金融數(shù)學(xué)ppt課件5債務(wù)償還

1、1債務(wù)償還債務(wù)償還repaying loans孟生旺中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院2債務(wù)償還的兩種方法債務(wù)償還的兩種方法分期償還法分期償還法（amortization method）：借款人分期償還貸款，在每次償還的金額中，既包括當(dāng)期應(yīng)該支付的利息，也包括一部分本金。包括：等額，變額償債基金法償債基金法（sinking fund method）：借款人在貸款期間分期償還貸款利息，并要積累一筆償債基金，用于貸款到期時一次性償還貸款本金。包括：等額，變額3一、等額分期償還一、等額分期償還(level installment payments)在等額分期償還法中，需要解決的問題包括：（1）每次償還的金額(lo

2、an payments)是多少？（2）未償還的本金余額（loan balance，loan outstanding, principal outstanding）是多少？（3）在每次償還的金額中，利息和本金分別是多少？41每次償還的金額每次償還的金額貸款的本金是 l0期限為 n 年年實(shí)際利率為 i每年末等額償還r則每次償還的金額 r 可表示為（level loan payment）0| n ilra52未償還本金余額未償還本金余額問題：問題：假設(shè)貸款的本金是l0，期限為n年，年實(shí)際利率為i。每次償還的金額r。確定 t 時刻尚未償還的貸款。方法：將來法（prospective method）過去

3、法（retrospective method）6方法一：將來法（方法一：將來法（prospective method）把將來需要償還的金額折算成計算日（k 時）的現(xiàn)值，即得未償還本金余額。loan balance=pv (future loan payments)第k期末，將來還需償還(n k)次，故未償還本金余額為| = kn k ilra0| | n k in ilaa7方法二：過去法方法二：過去法（retrospective method）從原始貸款本金的累積值中減去過去已付款項(xiàng)的累積值。loan balance=av(loan) - av(loan payments made to d

4、ate)原始貸款本金為 ，累積到時刻k的值為 已經(jīng)償還的款項(xiàng)到時刻k的累積值等于 ，所以未償還本金余額為0| =n ilra0(1)kli0(1)kkk illirs k irs8命題：命題：將來法與過去法等價。證明：證明：0| (1)kkkillirs |(1)kn ik iirars 1(1)1(1)nkkviriii 1n kvri |n k ira（過去法（過去法, 第第k年末年末 ）（將來法）（將來法）93、每期償還的本金和利息、每期償還的本金和利息基本原理基本原理：在分期付款中，首先償還利息，然后償還本金。設(shè)第 k次的還款額為 r ，利息部分為 ik，本金部分為pk，記 lk為第k

5、次還款后的未償還貸款余額，則有111(1)n kkkn kiiilirarv 1n kkkprir v k 的減函數(shù)k 的增函數(shù)10分析分析：利息，本金，余額，一般公式遞減遞減幾何遞增幾何遞增將來法將來法11例：例：30年貸款，貸款利率6，每年還款30000元，本息圖示如下： 12例：例：一筆貸款的期限為2年，年實(shí)際利率為6%，每季度等額償還一次，如果第一年末償還的本金為2000元，試計算在第二年末應(yīng)該償還的本金。 解：解：已知年實(shí)際利率為6%，故季度實(shí)際利率為i = (1 + 0.06)0.25 1 = 0.01467 第四次償還的本金：p4 = rv84+1 = rv5 第八次償還的本金：

6、p8 = rv88+1 = rv 所以p8/ p4 = v4 = (1 + i)4，即 p8 = p4 (1 + i)4 = 2000(1.01467)4 = 2120（元）13二、等額償債基金二、等額償債基金含義含義：借款人分期償還貸款利息(service payment of the loan, generally equals the amount of interest due)，同時積累一筆償債基金，用于貸款到期時一次性清償貸款本金。例例：假設(shè)某人從銀行獲得10000元的貸款，期限為年，年利率為%。雙方約定： （）借款人每年末向銀行支付600元利息； （）借款人在銀行開設(shè)一個存款帳戶

7、，每年末向該帳戶存入1791.76元，該帳戶按5.5的利率計算利息。到第年末，該帳戶的累計余額正好是10000元，用于償還貸款本金。借款人在銀行開設(shè)的該帳戶就是償債基金（償債基金（sinking fund）。）。14償債基金的性質(zhì)償債基金的性質(zhì)名義上名義上：償債基金歸借款人所有，供借款人在貸款到期時一次性清償貸款本金。實(shí)際上實(shí)際上：由銀行掌握，借款人不能動用這筆資金。償債基金的積累過程，也就是本金的償還過程。因此，從原始貸款金額中減去償債基金的累積值，就是 “貸款凈額貸款凈額”(net amount of loan)。15等額償債基金法需要解決的問題等額償債基金法需要解決的問題 借款人在每年末

8、的付款總金額，包括：向償債基金的儲蓄額支付貸款利息每年末的貸款凈額。借款人每年實(shí)際支付的利息。16符號符號:l0 原始貸款本金i 貸款年利率n 貸款期限i 借款人在每年末名義上支付的利息，即 i = il0 j 償債基金的利率d 借款人每年末向償債基金的儲蓄額17假設(shè)借款人每年末向償債基金的儲蓄額為d，則0n jlds因此，借款人在每年末的付款總金額為 id01n jlis00n jlils0n jdsl借款人在每年末的付款總額：借款人在每年末的付款總額：18第 k 年末的貸款凈額為 0k jlds償債基金在第 k 年末的累積值為 jksd|00k jn jllss01k jn jsls每年末

9、的貸款凈額：每年末的貸款凈額：19償債基金在第 k 年初的余額（已經(jīng)償還的本金）為 1kjd s它在第 k 年所產(chǎn)生的利息為 1kjjd s借款人在第 k 年末實(shí)際支付的利息金額應(yīng)為 1kjijd s借款人每年實(shí)際支付的利息借款人每年實(shí)際支付的利息(了解了解）：）：20特例：特例：償債基金利率 j = 貸款利率 i當(dāng) j = i 時，借款人在每年末支付的總金額為0 1n iidlis 11n in iisa（等額分期償還金額 ）0 n ilar因?yàn)榻Y(jié)論：當(dāng) j = i 時，等額分期償還法等額分期償還法 = 等額償債基金法等額償債基金法21問題問題：對借款人而言，下列哪種方法更加有利？分期償還法

10、：貸款利率為 i償債基金法：貸款利率為 i，償債基金利率為 j，i j答案答案：等額分期償還更加有利。22例例假設(shè)假設(shè)：兩筆貸款的本金均為10000元，期限均為5年，但償還方式不同：第一筆：采用償債基金方法償還，貸款利率為6%，償債基金利率為5%。第二筆：采用等額分期方法償還。問題問題：當(dāng)?shù)诙P貸款的利率為多少時，兩筆貸款對借款人而言是等價的。23對于第一筆貸款（償債基金法），借款人在每對于第一筆貸款（償債基金法），借款人在每年末需要支付的金額為年末需要支付的金額為 01()n jidl is5 0.05110000(0.06 +) 2409.75s24對于第二筆貸款（分期償還法），假設(shè)其利率

11、為對于第二筆貸款（分期償還法），假設(shè)其利率為r，則借款人在每年末需要支付的金額為則借款人在每年末需要支付的金額為 0n rlra510000ra令此式等于2409.75，則有5100004.14982409.75rar = 6.552%注：在兩種方法等價的情況下，等額分期償還法的貸款利率（6.552%）大于償債基金法中的貸款利率（6%）。25等價利率的一種近似解法（等價利率的一種近似解法（了解了解）：）：與償債基金法等價的分期償還利率 r 可近似表示為r = i + 0.5(i j)在上例中，近似的等價利率為r = 6% + 0.5(6% 5%) = 6.5%償債基金法的貸款利率借款人在償債基

12、金中損失的利率。真實(shí)利率 r = 6.552%26等額分期償還與等額償債基金的比較等額分期償還與等額償債基金的比較相同點(diǎn)相同點(diǎn)：定期、等額。不同點(diǎn)不同點(diǎn)：已償還本金的計息方式不同。等額分期償還法等額分期償還法：已經(jīng)償還的本金按貸款利率 i 計息。等額償債基金法等額償債基金法：已經(jīng)償還的本金（即存入償債基金的金額）按利率 j 計息。關(guān)系關(guān)系：當(dāng)貸款利率 = 償債基金的利率時，等額償債基金法 = 等額分期償還法。 0 (1)ikkklilrs27四、變額分期償還四、變額分期償還 假設(shè)原始貸款金額為l0，每期末償還的金額為rt（t = 1，2，n）則有下面通過幾個例子說明變額分期償還的應(yīng)用。 01n

13、tttlv r28例（等額本金償還）例（等額本金償還）：一筆10000元的貸款，期限為5年，年實(shí)際利率為5%，每年末償還2000元本金。試構(gòu)造分期償還表（amortization schedule）。年份償還本金未償還本金余額支付當(dāng)年利息（5）每年末償還的總金額(1)(2)(3)(4)(5)=(2)+(4)0100001200080005002500220006000400240032000400030023004200020002002200520000100210029 例（償還額按算術(shù)級數(shù)變化）：例（償還額按算術(shù)級數(shù)變化）：假設(shè)某人從銀行獲得一筆貸款，期限為5年，年實(shí)際利率為6%。借款人

14、在每年末分期償還，每年末的償還金額依次為2000元，1800元，1600元，1400元，1200元。試計算（1）貸款本金為多少？（2）第三年末償還的利息和本金分別為多少？30貸款本金l0應(yīng)該等于上述年金的現(xiàn)值，因此有第三年初（即第二年末）未償還的本金為（將來法）因此第三年支付的利息為 i3 = il2 = 0.063762.97 = 225.78（元）第三年末償還的本金為p3 = r3 i3 = 1600 225.78 = 1374.21（元）05|5| = 1000+ 200() = 6837.82lada23|3| = 1000+ 200() 3762.97lada31例（償還額按幾何級數(shù)

15、變化）例（償還額按幾何級數(shù)變化）：一筆10000元的貸款，年實(shí)際利率為10%，期限為6年，每年末償還一次，每次的償還金額以50%的速度遞增。試構(gòu)造分期償還表。解解：假設(shè)第一年末的償還金額為r1，則有 其中 所以 r1 = 736.69元。11161110000 =13.57428 11 0.5n jjrararr10%50%0.26671150%irjr-= -+32 第一年末應(yīng)該支付的利息為 i1 = 100000.1 = 1000（元） 顯然，第一年償還的總金額736.69元還不足以支付當(dāng)年的利息1000元，故第一年償還的本金為負(fù)p1 = r1 i1 = 736.69 1000 = 263

16、.31（元） 所以第一年末的未償還本金余額將會增加，即增加為 l1 = l0 p1 = 10000 + 263.31 = 10263.31（元）33第二年應(yīng)該支付的利息為i2 = il1 = 0.110263.31 = 1026.33（元）按照幾何級數(shù)計算，借款人在第二年末償還的總金額為r2 = 1.5r1 = 736.691.5 = 1105.04（元）所以第二年償還的本金為p2 = r2 i2 = 1105.04 1026.33 =78.71（元）第二年末的未償還本金余額為l2 = l1 p2 = 10263.31 78.71 = 10184.6（元）依此類推，其他各年的計算結(jié)果如下表所示

17、。34變額分期償還表變額分期償還表 （單位：元）（單位：元） 注：最后結(jié)果有0.07的舍入誤差。年份每年末的償還金額 支付當(dāng)年利息償還本金未償還本金余額0100001736.691000263.3110263.3121105.041026.3378.7110184.6031657.551018.46639.099545.5142486.33954.551531.788013.7353729.49801.372928.125085.6165594.24508.565085.680.07*參見excel表的計算過程 35五、變額償債基金五、變額償債基金借款人每期支付的總金額 rt 由兩部分構(gòu)成：當(dāng)

18、期的利息： il0向償債基金的儲蓄：rt il036假設(shè)償債基金的利率為 j，借款人在第 t 期末支付的總金額為 rt（t = 1，2，n）則在第 t 期末向償債基金的儲蓄額為rt il0 。償債基金在第 n 期末的累積值必須等于貸款本金l0，故有 l0= (r1 il0)(1 + j) n1 + (r2 il0)(1 + j) n2 + + (rn il0) 0|1(1)nn ttn jtirjl s37 從上式即可求得原始貸款本金l0的表達(dá)式為 前一式的分子和分母分別乘以(1 + j)n即得第2式（請練習(xí)）。 在上式中，如果j = i，則有110|(1)(1)11 ()nnn tttttt

19、n jn jrjrjlisij a01ntttlv r38 例：例： 假設(shè)一筆貸款的期限為5年，用償債基金方法償還，貸款利率為10%，償債基金利率為8%。如果借款人每年末的總付款金額（包括支付當(dāng)期利息和向償債基金的儲蓄）分別為：1000元，2000元，3000元，4000元，5000元，試計算原始貸款本金為多少？39 解解：假設(shè)原始貸款金額為l0，每年的利息為0.1l0，每年末向償債基金的儲蓄額為： 1000 0.1l0，2000 0.1l0，3000 0.1l0，4000 0.1l0，5000 0.1l0 故有005|0.085|0.081000 ()0.1islsl5|0.080 5|0.

20、081000()= 10524.691 0.1isls40 注意：上述結(jié)果存在問題。注意：上述結(jié)果存在問題。借款人第一年支付的總金額（1000元）不足以償還當(dāng)期利息（1052.47元）。即向償債基金的儲蓄為52.47元。借款人從償債基金中借走了52.47元，而償債基金是按8%的利率計算利息的。這不合理，因?yàn)橘J款人所要求的貸款利率是10%。若用l0表示合理的貸款本金，則第一年末的貸款凈額為 l1 = 1.1l0 100041l1應(yīng)該在今后的4年由償債基金積累。今后4年，借款人每年末向償債基金的儲蓄額分別為：(2000 il1)，(3000 il1)，(4000 il1)，(5000 il1)。這

21、些儲蓄額在第5年末的累積值應(yīng)該正好等于l1 ，所以有 114|0.084|0.081000 ()(10000.1 )islsl4|0.084|0.0814|0.081000()1000 = = 10573.91 0.1isslsl0=(l1 + 1000)/1.1 = 10521.73（元）42變額償債基金表變額償債基金表 （單位：元）（單位：元）年份年份每年末支付每年末支付的金額的金額支付當(dāng)年利息支付當(dāng)年利息向償債向償債基金儲蓄基金儲蓄償債基金余償債基金余額額貸款凈額貸款凈額0010521.731100010000010573.90220001057.39942.61942.619631.2

22、9330001057.391942.612960.637613.27440001057.392942.616140.094433.81550001057.393942.6110573.900變額償還要特別注意可能出現(xiàn)的負(fù)償還！變額償還要特別注意可能出現(xiàn)的負(fù)償還！注：第一年末的負(fù)償還為52.17，它增加了第一年末的貸款凈額，即 10521.73+52.17=10573.9043五、抵押貸款五、抵押貸款特點(diǎn)：特點(diǎn)：償還期限較長，可能長達(dá)幾十年。有抵押物作擔(dān)保，貸款人面臨的違約風(fēng)險相對較小 。需要研究的問題：貸款余額與抵押物價值的關(guān)系44第 k 期末的未償還本金余額為（將來法） 上式對 k 求一階和

23、二階導(dǎo)數(shù)，即得 一階導(dǎo)數(shù)小于零：未償還本金余額是遞減的； 二階導(dǎo)數(shù)小于零：遞減速度是先慢后快。 ()|1 (1)=n kkn k iilrari()()ln(1) (1) 0n kkrliii 2()()ln(1)(1) 0n kkrliii 1未償還本金余額的變化規(guī)律未償還本金余額的變化規(guī)律45 462固定資產(chǎn)價值的變化規(guī)律固定資產(chǎn)價值的變化規(guī)律 符號：a 固定資產(chǎn)的原值s 固定資產(chǎn)的殘值n 固定資產(chǎn)的使用年限47 固定資產(chǎn)價值的變化過程就是固定資產(chǎn)的折舊過程，主要有三種類型：第一第一，加速折舊（先快后慢），即在最初幾年下降速度很快，以后逐漸放慢。如汽車、機(jī)器設(shè)備。第二第二，勻速折舊（或直線折舊），即折舊過程是平穩(wěn)的，每年折舊相等的金額。第三第三，慢速折舊（先慢后快），與加速折舊正好相反，在最初幾年下降速度較慢，以后逐漸加快 。如房屋、建筑物。48（1）加速折舊法（先快后慢） 加速折舊方法的種類較多，如有 余額遞減法 雙倍余額遞減法 年數(shù)總和法