2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊1.4.2《用空間向量研究距離、夾角問題（2）》教學(xué)設(shè)計(jì)(含答案)

1、1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題(2) 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)運(yùn)用空間向量解決計(jì)算空間角問題。在向量坐標(biāo)化的基礎(chǔ)上，將空間中線線角、線面角及二面角問題，首先轉(zhuǎn)化為向量語言，進(jìn)而運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)用空間向量解決空間角問題，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的方法和新的觀點(diǎn)，為培養(yǎng)學(xué)生思維提供了更廣闊的空間。課程目標(biāo)素養(yǎng)A.理解兩異面直線所成角與它們的方向向量之間的關(guān)系,會(huì)用向量方法求兩 異面直線所成角.B.理解直線與平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關(guān)系,會(huì)用向量方法求直線與平面所成角.C.理解二面角大小

2、與兩個(gè)面法向量夾角之間的關(guān)系,會(huì)用向量方法求二面角的大小.1.數(shù)學(xué)抽象：向量語言表述空間角 2.邏輯推理：運(yùn)用向量運(yùn)算求解空間角的原理；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決空間角問題.1.教學(xué)重點(diǎn)：理解運(yùn)用向量方法求空間角的原理2.教學(xué)難點(diǎn)：掌握運(yùn)用空間向量求空間角的方法多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、情境導(dǎo)學(xué)地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”,黃道面與地球赤道面交角(二面角的平面角)為2326.黃道面與天球相交的大圓為“黃道”.黃道及其附近的南北寬9以內(nèi)的區(qū)域稱為黃道帶,太陽及大多數(shù)行星在天球上的位置常在黃道帶內(nèi).黃道帶內(nèi)有十二個(gè)星座,稱為“黃道十二宮”.從春分(節(jié)氣)點(diǎn)起,每

3、30便是一宮,并冠以星座名,如白羊座、獅子座、雙子座等等,這便是星座的由來.問題：空間角包括哪些角?求解空間角常用的方法有哪些?答案：線線角、線面角、二面角; 傳統(tǒng)方法和向量法.二、探究新知 1.利用向量方法求兩異面直線所成角若兩異面直線l1,l2所成角為,它們的方向向量分別為a,b,則有cos =|cos|=|ab|a|b| .特別提醒：不要將兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角等同起來,因?yàn)閮僧惷嬷本€所成角的范圍是0,2,而兩個(gè)向量夾角的范圍是0,事實(shí)上,兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補(bǔ)的關(guān)系.1.若異面直線l1,l2的方向向量分別是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4

4、),則異面直線l1與l2的夾角的余弦值等于()A.-25B.25C.-255D.255解析因?yàn)閍b=-4,|a|=5,|b|=25,所以cos =|cos|=ab|a|b|=-410=25. 答案：B 2.利用向量方法求直線與平面所成角若直線l與平面所成的角為,直線l的方向向量為a,平面的法向量為n,則有sin =|cos|=|an|a|n|特別提醒：直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角.2.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120,則直線l與平面所成的角等于()A.120B.60 C.150 D.30 解析：因?yàn)橹本€l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120,所

5、以它們所在直線的夾角為60,則直線l與平面所成的角等于90-60=30. 答案：D 3.利用向量方法求二面角(1)若二面角-l-的平面角的大小為,其兩個(gè)面,的法向量分別為n1,n2, 則|cos |=|cos|= |n1n2|n1|n2| (2)二面角的大小還可以轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角.在二面角-l-的兩個(gè)半平面,內(nèi),各取一條與棱l垂直的直線,則當(dāng)直線的方向向量的起點(diǎn)在棱上時(shí),兩個(gè)方向向量的夾角即為二面角的大小.特別提醒：由于二面角的取值范圍是0,而兩個(gè)面的法向量的方向無法從圖形上直觀確定,因此不能認(rèn)為二面角的大小就是其兩個(gè)面法向量夾角的大小,需要結(jié)合具體圖形判斷二面角是銳角還是鈍角,從而

6、求得其大小.3.二面角-l-中,平面的一個(gè)法向量為n1=32,-12,-2,平面的一個(gè)法向量是n2=0,12,2,那么二面角-l-的大小等于()A.120 B.150 C.30或150 D.60或120 解析：設(shè)所求二面角的大小為, 則|cos |=|n1n2|n1|n2|=32,所以=30或150.答案：C 例1. 如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AB=BC=AA1,ABC=90,點(diǎn)E,F分別是棱AB,BB1的中點(diǎn),試求直線EF和BC1所成的角.思路分析:建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線EF和BC1的方向向量的坐標(biāo),求它們的夾角即得直線EF和BC1所成的角.解:分別以

7、直線BA,BC,BB1為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如右圖).設(shè)AB=1,則B(0,0,0),E12,0,0,F0,0,12,C1(0,1,1),所以EF=-12,0,12,BC1=(0,1,1).于是cos=BC1EF|BC1|EF|=12222=12,所以直線EF和BC1所成角的大小為60.1.利用空間向量求兩異面直線所成角的步驟.(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo).(3)利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角.(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角.2.求兩條異面直線所成的角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn).(1)余弦值非負(fù):兩條異面直線所成角的余弦

8、值一定為非負(fù)值,而對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角.(2)范圍:異面直線所成角的范圍是0,2,故兩直線方向向量夾角的余弦值為負(fù)時(shí),應(yīng)取其絕對(duì)值.跟蹤訓(xùn)練1 如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)AB=1.則B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),A1B=(0,1,-2), AD1=(-1,0,2),cos=A1BAD1|A1B|AD1|=-455=-45,故異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為45.

9、 答案:45例2.如圖所示,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).(1)證明MN平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.思路分析:(1)線面平行的判定定理MN平面PAB.(2)利用空間向量計(jì)算平面PMN與AN方向向量的夾角直線AN與平面PMN所成角的正弦值.(1)證明:由已知得AM=23AD=2.如圖,取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC的中點(diǎn)知TNBC,TN=12BC=2.又ADBC,故TNAM且TN=AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB

10、,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)解:如圖,取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB=AC得AEBC,從而AEAD,且AE=AB2-BE2=AB2-(BC2)2=5.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AE的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz. 由題意知P(0,0,4),M(0,2,0),C(5,2,0),N52,1,2,PM=(0,2,-4),PN=52,1,-2,AN=52,1,2.設(shè)n=(x,y,z)為平面PMN的法向量,則nPM=0,nPN=0,即2y-4z=0,52x+y-2z=0,可取n=(0,2,1).于是|cos|=|nAN|n|AN|=8525.所以直線AN與平面PMN所

11、成角的正弦值為8525.若直線l與平面的夾角為,利用法向量計(jì)算的步驟如下:跟蹤訓(xùn)練2 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點(diǎn),則直線A1B與平面BDE所成的角為()A.6 B.3 C.2D.56解析:以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,可求得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而BA1=(0,-1,1),所以cos =1+223=32,則=30,故直線A1B與平面BDE成60角.答案：B 例3. 如圖,在正方體ABEF-DCEF中,M,N分別為AC,BF的中點(diǎn),求平面MNA與平面MNB所成銳二面角的余弦值.思路分析:有兩種思路,一是先根據(jù)二面角平面角的定義,在圖形中作出

12、二面角的平面角,然后利用向量方法求出夾角從而得到所成二面角的大小;另一種是直接求出兩個(gè)面的法向量,通過法向量的夾角求得二面角的大小.解:設(shè)正方體棱長為1.以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BA,BE,BC所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,則M12,0,12,N12,12,0,A(1,0,0),B(0,0,0).(方法1)取MN的中點(diǎn)G,連接BG,AG,則G12,14,14.因?yàn)锳MN,BMN為等腰三角形,所以AGMN,BGMN,故AGB為二面角的平面角或其補(bǔ)角.又因?yàn)镚A=12,-14,-14,GB=-12,-14,-14,所以cos=GAGB|GA|GB|=-183838=-13,

13、故所求兩平面所成銳二面角的余弦值為13.(方法2)設(shè)平面AMN的法向量n1=(x,y,z).由于AM=-12,0,12,AN=-12,12,0,則n1AM=0,n1AN=0,即-12x+12z=0,-12x+12y=0,令x=1,解得y=1,z=1,于是n1=(1,1,1).同理可求得平面BMN的一個(gè)法向量n2=(1,-1,-1),所以cos=n1n2|n1|n2|=-133=-13,故所求兩平面所成銳二面角的余弦值為13. 利用平面的法向量求二面角 利用向量方法求二面角的大小時(shí),多采用法向量法,即求出兩個(gè)面的法向量,然后通過法向量的夾角來得到二面角的大小,但利用這種方法求解時(shí),要注意結(jié)合圖形

14、觀察分析,確定二面角是銳角還是鈍角,不能將兩個(gè)法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來.跟蹤訓(xùn)練3 如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,ABBC,求二面角B1-A1C-C1的大小.解：如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.則A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),即BM=(1,1,0)是平面A1C1C的一個(gè)法向量.設(shè)平面A1B1C的一個(gè)法向量是n=(x,y,z),A1C=(-2,2,-2), A1B1=(-2,0,0),所以nA1B1=-2x=0,nA1C=-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1,故n=(0,1

15、,1).設(shè)法向量n與BM的夾角為,二面角B1-A1C-C1的大小為,顯然為銳角.因?yàn)閏os =|cos |=|nBM|n|BM|=12,解得=3,所以二面角B1-A1C-C1的大小為3.金題典例 如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,ACBD=O,A1C1B1D1=O1, 四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明:O1O底面ABCD.(2)若CBA=60,求二面角C1-OB1-D的余弦值. (1)證明因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形,所以CC1AC,DD1BD,又CC1DD1OO1,所以O(shè)O1AC,OO1BD,因?yàn)锳CBD=O,所以O(shè)1O底

16、面ABCD.(2)解：因?yàn)樗睦庵乃欣忾L都相等,所以四邊形ABCD為菱形,ACBD.又O1O底面ABCD,所以O(shè)B,OC,OO1兩兩垂直.如圖,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OO1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)棱長為2,因?yàn)镃BA=60,所以O(shè)B=3,OC=1,所以O(shè)(0,0,0),B1(3,0,2),C1(0,1,2),平面BDD1B1的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),設(shè)平面OC1B1的法向量為m=(x,y,z),則由mOB1,mOC1,所以3x+2z=0,y+2z=0,取z=-3,則x=2,y=23,所以m=(2,23,-3),所以|cos|=mn|m|n|=2319=25

17、719.由圖形可知二面角C1-OB1-D的大小為銳角,所以二面角C1-OB1-D的余弦值為25719.延伸探究1 本例條件不變,求二面角B-A1C-D的余弦值.解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)棱長為2,則A1(0,-1,2),B(3,0,0),C(0,1,0),D(-3,0,0).所以BC=(-3,1,0),A1C=(0,2,-2),CD=(-3,-1,0).設(shè)平面A1BC的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1A1C=0,n1BC=0,即2y1-2z1=0,-3x1+y1=0,取x1=3,則y1=z1=3,故n1=(3,3,3).設(shè)平面A1CD的法向量為n2=(x2,y2,z2),則

18、n2A1C=0,n2CD=0,即2y2-2z2=0,-3x2-y2=0,取x2=3,則y2=z2=-3,故n2=(3,-3,-3).所以|cos|=n1n2|n1|n2|=57.由圖形可知二面角B-A1C-D的大小為鈍角,所以二面角B-A1C-D的余弦值為-57.延伸探究2 本例四棱柱中,CBA=60改為CBA=90,設(shè)E,F分別是棱BC,CD的中點(diǎn),求平面AB1E與平面AD1F所成銳二面角的余弦值.解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)此棱柱的棱長為1,則A(0,0,0),B1(1,0,1),E1,12,0,D1(0,1,1),F12,1,0,AE=1,12,0,AB1=(1,0

19、,1),AF=12,1,0,AD1=(0,1,1).設(shè)平面AB1E的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1AB1=0,n1AE=0,即x1+z1=0,x1+12y1=0,令y1=2,則x1=-1,z1=1,所以n1=(-1,2,1).設(shè)平面AD1F的法向量為n2=(x2,y2,z2).則n2AD1=0,n2AF=0,即y2+z2=0,12x2+y2=0.令x2=2,則y2=-1,z2=1.所以n2=(2,-1,1).所以平面AB1E與平面AD1F所成銳二面角的余弦值為cos=|n1n2|n1|n2|=366=12.向量法求二面角(或其某個(gè)三角函數(shù)值)的四個(gè)步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,寫出相

20、應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求出兩個(gè)半平面的法向量n1,n2;(3)設(shè)二面角的平面角為,則|cos |=|cos|;(4)根據(jù)圖形判斷為鈍角還是銳角,從而求出(或其三角函數(shù)值).通過生活中的現(xiàn)實(shí)情況，幫助學(xué)生回顧空間角的概念，并提出運(yùn)用向量解空間角的問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧空間中線線、線面、面面的平行問題的解法方法，進(jìn)一步體會(huì)空間幾何問題代數(shù)化的基本思想由基本問題出發(fā)，讓學(xué)生掌握運(yùn)用空間向量解決空間角問題的基本原理，實(shí)現(xiàn)將立體幾何問題向量化。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 通過典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何問題的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過

21、典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.平面的斜線l與它在這個(gè)平面上射影l(fā)的方向向量分別為a=(1,0,1),b=(0,1,1),則斜線l與平面所成的角為()A.30B.45 C.60 D.90 解析: l與所成的角即為a與b所成的角(或其補(bǔ)角),因?yàn)閏os=ab|a|b|=12,所以=60. 答案：C2.已知向量m,n分別是直線l和平面的方向向量和法向量,若cos=- 12,則l與所成的角為()A.30 B.60 C.120 D.150 解析：由已知得直線l和平面法向量所夾銳角為60,因此l與

22、所成的角為30. 答案：A3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AC和MN所成的角為()A.30 B.45 C.90 D.60解析以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中棱長為2,M、N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn),M(1,2,0),N(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),MN=(-1,0,1),AC=(-2,2,0),設(shè)異面直線AC和MN所成的角為,.cos =|MNAC|MN|AC|=2222=12,則又是銳角,=60異面直線AC和MN所成的角為60,故選D.答案D4.在三棱錐P-ABC中,ABBC,AB=BC=12PA,點(diǎn)O,D分別是AC,PC的中點(diǎn),OP底面ABC,則直線OD與平面PBC所成角的正弦值為.解析:以O(shè)為原點(diǎn),射線OA