線性代數(shù)課件呂丹3-2

1、第二節(jié)第二節(jié) 矩陣的秩矩陣的秩一、矩陣秩的概念一、矩陣秩的概念二、矩陣秩的求法二、矩陣秩的求法三、三、 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè). , 數(shù)數(shù)是是唯唯一一確確定定的的梯梯形形矩矩陣陣中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行階階把把它它變變?yōu)闉樾行须A階變變換換總總可可經(jīng)經(jīng)過過有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩陣陣nma ., 12階子式階子式的的稱為矩陣稱為矩陣階行列式，階行列式，的的中所處的位置次序而得中所處的位置次序而得變它們?cè)谧兯鼈冊(cè)诓桓牟桓脑卦靥幍膫€(gè)處的個(gè)），位于這些行列交叉），位于這些行列交叉列（列（行行中任取中任取矩陣矩陣在在定義定義kakaknkmkkkanm 一、矩陣秩

2、的概念一、矩陣秩的概念矩陣的秩矩陣的秩. )(0102等于零等于零并規(guī)定零矩陣的秩并規(guī)定零矩陣的秩的秩，記作的秩，記作稱為矩陣稱為矩陣的最高階非零子式，數(shù)的最高階非零子式，數(shù)稱為矩陣稱為矩陣，那末，那末于于）全等）全等階子式（如果存在的話階子式（如果存在的話，且所有，且所有式式階子階子的的中有一個(gè)不等于中有一個(gè)不等于設(shè)在矩陣設(shè)在矩陣定義定義araradrdka .)( 子式的最高階數(shù)子式的最高階數(shù)中不等于零的中不等于零的是是的秩的秩矩陣矩陣aaranm ，對(duì)于對(duì)于ta).()(arart 顯有顯有. 個(gè)個(gè)階子式共有階子式共有的的矩陣矩陣knkmcckanm 例例1.174532321的秩的秩求

3、矩陣求矩陣 a解解中，中，在在 a，階子式只有一個(gè)階子式只有一個(gè)的的又又aa3. 03221 ，且且0 a. 2)( ar例例2.00000340005213023012的秩的秩求矩陣求矩陣 b解解行，行，其非零行有其非零行有是一個(gè)行階梯形矩陣，是一個(gè)行階梯形矩陣，3b.4階子式全為零階子式全為零的所有的所有b, 0400230312 而而. 3)( br例例3 3，求該矩陣的秩，求該矩陣的秩已知已知 510231202231a, 022031 102120231 502320231 解解計(jì)算計(jì)算a的的3階子式，階子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 .

4、 0 . 2 ar做初等變換，做初等變換，對(duì)矩陣對(duì)矩陣 510231202231a另解另解,000031202231510231202231 顯然，非零行的行數(shù)為顯然，非零行的行數(shù)為2， . 2 ar此方法簡(jiǎn)單！此方法簡(jiǎn)單！., 梯形梯形等行變換把他變?yōu)樾须A等行變換把他變?yōu)樾须A總可經(jīng)過有限次初總可經(jīng)過有限次初因?yàn)閷?duì)于任何矩陣因?yàn)閷?duì)于任何矩陣nma 問題：?jiǎn)栴}：經(jīng)過變換矩陣的秩變嗎？經(jīng)過變換矩陣的秩變嗎？ . ,1 brarba 則則若若定理定理證證二、矩陣秩的求法二、矩陣秩的求法).()( brarba 則則，經(jīng)一次初等行變換變?yōu)榻?jīng)一次初等行變換變?yōu)橄茸C明：若先證明：若. 0 )( rdrar

5、ar階子式階子式的某個(gè)的某個(gè)，且，且設(shè)設(shè)時(shí)，時(shí)，或或當(dāng)當(dāng)babakrrriji 時(shí)，分三種情況討論：時(shí)，分三種情況討論：當(dāng)當(dāng)bajikrr ,.rrddb相對(duì)應(yīng)的子式相對(duì)應(yīng)的子式中總能找到與中總能找到與在在, rrrrrrkdddddd 或或或或由于由于.)(0 rbrdr ，從而，從而因此因此行；行；行但不含第行但不含第中含第中含第）（行；行；行和第行和第中同時(shí)含第中同時(shí)含第）（行；行；中不含第中不含第）（jidjididrrr321.)(, 0)2(),1( rbrdddbrrr 故故子式子式對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的中與中與兩種情形，顯然兩種情形，顯然對(duì)對(duì)，對(duì)情形對(duì)情形)3(,rrjijirdkdrk

6、rkrrd , 0 rd若若,非零子式非零子式階階行的行的中有不含第中有不含第行知行知中不含第中不含第因因riaidr.)(rbr , 0 rd若若).()( brarba ，則，則經(jīng)一次初等行變換變?yōu)榻?jīng)一次初等行變換變?yōu)槿羧?,ab為為也可經(jīng)一次初等變換變也可經(jīng)一次初等變換變又由于又由于.)(, 0rbrddrr 也有也有則則).()(brar 因此因此).()(arbr 故也有故也有 經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變有限次初等行變換矩陣的秩仍不變 ).()(,brarba 也有也有經(jīng)初等列變換變?yōu)榻?jīng)初等列變換變?yōu)樵O(shè)設(shè)

7、,ba經(jīng)初等列變換變?yōu)榻?jīng)初等列變換變?yōu)樵O(shè)設(shè)).()(),(, brarbaba 則則即即經(jīng)有限次初等變換變?yōu)榻?jīng)有限次初等變換變?yōu)槿羧艟C上綜上,ttba 經(jīng)初等行變換變?yōu)榻?jīng)初等行變換變?yōu)閯t則),()( ttbrar ),()(),()(ttbrbrarar 且且).()(brar 證畢證畢初等變換求矩陣秩的方法：初等變換求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例例4的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式秩，并求秩，并求的的求矩陣求矩陣設(shè)設(shè)aaa,414613510

8、21632305023 階梯形矩陣：階梯形矩陣：作初等行變換，變成行作初等行變換，變成行對(duì)對(duì)a解解 41461351021632305023 a 0502335102163234146141rr 41461351021632305023 a 050233510211340414614241rrrr 1281216011791201134041461 41461351021632305023 a4241rrrr 141332rrrr 84000840001134041461 00000840001134041461 由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知. 3)( ar233r

9、r 244rr 34rr . 的一個(gè)最高階子式的一個(gè)最高階子式求求 a , 3)( ar . 3階階的的最最高高階階非非零零子子式式為為知知a階子式共有階子式共有的的 3a . 403534個(gè)個(gè) cc階梯形矩陣為階梯形矩陣為的行的行則矩陣則矩陣記記),(),(42154321aaabaaaaaa 的行階梯形矩陣，的行階梯形矩陣，考察考察a 000400140161, 3)( br的前三行構(gòu)成的子式的前三行構(gòu)成的子式計(jì)算計(jì)算b .3階非零子式階非零子式中必有中必有故故 b.4 個(gè)個(gè)且共有且共有623502523 1106502523 116522 . 016 則這個(gè)子式便是則這個(gè)子式便是 的一個(gè)

10、最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式.a，階階可可逆逆矩矩陣陣設(shè)設(shè)an , 0 a,aa的的最最高高階階非非零零子子式式為為,)(nar .,eaea的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形為為單單位位陣陣故故.為為滿滿秩秩矩矩陣陣，故故稱稱可可逆逆矩矩陣陣可可逆逆矩矩陣陣的的秩秩等等于于階階數(shù)數(shù).奇奇異異矩矩陣陣為為降降秩秩矩矩陣陣?yán)? 5 4321,6063324208421221ba設(shè)設(shè) .)(的的秩秩及及矩矩陣陣求求矩矩陣陣baba 解解),( babb 的行階梯形矩陣為的行階梯形矩陣為設(shè)設(shè)分析：分析：的行階梯形矩陣，的行階梯形矩陣，就是就是則則aa).()(),(brarbab及及中可同時(shí)看出中可同時(shí)看出故

11、從故從 46063332422084211221b 13600512000240011221131222rrrr 143rr 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr . 3)(, 2)( brar三、小結(jié)三、小結(jié)(2)(2)初等變換法初等變換法1. 矩陣秩的概念矩陣秩的概念2. 求矩陣秩的方法求矩陣秩的方法(1)(1)利用定義利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù)即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));思考題思考題?)()(,是是否否相相等等與與