).(lEIFcrFcrAB0.5llABFcrll.70

23、lllll 2 1 0 . 70.5l0.7l0.5l2lFc r 兩端固定但可沿橫向相對移動一端固定另端自由 兩端固定 一端固定另端鉸支兩端鉸支支承情況彈性曲線形狀長度因數(shù) 1 0 . 5Fc rFc rFc rCDCC兩端鉸支兩端鉸支一端固定另端鉸支一端固定另端鉸支兩端固定兩端固定一端固定另端自由一端固定另端自由22crlEIFl0 = l支承情況支承情況臨界力的歐拉公式臨界力的歐拉公式長度因數(shù)長度因數(shù) = 1 = 0.7 = 0.5 = 222cr(2l)EIF22cr(0.5l)EIF22cr(0.7l)EIF計算長度計算長度l0 = 2ll0 =0.5 ll0 = 0.7l22202

24、)( lEIlEIFcr 113 113 不同桿端約束下細長壓桿臨界軸力的歐拉公式不同桿端約束下細長壓桿臨界軸力的歐拉公式 兩端固定，但可沿兩端固定，但可沿橫向相對移動橫向相對移動22crlEIFl0 = l = 1討論討論（1 1）計算長度）計算長度 l0 l 的物理意義的物理意義1 1壓桿失穩(wěn)時，撓曲線上兩拐點間的長度就是壓桿的壓桿失穩(wěn)時，撓曲線上兩拐點間的長度就是壓桿的計算計算長度長度 l 。2 2計算長度計算長度 l都都相當(dāng)于相當(dāng)于撓曲線撓曲線一個半波正一個半波正弦弦曲線的弦長曲線的弦長22202)( lEIlEIFcr（2 2）橫截面對某一形心主慣性軸的慣性矩）橫截面對某一形心主慣性

25、軸的慣性矩 I1 1若桿端在各個方向的約束情況相同（球形絞等），則若桿端在各個方向的約束情況相同（球形絞等），則 I應(yīng)取最小的形心主慣性矩。應(yīng)取最小的形心主慣性矩。2 2若桿端在各個方向的約束情況不同（夾支），應(yīng)分別若桿端在各個方向的約束情況不同（夾支），應(yīng)分別計算桿在不同方向失穩(wěn)時的臨界軸力。計算桿在不同方向失穩(wěn)時的臨界軸力。I 為其相應(yīng)的為其相應(yīng)的對中性軸的慣性矩。對中性軸的慣性矩。 113 113 不同桿端約束下細長壓桿臨界軸力的歐拉公式不同桿端約束下細長壓桿臨界軸力的歐拉公式 ABFcrll.70例例11.3 11.3 圖圖11.711.7（a a）所示一細長壓桿，截面為）所示一細長壓

26、桿，截面為b h的矩的矩形，就形，就xy平面內(nèi)的彈性曲線而言它是兩端鉸支，就平面內(nèi)的彈性曲線而言它是兩端鉸支，就xz平面內(nèi)的彈性曲線而言它是兩端固定，問平面內(nèi)的彈性曲線而言它是兩端固定，問b和和h的比例的比例應(yīng)等于多少才合理？應(yīng)等于多少才合理？bzx(b)(a)hxy22cr220( )EIEIFll0ll在在x-y平面內(nèi)彎曲時：平面內(nèi)彎曲時： 223cr220()12zxyEIE bhFll02ll在在x-z平面內(nèi)彎曲時：平面內(nèi)彎曲時：223cr22()4()( / 2)12yxzEIEhbFllcrcr()()xyxzFF224hb2hb例例11.4 11.4 兩根直徑為兩根直徑為d的圓桿

27、，上、下端分別與剛性板固結(jié)，如圖的圓桿，上、下端分別與剛性板固結(jié)，如圖11.8(a)11.8(a)所示。若圓桿為細長壓桿，試分析在總壓力所示。若圓桿為細長壓桿，試分析在總壓力F作用下，系作用下，系統(tǒng)可能失穩(wěn)的幾種型式，并求出其中最小的臨界壓力統(tǒng)可能失穩(wěn)的幾種型式，并求出其中最小的臨界壓力Fcr。(a)(b)1(Fc r)loFc rxzdda2 2ay(e)(d)(c)( Fc r)4( Fc r)3( Fc r)2(a)(b)1( Fc r)loFc rxzdda22ay(e)(d)(c)( Fc r)4( Fc r)3( Fc r)2(e)(d)(c)( Fc r)4( Fc r)3( F

28、c r)2（1 1）每根壓桿作為兩端固定的壓桿分別失穩(wěn)）每根壓桿作為兩端固定的壓桿分別失穩(wěn)( (見圖見圖11.8(b)11.8(b)。（2 2）兩根壓桿共同繞）兩根壓桿共同繞z軸失穩(wěn)，這時桿端約束下端固定，上端自軸失穩(wěn)，這時桿端約束下端固定，上端自由。由。（3 3）兩根壓桿共同繞）兩根壓桿共同繞yz平面內(nèi)通過平面內(nèi)通過O點的任一軸點的任一軸( (除除z軸外軸外) )失穩(wěn)失穩(wěn)( (見圖見圖11.8(d)11.8(d)，這時桿端約束為下端固定，上端自由。，這時桿端約束為下端固定，上端自由。（4 4）兩根壓桿兩端固定，但上端共同產(chǎn)生）兩根壓桿兩端固定，但上端共同產(chǎn)生z方向的位移，每根壓方向的位移，每

29、根壓桿繞各自形心軸分別失穩(wěn)桿繞各自形心軸分別失穩(wěn)( (見圖見圖11.8(e)11.8(e)例例11.4 11.4 兩根直徑為兩根直徑為d的圓桿，上、下端分別與剛性板固結(jié)，如圖的圓桿，上、下端分別與剛性板固結(jié)，如圖11.8(a)11.8(a)所示。若圓桿為細長壓桿，試分析在總壓力所示。若圓桿為細長壓桿，試分析在總壓力F作用下，系作用下，系統(tǒng)可能失穩(wěn)的幾種型式，并求出其中最小的臨界壓力統(tǒng)可能失穩(wěn)的幾種型式，并求出其中最小的臨界壓力Fcr。(a)(b)1(Fc r)loFc rxzdda2 2ay(e)(d)(c)( Fc r)4( Fc r)3( Fc r)2(a)(b)1( Fc r)loFc

30、rxzdda22ay(e)(d)(c)( Fc r)4( Fc r)3( Fc r)2(e)(d)(c)( Fc r)4( Fc r)3( Fc r)2 在在yz平面內(nèi)，平面內(nèi)， ，故第，故第2 2種形式較第種形式較第3 3種形式容易失穩(wěn)；種形式容易失穩(wěn)； 第第4 4種形式較第種形式較第1 1種形式容易失穩(wěn)；種形式容易失穩(wěn)； 第第4 4種形式和第種形式和第2 2種形式的種形式的Imin相等，但第相等，但第2 2種形式的長度因數(shù)種形式的長度因數(shù) 為最大，故第為最大，故第2 2種形式最容易喪失穩(wěn)定種形式最容易喪失穩(wěn)定minzII42234crcr22222641282dEEIEdFFlll一、臨界

31、應(yīng)力一、臨界應(yīng)力 當(dāng)中心壓桿所受壓力等于臨界軸力而仍舊直立當(dāng)中心壓桿所受壓力等于臨界軸力而仍舊直立時，其橫截面上的壓應(yīng)力稱為時，其橫截面上的壓應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力，用，用 cr 表表示。示。 114 114 歐拉公式適用范圍歐拉公式適用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖AIi 壓桿橫截面對中性軸的回轉(zhuǎn)半徑壓桿橫截面對中性軸的回轉(zhuǎn)半徑2crcr20FEIAlA222cr220EiElli一、臨界應(yīng)力一、臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力令：令：il 稱為壓桿的稱為壓桿的長細比（柔度）長細比（柔度）。綜合地反映了壓桿的長度。綜合地反映了壓桿的長度 ( (l) )、支承方式支承方式( ( ) )與截面幾何性質(zhì)

32、與截面幾何性質(zhì) ( (i) ) 對臨界應(yīng)力的影響對臨界應(yīng)力的影響。22Ecr歐拉公式歐拉公式 114 114 歐拉公式適用范圍歐拉公式適用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖222cr220EiElli 越大，相應(yīng)的越大，相應(yīng)的 cr 越小，壓桿越容易失穩(wěn)。越小，壓桿越容易失穩(wěn)。 若若壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時的支承約束條件壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時的支承約束條件不同，應(yīng)分別計算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時的長細比不同，應(yīng)分別計算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時的長細比 ，并按，并按較大者較大者計算壓桿的臨界應(yīng)力計算壓桿的臨界應(yīng)力 cr 。一、臨界應(yīng)力一、臨界應(yīng)力22EcrcrcrAF 114 114 歐拉公式適用范圍歐拉公式適用范圍

33、 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖 只有只有在在 cr P 的的范圍內(nèi)，才可以用歐拉公式范圍內(nèi)，才可以用歐拉公式計算壓桿的臨界軸力計算壓桿的臨界軸力 Fcr（臨界應(yīng)力（臨界應(yīng)力 cr ）。）。PcrE22或或PPPEE2二、歐拉公式的適用范圍二、歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用條件歐拉公式的適用條件大柔度桿（細長壓桿）大柔度桿（細長壓桿） p的壓桿的壓桿 114 114 歐拉公式適用范圍歐拉公式適用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖三、橫截面上應(yīng)力超過比例極限時壓桿的臨界應(yīng)力三、橫截面上應(yīng)力超過比例極限時壓桿的臨界應(yīng)力若壓桿的柔度若壓桿的柔度 P P ，歐拉公式已不能使用。這類壓桿是在，歐拉公式已不能使用

34、。這類壓桿是在應(yīng)力超過比例極限后失穩(wěn)的，故稱為應(yīng)力超過比例極限后失穩(wěn)的，故稱為非彈性屈曲非彈性屈曲或或彈塑性失穩(wěn)彈塑性失穩(wěn)。對這類壓桿，工程計算中一般使用經(jīng)驗公式。對這類壓桿，工程計算中一般使用經(jīng)驗公式。柔度很小的短柱，受壓時并不會像大柔度桿那樣出現(xiàn)彎曲柔度很小的短柱，受壓時并不會像大柔度桿那樣出現(xiàn)彎曲變形，主要是因為壓應(yīng)力達到屈服點應(yīng)力變形，主要是因為壓應(yīng)力達到屈服點應(yīng)力 s s ( (塑性材料塑性材料) )或抗或抗壓強度壓強度 b b ( (脆性材料脆性材料) )而失效。而失效。對塑性材料，按式對塑性材料，按式(11.10)(11.10)算出的臨界應(yīng)力最高只能等于算出的臨界應(yīng)力最高只能等于

35、 s s 。設(shè)相應(yīng)的柔度為設(shè)相應(yīng)的柔度為 s s ，則，則 114 114 歐拉公式適用范圍歐拉公式適用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖bacr式中：式中：a 和和 b是與材料有關(guān)的常數(shù)，可查表得出。是與材料有關(guān)的常數(shù)，可查表得出。1、直線公式、直線公式ssab使用直線公式時使用直線公式時柔度的最小值柔度的最小值 三、橫截面上應(yīng)力超過比例極限時壓桿的臨界應(yīng)力三、橫截面上應(yīng)力超過比例極限時壓桿的臨界應(yīng)力柔度很小的短柱，受壓時并不會像大柔度桿那樣出現(xiàn)彎曲柔度很小的短柱，受壓時并不會像大柔度桿那樣出現(xiàn)彎曲變形，主要是因為壓應(yīng)力達到屈服點應(yīng)力變形，主要是因為壓應(yīng)力達到屈服點應(yīng)力 s s ( (塑性材料塑

36、性材料) )或抗或抗壓強度壓強度 b b ( (脆性材料脆性材料) )而失效。而失效。對塑性材料，按式對塑性材料，按式(11.10)(11.10)算出的臨界應(yīng)力最高只能等于算出的臨界應(yīng)力最高只能等于 s s 。設(shè)相應(yīng)的柔度為設(shè)相應(yīng)的柔度為 s s ，則，則 114 114 歐拉公式適用范圍歐拉公式適用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖bacr式中：式中：a 和和 b是與材料有關(guān)的常數(shù)，可查表得出。是與材料有關(guān)的常數(shù)，可查表得出。1、直線公式、直線公式ssab使用直線公式時使用直線公式時柔度的最小值柔度的最小值 sps中柔度桿或中長桿（中柔度桿或中長桿（彈塑性穩(wěn)定問題彈塑性穩(wěn)定問題）小柔度桿或短桿（

37、小柔度桿或短桿（強度問題，而無穩(wěn)定性問題強度問題，而無穩(wěn)定性問題）三、橫截面上應(yīng)力超過比例極限時壓桿的臨界應(yīng)力三、橫截面上應(yīng)力超過比例極限時壓桿的臨界應(yīng)力拋物線公式適用于橫截面上應(yīng)力大于材料比例極限拋物線公式適用于橫截面上應(yīng)力大于材料比例極限的壓桿的壓桿 114 114 歐拉公式適用范圍歐拉公式適用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖式中：式中：a 和和 b是與材料有關(guān)的常數(shù)，可查表得出。是與材料有關(guān)的常數(shù)，可查表得出。2、拋物線公式、拋物線公式2crab表示壓桿臨界應(yīng)力表示壓桿臨界應(yīng)力 cr cr與柔度與柔度 的關(guān)系曲線，稱為的關(guān)系曲線，稱為臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖。 計算壓桿的臨界軸力計算壓桿的

38、臨界軸力( (或臨界應(yīng)力或臨界應(yīng)力) )，應(yīng)先計算壓桿的柔度。，應(yīng)先計算壓桿的柔度。根據(jù)不同的柔度，選用相應(yīng)的臨界軸力根據(jù)不同的柔度，選用相應(yīng)的臨界軸力( (或臨界應(yīng)力或臨界應(yīng)力) )的計算式。的計算式。四、四、 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖 114 114 歐拉公式適用范圍歐拉公式適用范圍 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖=ccr拋物線經(jīng)驗公式歐拉公式CBA(b)Ocsa-bcr2Ss=C直線經(jīng)驗公式crBA(a)Op2E2crpscrcra-bFld=cc r拋 物 線 經(jīng) 驗 公 式歐 拉 公 式CBA(b)Ocsa -bc r2Ss=C直 線 經(jīng) 驗 公 式c rBA(a)Op2E2c rpsc

39、rc ra -b在在x-y平面內(nèi)彎曲時：平面內(nèi)彎曲時： 在在x-z平面內(nèi)彎曲時：平面內(nèi)彎曲時：Fh=150b = 1 0 0zyxzOy3000010.51500mmll01010152/()1/12zzzllliIbhb0226 000mmll020202138.56/()1/12yzyyllliIbhh3pp200 1086.31265yE263crcr202()1.54 10 N1.54 10 kN()yyEIFFl例例11.6 11.6 圖圖11.1111.11所示鋼壓桿，材料的彈性模量所示鋼壓桿，材料的彈性模量E200GPa200GPa，比例極，比例極限限 ，其兩端約束分別為：下端固

40、定；上端：在，其兩端約束分別為：下端固定；上端：在xOy平面內(nèi)為夾支，在平面內(nèi)為夾支，在xOz平面內(nèi)為自由端。（平面內(nèi)為自由端。（1 1）計算該壓桿的臨界）計算該壓桿的臨界軸力；（軸力；（2 2）從該壓桿的穩(wěn)定角度（在滿足）從該壓桿的穩(wěn)定角度（在滿足 情況下），情況下），b與與h的比值應(yīng)等于多少才合理？的比值應(yīng)等于多少才合理？p265MPap例例11.6 11.6 圖圖11.1111.11所示鋼壓桿，材料的彈性模量所示鋼壓桿，材料的彈性模量E200GPa200GPa，比例極，比例極限限 ，其兩端約束分別為：下端固定；上端：在，其兩端約束分別為：下端固定；上端：在xOy平面內(nèi)為夾支，在平面內(nèi)為夾

41、支，在xOz平面內(nèi)為自由端。（平面內(nèi)為自由端。（1 1）計算該壓桿的臨界）計算該壓桿的臨界軸力；（軸力；（2 2）從該壓桿的穩(wěn)定角度（在滿足）從該壓桿的穩(wěn)定角度（在滿足 情況下），情況下），b與與h的比值應(yīng)等于多少才合理？的比值應(yīng)等于多少才合理？確定合理的確定合理的b與與h比值：比值： 在滿足在滿足 情況下，情況下，p265MPapFh=150b = 1 0 0zyxzOy3000zy0102zyllii15006 0001/121/12bh/6000/15004h b p例例11.7 11.7 如圖如圖11.1211.12所示結(jié)構(gòu)中桿所示結(jié)構(gòu)中桿AB與與BD的材料均為的材料均為Q235Q23

42、5鋼，兩鋼，兩桿同為圓截面桿，桿同為圓截面桿，AB桿直徑為桿直徑為dAB100mm100mm， BD桿直徑為桿直徑為dBD10mm10mm，l300mm300mm，承受荷載，承受荷載F。試求結(jié)構(gòu)的臨界荷載值。試求結(jié)構(gòu)的臨界荷載值 F 。已。已知：知：E200GPa200GPa， 。 p200MPaAlllDCBF例題例題1 1 ：圖示各桿均為圓形截面細長壓桿。已知各：圖示各桿均為圓形截面細長壓桿。已知各桿的材料及直徑相等。問哪個桿先失穩(wěn)。桿的材料及直徑相等。問哪個桿先失穩(wěn)。aFF1.3aF1. 6adAcB桿桿B B： =1 =1a.l31桿桿C C： =0.7 =0.7aal1216170.

43、桿桿A A： = 2 = 2解：解：A A桿先失穩(wěn)桿先失穩(wěn)aFF1.3aF1. 6adAcBal222)( lEIFcr一、安全因數(shù)法一、安全因數(shù)法 115 115 壓桿的穩(wěn)定計算壓桿的穩(wěn)定計算nst 壓桿的穩(wěn)定安全因數(shù)（規(guī)范查表）壓桿的穩(wěn)定安全因數(shù)（規(guī)范查表）FN 壓桿的工作軸力壓桿的工作軸力 壓桿橫截面的工作應(yīng)力壓桿橫截面的工作應(yīng)力穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件注意：注意：1 1、壓桿的臨界軸力是由壓桿的整體變形來決定的，在計算臨、壓桿的臨界軸力是由壓桿的整體變形來決定的，在計算臨界軸力的公式中，界軸力的公式中，I和和A都按沒削弱的橫截面尺寸來計算。都按沒削弱的橫截面尺寸來計算。2 2、對于局部有截面削

44、弱的壓桿，除了要進行穩(wěn)定校核外，還、對于局部有截面削弱的壓桿，除了要進行穩(wěn)定校核外，還應(yīng)該對壓桿削弱了的橫截面進行強度校核。應(yīng)該對壓桿削弱了的橫截面進行強度校核。 對于實際壓桿，以對于實際壓桿，以Fcr作為外荷載相應(yīng)的控制值是不安全的。作為外荷載相應(yīng)的控制值是不安全的。crNstFFncrcrstNFnnFFcr 壓桿的臨界軸力壓桿的臨界軸力 cr 壓桿橫截面的臨界應(yīng)力壓桿橫截面的臨界應(yīng)力n 壓桿的工作安全因數(shù)壓桿的工作安全因數(shù)例例11.8 11.8 三角支架受力如圖三角支架受力如圖11.1311.13（a a）所示。其中）所示。其中BC桿為桿為1010號工字號工字鋼，其彈性模量鋼，其彈性模量

45、E200GPa200GPa， 比例極限比例極限 。AB桿長度桿長度為為lAB=1.5m=1.5m，若穩(wěn)定安全因數(shù)，若穩(wěn)定安全因數(shù) ，試從，試從BC桿的穩(wěn)定考慮，求桿的穩(wěn)定考慮，求結(jié)構(gòu)的許用荷載結(jié)構(gòu)的許用荷載 F 。 p200MPast2.2n 圖1 1 .1 3FNB CFBFN A B(b)4 5 4 5ozy(a)CA4 5oFB圖1 1 .1 3FNB CFBFN A B(b)4 5 4 5ozy(a)CA4 5oFBN22BCFF3pp200 10 MPa99.35200MPaEmin1.52cm15.2mmzii2214.345cm1434.5mmA30112 1.5 10 mm13

46、9.615.2mmzzlliip2232crN22stst200 10 MPa 1434.5mm66kN139.62.2BCFEAFnnN2 46.7kN2BCFF二、穩(wěn)定因數(shù)法二、穩(wěn)定因數(shù)法 115 115 壓桿的穩(wěn)定計算壓桿的穩(wěn)定計算FN 壓桿的工作軸力壓桿的工作軸力f 考慮一定塑性的材料抗壓強度設(shè)計值（詳見規(guī)范）考慮一定塑性的材料抗壓強度設(shè)計值（詳見規(guī)范）軸心受壓桿件的穩(wěn)定條件軸心受壓桿件的穩(wěn)定條件A壓桿截面的毛截面面積壓桿截面的毛截面面積壓桿的壓桿的穩(wěn)定因數(shù)穩(wěn)定因數(shù)或或折減因數(shù)折減因數(shù)（與材料有關(guān)且為柔度（與材料有關(guān)且為柔度的函數(shù)）的函數(shù)）2cr2EN c rc r sss ts t

47、ss tFfAn nn NFfAN c r c r sss t s t ss tFfAnnn Nc rc r sss ts tss tFfAn nn crs( )1 在鋼壓桿中在鋼壓桿中40圖11.14 我 國 的 柱 子 曲 線0.20.61.080 120 160 2000abcd上 下 變 動上 下 變 動crNstFFn例例11.9 11.9 如圖如圖11.15(a)11.15(a)所示結(jié)構(gòu)是由兩根直徑相同的圓桿組成，桿所示結(jié)構(gòu)是由兩根直徑相同的圓桿組成，桿的材料為的材料為Q235Q235鋼，已知鋼，已知h=0.4m=0.4m，桿直徑，桿直徑d=20mm=20mm，荷載，荷載F=15k

48、N=15kN，其鋼材的抗壓強度設(shè)計值其鋼材的抗壓強度設(shè)計值f =215MPa215MPa，試校核此結(jié)構(gòu)在圖平面內(nèi)，試校核此結(jié)構(gòu)在圖平面內(nèi)的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。 3045(a)ACBFhddFN A CFN A B3 0 4 5 OxyFA(b)NNNN0 cos45cos300 sin45sin30ixABACiyABACFFFFFFF ，NN ABACFFFF ，例例11.9 11.9 如圖如圖11.15(a)11.15(a)所示結(jié)構(gòu)是由兩根直徑相同的圓桿組成，桿所示結(jié)構(gòu)是由兩根直徑相同的圓桿組成，桿的材料為的材料為Q235Q235鋼，已知鋼，已知h=0.4m=0.4m，桿直徑，桿直徑d=20

49、mm=20mm，荷載，荷載F=15kN=15kN，其鋼材的抗壓強度設(shè)計值其鋼材的抗壓強度設(shè)計值f =215MPa215MPa，試校核此結(jié)構(gòu)在圖平面內(nèi)，試校核此結(jié)構(gòu)在圖平面內(nèi)的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。 3045(a)ACBFhddFNACFNAB3045OxyFA(b)NN ABACFFFF ，212400113.14/420/421 2 400160/420/4AB ABABABABAC ACACACAClhidlhid 0.4750.14 (0.4750.470)0.4743 0.276ABAC例例11.9 11.9 如圖如圖11.15(a)11.15(a)所示結(jié)構(gòu)是由兩根直徑相同的圓桿組成，桿所示結(jié)構(gòu)是由兩根直徑相同的圓桿組成，桿的材料為的材料為Q235Q235鋼，已知鋼，已知h=0.4m=0.4m，桿直徑，桿直徑d=20mm=20mm，荷載，荷載F=15kN=15kN，其鋼材的抗壓強度設(shè)計值其鋼材的抗壓強度設(shè)計值f =215MPa215MPa，試校核此結(jié)構(gòu)在圖平面內(nèi)，試校核此結(jié)構(gòu)在圖平面內(nèi)的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。 3045(a)ACBFhddFNACFNAB3045OxyFA(b)NN ABACFFFF ，0.4743 0.276ABACN2220.8960.