單總體假設檢驗1

1、第八章第八章 單總體假設檢驗單總體假設檢驗第一節(jié)第一節(jié)大樣本假設檢驗大樣本假設檢驗p 根據(jù)大樣本假定根據(jù)大樣本假定(n(n 50)50)，樣本均值，樣本均值x x趨趨于正態(tài)分布：于正態(tài)分布：p p 其中：其中： 總體均總體均值；值； p 2 2總體方差。當總體方差。當 2 2未知時，可用樣本方差未知時，可用樣本方差s s2 2代替，代替， 2 2 s s2 2；p nn樣本容量。樣本容量。 一、大樣本總體均值檢驗一、大樣本總體均值檢驗),(2nnxp 標準值：標準值： ，p 該值當原假設該值當原假設h h0 0： = = 0 0 成立的條件下，可以成立的條件下，可以唯一地為樣本組所確定，唯一地

2、為樣本組所確定，因此，大樣本總體均值檢因此，大樣本總體均值檢驗所用統(tǒng)計量為：驗所用統(tǒng)計量為：) 10(，nnsxnsxz0 有了統(tǒng)計量有了統(tǒng)計量z z，再根據(jù)顯著性水平，再根據(jù)顯著性水平 就可就可以對大樣本均值檢驗作如下歸納：以對大樣本均值檢驗作如下歸納：p ( (一一) ) 原假設為：原假設為：h h0 0： = = 0 0，p ( (二二) ) 研究假設研究假設h h1 1，p 單邊：單邊：h h1 1： 0 0，或，或h h1 1： z(h1:0) z2z2 2 例例1 1：為了驗證統(tǒng)計報表的正確性，作了共：為了驗證統(tǒng)計報表的正確性，作了共5050人的抽樣調查，人的抽樣調查，人均收入人均

3、收入 結果有：結果有：x=871x=871元，元，s=21s=21元，問能否證明統(tǒng)計報表中元，問能否證明統(tǒng)計報表中人均收入人均收入 =880=880元是正確的。元是正確的。( (顯著性水平顯著性水平 =0.05)=0.05)解：依題意，可作如下假設 h0：=880 元 h1：880 元 則有統(tǒng)計量nsxnxz00 03. 35021880871z 因為=0.05,雙端檢驗，查表得2z=1.96 而|z|=3.031.96，所以拒絕原假設，即不能認為人均收入 880 元是正確的。 例例2 2：接上題，如果根據(jù)以上的樣本資料，但卻采：接上題，如果根據(jù)以上的樣本資料，但卻采用區(qū)間估計的方法，試問是否

4、也能作出對原有假設用區(qū)間估計的方法，試問是否也能作出對原有假設h h0 0： =880=880的判斷？的判斷？解：已知樣本值：x =871 元，s=21 元 1-=1-0.05=95% 2z=1.96 可以計算出置信度為95%的區(qū)間估計值 ，nzx2nzx2=871-502196. 1, 871+502196. 1 =871-5.82,871+5.72=865.18,876.82 現(xiàn)在根據(jù)小概率原理來推論總體=880 是否成立。 顯然，如果總體均值為 880 元，則 95%的置信區(qū)間應該包括 880 元。而現(xiàn)在區(qū)間沒有包括，即出現(xiàn)了小概率事件，故推翻原假設。 例例3 3：如果真實總體的如果真實

5、總體的 =870=870元，求接受原假設元，求接受原假設h h0 0： =880=880元時所犯第二類元時所犯第二類( (納偽納偽) )錯誤錯誤 的的值。值。p 解：根據(jù)原假設解：根據(jù)原假設h h0 0: : =880(=880(元元) )，s=21(s=21(元元) )，1-1- =0.95=0.95，n=50n=50，作，作x x的分布圖的分布圖a a，并求出接受域，并求出接受域的臨界值。的臨界值。18.874502196. 18802x82.885502196. 18802x 同理，根據(jù)真實總體同理，根據(jù)真實總體 =870 =870 ，作，作x x的分布圖的分布圖(b)(b)，于，于是對

6、于真實總體是對于真實總體 =870=870元來說，樣本均值元來說，樣本均值 x874.18x874.18的的部分部分( (陰影部分陰影部分) )都將誤認為都將誤認為 =880=880元，這部分面積就是元，這部分面積就是犯第二類錯誤犯第二類錯誤 的數(shù)值：的數(shù)值： z z1 1= =1.41 z=1.41 z2 2= = (z(z2 2)- )- (z(z1 1) ) 0.5-0.5- (1.41)=0.5-0.4207=0.0793(1.41)=0.5-0.4207=0.0793 它表示，如果真實總體它表示，如果真實總體 =870=870，而原假設為，而原假設為h h0 0： =880=880的

7、話，那么平均而言，每的話，那么平均而言，每100100次抽樣中，將約有次抽樣中，將約有8 8次當作次當作 =880=880而被接受。而被接受。50218708 .87459. 5502187082.885二、大樣本總體成數(shù)檢驗二、大樣本總體成數(shù)檢驗p 前面已談到，定類的二分變量，當賦于以下前面已談到，定類的二分變量，當賦于以下的數(shù)值后：的數(shù)值后：p 1 1p q qi i= p 0 0p 成數(shù)實際可以看作是一種特殊的均值，總體成數(shù)實際可以看作是一種特殊的均值，總體成數(shù)成數(shù)p p就是二分變量的總體均值：就是二分變量的總體均值：p=p= ；樣本成數(shù)；樣本成數(shù)就是二分變量的樣本均值：就是二分變量的樣

8、本均值：x x。 在大樣本情況下：在大樣本情況下：(np(np 5 5和和n(1-p)n(1-p) 5)5)，樣本成數(shù)，樣本成數(shù) 趨向正態(tài)分布趨向正態(tài)分布: n(p: n(p，2 2) )，其中：，其中：pp總體成數(shù)，總體成數(shù)，nn樣本容量。則：樣本容量。則：p標準化：標準化： n(0,1)n(0,1)p p 該值當原假設該值當原假設h h0 0：p=pp=p0 0的條件下，可以唯一的條件下，可以唯一地為樣本值所確定。因此，大樣本總體成數(shù)檢驗地為樣本值所確定。因此，大樣本總體成數(shù)檢驗所用的統(tǒng)計為：所用的統(tǒng)計為：p ppnppppppzp)1 ( nppppz)1 (000nppnpqp)1 (

9、2 有了統(tǒng)計量有了統(tǒng)計量z z和顯著性和顯著性 ，可以類比，可以類比總體均值的討論，作如下歸納：總體均值的討論，作如下歸納： 1. 原假設：h0：p=p0 2. 研究假設：h1: 單邊 h1:pp0 或：h1:pz (h1:pp0) 2. z-z (h1 : p2z 2 2 2z 2z 例例4 4：某地區(qū)成年人中吸煙占某地區(qū)成年人中吸煙占75%75%，經(jīng)過戒煙宣傳，經(jīng)過戒煙宣傳之后，抽樣調查發(fā)現(xiàn)之后，抽樣調查發(fā)現(xiàn)100100名被調查的成人中，有名被調查的成人中，有6363人是人是吸煙者。問戒煙宣傳是否收到了成效。吸煙者。問戒煙宣傳是否收到了成效。( ( =0.05)=0.05) 解 ： h0

10、： p=0.75 h1： p0.75 nppppz)1(000 =77.20433.012.0100)75.01(75.075.010063 =0.05 -z0.05=-1.65 因 為 z=-2.77-z0.05=-1.65所 以 ， 否 定 原 假 設 p=0.75， 即 可 以 認 為 戒 煙 宣 傳 收到 了 成 效 ， 吸 煙 比 例 有 所 下 降 。 p0 或z (hi:0) :z- z(h1： 0) z z雙 邊 ： :z2z或 z0 h1：0 雙邊 h1：0 統(tǒng)計量：t=) 1(0ntnsx 拒絕域：拒絕域： 單邊：:t0) t(n-1) t- t(h1： t0 .0 5(9

11、 -1 )= 1 .8 6所 以 拒 絕 h0， 接 受 h1， 即 可 以 認 為 該 地 區(qū) 的平 均 初 婚 年 齡 已 超 過 了 2 0 歲 ( = 2 .5 )二、單正態(tài)總體方差檢驗二、單正態(tài)總體方差檢驗在 實 際 工 作 中 ， 有 時 須 檢 驗 總 體 的 方 差 2。對 于 單 正 態(tài) 總 體 ， 檢 驗 方 差 所 用 的 統(tǒng) 計 量為 自 由 度 k = n -1 的 x2分 布)1(1222nxsn 其 中 ： s2 樣 本 方 差 n 樣 本 容 量檢 驗 步 驟 有 ：1 原 假 設 ： h0： 2 =022 研 究 假 設 ： h1 :3 統(tǒng) 計 量 x2=)1

12、()1(2220nxsn4 4拒絕域拒絕域單邊：x2x2(h1：2 02) 或 x2x21-( h1：2 x22或 x2x=25.27x2 2(1-0.01)=14.3(1-0.01)=14.3 x2(29) 0.01 x2(1-0.01)=14.3所以接受h0、否定h1，即該研究人員的看法不能被證實(a=0.01)總結總結 條件條件檢驗條件量檢驗條件量拒絕域拒絕域h0、h1(1) h0：=0 h1：0z(2) h0： = 0 h1：0(3) h0： = 0 h1： 0z0z0正態(tài)總正態(tài)總體體2已已知知(n30)nxz022 總體均值的檢驗總體均值的檢驗條件條件檢驗條件量檢驗條件量拒絕域拒絕域h0、h1(1) h0：=0 h1：0(2) h0： = 0 h1：0(3) h0： = 0 h1：000nsxt00正態(tài)總正態(tài)總體體2未未知知(n30)總體均值的檢驗總體均值的檢驗22條件條件檢驗條件量檢驗條件量拒絕域拒絕域h0、h1(1) h0：=0 h1：0(2) h0：