蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)3.2 勾股定理的逆定理（含解析）

1、3.2 勾股定理的逆定理一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是（）A4，6，8B6，8，9C7，24，25D5，11，122由下列條件不能判定ABC為直角三角形的是（）AA：B：C3：4：5BABCCa1，b2，cD（b+c）（bc）a23下列各組數(shù)不能構(gòu)成直角三角形的是（）A3，4，5B6，8，10C32，42，52D5，12，134滿足下列條件的三角形中，是直角三角形的是（）A三角形的三邊長(zhǎng)滿足關(guān)系a+bcB三角形的三邊長(zhǎng)之比2：3：4C三角形的三邊長(zhǎng)分別為5、12、13D三角形的一邊長(zhǎng)

2、等于另一邊長(zhǎng)的一半5D是ABC中BC邊上的一點(diǎn)，若AC2CD2AD2，則AD是（）ABC邊上的中線BBAC的角平分線CBC邊上的高線DAC邊上的高線6下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A3，4，6B7，24，25C6，8，10D9，12，157已知ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，下列條件不能判斷ABC是直角三角形的是（）AA：B：C3：4：5Ba：b：c7：24：25Ca2b2c2DACB8 a、b、c為ABC三邊，下列條件不能判斷它是直角三角形的是（）Aa2c2b2BA：B：C3：4：5Ca3，b4，c5Da5k，b12k，c13k（k為正整數(shù)）二、填空題（本大題共8小題，每小題3

3、分，共24分請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上）9ABC中，三邊之比為3：4：5，且最長(zhǎng)邊為10m，則ABC周長(zhǎng)為cm10如圖，在3x3的網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A、B、C都是小正方形的頂點(diǎn)，則ABC的度數(shù)為11如圖，已知四邊形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，CD13，DA12，則四邊形ABCD的面積等于12已知等腰直角ABC，ABC90，ABBC4，平面內(nèi)有一點(diǎn)D，連接CD、AD，若CD2，AD6，則BCD13若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1.5、2、2.5，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的中線為14三角形的三邊a，b，c滿足（ab）2c22ab，則這個(gè)三角形是15若ABC三邊之比為5：12：13

4、，則ABC是三角形16如圖，ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB，BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為2cm/s和1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則當(dāng)ts時(shí)，PBQ為直角三角形三、解答題（本大題共5小題，共52分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17如圖，在四邊形ABCD中，已知AB1，BC2，CD2，AD3，且ABBC，試說(shuō)明：ACCD18在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中標(biāo)有A、B、C、D、E、F六個(gè)格點(diǎn)，頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的三角形叫做格點(diǎn)三角形，如格點(diǎn)三角形ABC（1）ABC的面積為；（2）ABC的形狀為；（3）根據(jù)

5、圖中標(biāo)示的各點(diǎn)（A、B、C、D、E、F）位置，與ABC全等的格點(diǎn)三角形是19古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a2m，bm21，cm2+1，那么以a，b，c為長(zhǎng)度的線段首尾順次相接形成的是什么樣的三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由20在四邊形ABCD中，ACDC，AD13cm，DC12cm，AB3cm，BC4cm，求四邊形ABCD的面積21【知識(shí)背景】我國(guó)古代把直角三角形較短的直角邊稱(chēng)為“勾”，較長(zhǎng)的的直角邊稱(chēng)為“股”，斜邊稱(chēng)為“弦”據(jù)周髀算經(jīng)記載，公元前1000多年就發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的結(jié)論像3、4、5這樣為三邊長(zhǎng)能構(gòu)成直角三角形的3個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)【應(yīng)用舉例】觀察3，4，5；5，

6、12，13；7，24，25；可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒(méi)有間斷過(guò)，當(dāng)勾為3時(shí)，股4，弦5；當(dāng)勾為5時(shí)，股12，弦13；當(dāng)勾為7時(shí)，股24，弦25請(qǐng)仿照上面三組樣例，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：（1）如果勾用n（n3，且n為奇數(shù)）表示時(shí)，請(qǐng)用含有n的式子表示股和弦，則股，弦【問(wèn)題解決】（2）古希臘的哲學(xué)家柏拉圖也提出了構(gòu)造勾股數(shù)組的公式具體表述如下：如果a2m，bm21，cm2+1（m為大于1的整數(shù)），則a、b、c為勾股數(shù)請(qǐng)你證明柏拉圖公式的正確性；（3）畢達(dá)哥拉斯在他找到的勾股數(shù)的表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)弦與股的差為1，若用2a2+2a+1（a為任意正整數(shù)）表示勾股數(shù)中最大的一個(gè)數(shù)，請(qǐng)你找出另外兩個(gè)

7、數(shù)的表達(dá)式分別是多少？答案與解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1（2020春海安市期中）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是（）A4，6，8B6，8，9C7，24，25D5，11，12【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形進(jìn)行分析即可【解析】A、62+4282，不可以組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、62+8292，不可以組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、72+242252，可以組成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；D、52+112122，不可以

8、組成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C2（2019秋江蘇省常熟市期中）由下列條件不能判定ABC為直角三角形的是（）AA：B：C3：4：5BABCCa1，b2，cD（b+c）（bc）a2【分析】根據(jù)直角三角形的定義，以及勾股定理的逆定理判斷即可【解析】A、由題意：C18075，ABC是銳角三角形，本選項(xiàng)符合題意B、ABC，A+B+C180，A90，ABC是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意C、a1，b2，c，a2+b2c2，C90，ABC是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意D、（b+c）（bc）a2，b2c2a2，b2a2+c2，ABC是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意故選：A3（2019秋江蘇省海陵區(qū)校

9、級(jí)期中）下列各組數(shù)不能構(gòu)成直角三角形的是（）A3，4，5B6，8，10C32，42，52D5，12，13【分析】欲判斷能否構(gòu)成直角三角形，只需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方【解析】A、32+4252，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、62+82102，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、因?yàn)?29，4216，5225，92+162252，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；D、52+122202，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意故選：C4（2019秋江蘇省沭陽(yáng)縣期中）滿足下列條件的三角形中，是直角三角形的是（）A三角形的三邊長(zhǎng)滿足關(guān)系a+bcB三角形的三邊長(zhǎng)之比2：

10、3：4C三角形的三邊長(zhǎng)分別為5、12、13D三角形的一邊長(zhǎng)等于另一邊長(zhǎng)的一半【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可【解析】A、三角形的三邊滿足關(guān)系a+bc，不符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、22+32134216，此三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、52+122132，此三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)正確；D、三角形的一邊等于另一邊的一半無(wú)法判斷三角形的形狀，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：C5（2019秋江蘇省蘇州期中）D是ABC中BC邊上的一點(diǎn)，若AC2CD2AD2，則AD是（）ABC邊上的中線BBAC的角平分線CBC邊上的高線DAC邊上的高線【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)已

11、知條件判斷出ACD的形狀，再根據(jù)高線的定義解答即可【解析】如圖所示：AC2CD2AD2，ACD是直角三角形，ADBC，則AD是BC邊上的高線，故選：C6（2019秋江蘇省阜寧縣期中）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A3，4，6B7，24，25C6，8，10D9，12，15【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需滿足兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方【解析】A、32+4262，不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)正確；B、72+242252，是勾股數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、62+82102，是勾股數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、92+122152，是勾股數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：A7（2019秋江蘇省鎮(zhèn)江期中）已知ABC

12、中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，下列條件不能判斷ABC是直角三角形的是（）AA：B：C3：4：5Ba：b：c7：24：25Ca2b2c2DACB【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得A、D是否是直角三角形；根據(jù)勾股定理逆定理可判斷出B、C是否是直角三角形【解析】A、A：B：C3：4：5，C18075，故不能判定ABC是直角三角形；B、72+242252，ABC為直角三角形；C、a2b2c2，b2c2+a2，故ABC為直角三角形；D、ACB，且A+B+C180，C90，故ABC為直角三角形故選：A8（2019秋江蘇省泰興市期中）a、b、c為ABC三邊，下列條件不能判斷它是直角三角形的是（）Aa2

13、c2b2BA：B：C3：4：5Ca3，b4，c5Da5k，b12k，c13k（k為正整數(shù)）【分析】如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形【解析】A若a2c2b2，則ABC為直角三角形，故本選項(xiàng)不合題意；B若A：B：C3：4：5，則最大角C90，ABC不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；C若a3，b4，c5，則ABC為直角三角形，故本選項(xiàng)不合題意；D若a5k，b12k，c13k（k為正整數(shù)），則a2+b2c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，故本選項(xiàng)不合題意故選：B二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上）9（2019秋江蘇省連云

14、港期中）ABC中，三邊之比為3：4：5，且最長(zhǎng)邊為10m，則ABC周長(zhǎng)為2400cm【分析】首先根據(jù)三邊之比設(shè)出未知數(shù)，然后可確定各邊長(zhǎng)，再計(jì)算出周長(zhǎng)即可【解析】設(shè)ABC三邊分別是3xm、4xm、5xm，最長(zhǎng)邊為10m，5x10，解得：x2，3x6，4x8，6+8+1024（m）2400cm，故答案為：240010（2019秋江蘇省鎮(zhèn)江期中）如圖，在3x3的網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A、B、C都是小正方形的頂點(diǎn)，則ABC的度數(shù)為45【分析】利用勾股定理的逆定理證明ACB為直角三角形即可得到ABC的度數(shù)【解析】由勾股定理得：ACBC，AB，AC2+BC2AB210，ABC為等腰直角三角形

15、，ABC45故答案為：4511（2019秋江蘇省金壇區(qū)期中）如圖，已知四邊形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，CD13，DA12，則四邊形ABCD的面積等于36【分析】連接AC，先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出ACD的形狀，最后利用三角形的面積公式求解即可【解析】連接AC，ABC90，AB3，BC4，AC5，在ACD中，AC2+CD225+144169AD2，ACD是直角三角形，S四邊形ABCDABBCACCD3451236故答案為：3612（2019秋江蘇省儀征市期中）已知等腰直角ABC，ABC90，ABBC4，平面內(nèi)有一點(diǎn)D，連接CD、AD，若CD2，AD6

16、，則BCD135或45【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理證明ACD為直角三角形，求出ACD90，再求出ACB45問(wèn)題即可解決【解析】ABC90，ABBC4，AC242+4232，而CD24，AD26236，AD2AC2+CD2，ACD為直角三角形，ACD90；ABC為等腰直角三角形，ACB45，BCD90+45135；BCD904545故BCD135或45故答案為：135或4513（2019秋江蘇省南京期中）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1.5、2、2.5，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的中線為【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求出即可【解析】三角形的三邊長(zhǎng)分別

17、為1.5、2、2.5，1.52+222.52，此三角形是直角三角形，斜邊長(zhǎng)為2.5，這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的中線為，故答案為：14（2019秋江蘇省金壇區(qū)期中）三角形的三邊a，b，c滿足（ab）2c22ab，則這個(gè)三角形是直角三角形【分析】首先對(duì)等式進(jìn)行變形得到a2+b2c2，然后依據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可【解析】（ab）2c22ab，a22ab+b2c22ab，a2+b2c2ABC是直角三角形故答案為直角三角形15（2019秋江蘇省淮安區(qū)期中）若ABC三邊之比為5：12：13，則ABC是直角三角形【分析】由兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方可得ABC是直角三角形【解析】設(shè)ABC三邊分別為5x，

18、12x，13x，（5x）2+（12x）2（13x）2，ABC是直角三角形故答案為：直角16（2019秋江蘇省連云港期中）如圖，ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB，BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為2cm/s和1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則當(dāng)t或s時(shí)，PBQ為直角三角形【分析】先分別表示出BP，BQ的值，當(dāng)BQP和BPQ分別為直角時(shí)，由等邊三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論【解析】ABC是等邊三角形，ABBC6cm，ABC60，當(dāng)PQB90時(shí)，BPQ30，BP2BQBP62x，BQx，62x2x，解得x；當(dāng)QPB90

19、時(shí)，PQB30，BQ2PB，x2（62x），解得x答：或秒時(shí)，BPQ是直角三角形故答案為或三、解答題（本大題共5小題，共52分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17（2019秋邳州市校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB1，BC2，CD2，AD3，且ABBC，試說(shuō)明：ACCD【分析】在ABC中，根據(jù)勾股定理求出AC2的值，再在ACD中根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷出ACCD【解答】證明：在ABC中ABBC，根據(jù)勾股定理：AC2AB2+BC212+225，在ACD中，AC2+CD25+49，AD29，AC2+CD2AD2，根據(jù)勾股定理的逆定理，ACD為直角三角形，ACCD18（2019

20、秋江蘇省新吳區(qū)期中）在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中標(biāo)有A、B、C、D、E、F六個(gè)格點(diǎn)，頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的三角形叫做格點(diǎn)三角形，如格點(diǎn)三角形ABC（1）ABC的面積為2；（2）ABC的形狀為直角三角形；（3）根據(jù)圖中標(biāo)示的各點(diǎn)（A、B、C、D、E、F）位置，與ABC全等的格點(diǎn)三角形是DBC，DAB，DAC【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形和三角形的面積公式求出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出AC、BC、AB的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；（3）根據(jù)全等三角形的判定定理得出即可【解析】（1）ABC的面積為：222，故答案為：2；（2）由勾股定理得：AC2，BC，AB，所以AC2+BC2AB2，即ACB90，即ABC

21、是直角三角形，故答案為：直角三角形；（3）與ABC全等的格點(diǎn)三角形是DBC，DAB，DAC，故答案為：DBC，DAB，DAC19（2020春海安市期中）古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a2m，bm21，cm2+1，那么以a，b，c為長(zhǎng)度的線段首尾順次相接形成的是什么樣的三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】根據(jù)m表示大于1的整數(shù)，a2m，bm21，cm2+1，然后即可得到a2+b2的值，c2的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷以a，b，c為長(zhǎng)度的線段首尾順次相接形成的是什么樣的三角形，本題得以解決【解析】以a，b，c為長(zhǎng)度的線段首尾順次相接形成的是直角三角形，理由：m表示大于1的整數(shù)，

22、a2m，bm21，cm2+1，ca，a2+b2（2m）2+（m21）24m2+m42m2+1（m2+1）2，c2（m2+1）2，a2+b2c2，以a，b，c為長(zhǎng)度的線段首尾順次相接形成的是直角三角形20（2019秋江蘇省阜寧縣期中）在四邊形ABCD中，ACDC，AD13cm，DC12cm，AB3cm，BC4cm，求四邊形ABCD的面積【分析】利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，在ABC中根據(jù)勾股定理逆定理可以得出是直角三角形，根據(jù)直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半計(jì)算即可求解【解析】在RtACD中，AC5cm，在ABC中，AB2+BC29+1625，AC25225，AB2+BC2AC2，ABC是直角三角形，四邊形ABCD的面積ABBCACCD3451236cm221（2019秋江蘇省興化市期中）【知識(shí)背景】我國(guó)古代把直角三角形較短的直角邊稱(chēng)為“