信號與系統(tǒng)(程耕國)上冊課后習題答案

1、信號與系統(tǒng)課后習題答案1.3習題精解1. 判斷下列信號是否是周期的，如果是周期的，求出它的基頻和公共周期。 (1) (2) (3) (4) 解:（1）因此，公共周期,基頻 (2) 因此，公共周期基頻(3) 由于兩個分量的頻率比值是無理數(shù)，因此無法找出公共周期。所以是非周期的。 (4) 兩個分量是同頻率的，基頻 1/p hz。因此，公共周期s。2.指出并證明下列信號中哪些是功率信號，哪些是能量信號，哪些既不是功率信號也不是能量信號。 (1) (2) (3) (4) 解: (1) 波形如題2解圖(a)所示。顯然是功率信號。w題2解圖 (a)題2解圖 (b) (2) 波形如題2解圖(b)所示。顯然是

2、能量信號。 (3) 能量信號 j (4) 功率信號，顯然有 w3. 周期信號如題圖3所示，試計算信號的功率。題3圖解： 周期t=7 ，一個周期的能量為 信號的功率為 w4. 畫出下列信號的波形。 (1) (2) (3) 解：的波形分別如題4解圖（a）、(b)、(c)所示。題4解圖5. 完成下列信號的計算。 (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 解：(1) ；(2) (3) (4) 6. 求下列積分。 (1) ; (2) ;(3) ; (4) 。 解： (1) (2) (因不在積分范圍（-3，6）內(nèi)) (3) (4) 。 （）7.畫出題圖7中的信號的一階導(dǎo)數(shù)波形。題7圖解：的波形分別如

3、題7解圖（a）、(b)、(c)所示。題7解圖8.對于題8圖中的信號，為以下各式作圖。 (1) (2) (3) (4) (5) （偶分量）(6) （奇分量）題8圖解： 各波形如題8解圖所示。題8解圖9.周期信號如題9圖所示，試計算信號的功率。題9圖解： 周期t=7 ， 其能量為信號的功率為 w10.用基本信號或階躍信號表示題10圖中的信號，并求出它們的能量。題10圖 解： (a) ，可以看成三個矩形。能量為 j(b) ，可以看成一個矩形和一個三角形相加。能量為 j(c) ，可以看成一個矩形和兩個三角形相加。能量為 j11. 畫出下列信號的波形。 (1) ; (2) ; (3); (4) ; (5

4、) ; (6) 解：各信號的波形如題11解圖所示。題11解圖12.求下列積分。 (1) ; (2) (3) ; (4) 解： (a) ; (b) (c) (d) 13. 畫出下列各信號的波形。(1) (2) (3) (4) 解：各波形如題13解圖所示。題13解圖題14圖14. 對于題14圖中的信號，為以下各式作圖。 (a) ； (b) ； (c) ； (d) ； (e) （偶分量）； (f) （奇分量）。解： 各波形如題14解圖所示。題14解圖15.求下列函數(shù)的卷積積分（1） ；（2） （3）（4） （5） 現(xiàn)求解如下：（1） ；解：（2） 解：（3）解：（4） 解：（5） 解：16.已知（1

5、）（2）求現(xiàn)求解如下：（1）,求解：把求導(dǎo)2次（2），求解：左式：右式：所以把代入上式，得17已知下列的值，求。（1）（2）現(xiàn)求解如下：（1）解：（2）解：18已知，求。解：當時當時上二式在成立，故得當時19已知，求。解：這里用到性質(zhì)：2.3 習題精解1. 前四個勒讓德(legendre)多項式證明它們在區(qū)間(-1，1)內(nèi)是正交函數(shù)集。解：在區(qū)間(-1，1)內(nèi)，有在(-1，1)區(qū)間內(nèi)滿足( )。它們在區(qū)間(-1，1)內(nèi)是正交函數(shù)集。 2 . 證明(n為正整數(shù))，是在區(qū)間的正交函數(shù)集。它是否是完備的正交函數(shù)集？證明：在區(qū)間內(nèi)，有(n為正整數(shù))是在區(qū)間的正交函數(shù)集。但不是完備的。因為：在正交函數(shù)集

6、(n為正整數(shù))之外，存在函數(shù)滿足： 對于所有的和。3. 題3圖給出沖激序列。求的指數(shù)傅里葉級數(shù)和三角傅里葉級數(shù)。題3圖解： ，因為偶函數(shù)，上述4. (1) 直接用定義求題4圖所示三角波的三角傅里葉級數(shù)。(2) 利用3題的結(jié)果求題2.4圖所示三角波的三角傅里葉級數(shù)。 題4圖解：1）利用直接法求解：；因為信號為去直為奇函數(shù)，所以； ，上述2）利用3題的結(jié)果求解：令則 ，所以5. 已知周期信號的前周期波形如題5圖所示。根據(jù)下列各種情況的要求，畫出在一個周期的波形。(1) 是偶函數(shù)，只含有偶次諧波；(2) 是偶函數(shù)，只含有奇次諧波；(3) 是偶函數(shù)，含有偶次諧波和奇次諧波；(4) 是奇函數(shù)，只含有偶次

7、諧波；(5) 是奇函數(shù)，只含有奇次諧波。(6) 是奇函數(shù)，含有偶次諧波和奇次諧波。 題5圖 解：1）是偶函數(shù)，只含有偶次諧波 2）是偶函數(shù)，只含有奇次諧波 題5圖（a） 題5圖（b）3）是偶函數(shù)，含有偶次諧波和奇次諧波或 題5圖（c） 題5圖（d）4）是奇函數(shù)，只含有偶次諧波 5）是奇函數(shù)，只含有奇次諧波 題5圖（e） 題5圖（f）6. 周期信號的雙邊頻譜如題6圖所示，求其三角函數(shù)表示式。 題6圖解：根據(jù)，求得 7. 已知周期矩形信號及如題7圖所示。求：(1) 的參數(shù)為，則譜線間隔和帶寬為多少？(2) 的參數(shù)為，則譜線間隔和帶寬為多少？(3) 與的基波幅度之比為多少？(4) 基波幅度與的三次諧

8、波幅度之比為多少？題7圖 解：（1） 譜線間隔為或帶寬為或（2） 同理可求：譜線間隔為或帶寬為或（3）（4） 8. 求題8圖所示半波余弦脈沖的傅里葉變換，并畫出頻譜圖。題8圖解：=*=*=9. 計算下列信號的傅里葉變換。(1) (2) (3) (4) (5) 解：（1）=（2）=（3）=（4）（5）因為10. 試分別利用下列幾種方法證明。(1) 利用符號函數(shù)；(2) 利用矩形脈沖取極限；(3) 利用積分定理；(4) 利用單邊指數(shù)函數(shù)取極限解：（1）略（2）（3）略（4） 11. 若的傅里葉變換為，如題11圖所示，求并畫圖。題11圖解：題11解圖12. 已知信號，的波形如題12圖（a）所示，若有

9、信號的波形如題12圖（b）所示。求。 題12圖(a) 題12圖(b)解：13. 若已知，確定下列信號的傅里葉變換：(1) (2) (3)解：（1）（2）-=（3）14. 已知三角脈沖的傅里葉變換為，試用有關(guān)定理求的傅里葉變換。解：*=15. 若已知，確定下列信號的傅里葉變換。(1) (2) (3) (4)解：（1）=（2）-2（3）-2（4）16. 分別利用線性性質(zhì)、時域積分性質(zhì)和時域卷積定理求題16圖所示梯形脈沖的傅里葉變換，并大致畫出情況下該脈沖的頻譜圖。題16圖解：（1）利用線性性質(zhì) -（2）利用時域積分性質(zhì)令則，如題16解圖（a）所示。 （3）當時，圖形如題16解圖（b）所示。題16解

10、圖（a）題16解圖（b）17. 已知階躍信號的傅里葉變換為；正弦、余弦函數(shù)的傅里葉變換為；。求單邊正弦和單邊余弦的傅里葉變換。解：同理可求：18. 求的傅里葉反變換。解：， 另一種解法：19. 求信號的傅氏變換。解：信號周期為：，則， 題19圖20. 信號，若對其進行沖激采樣，求使頻譜不發(fā)生混疊的最低采樣頻率。解：令，則所以21. 有限頻帶信號的最高頻率為100hz，若對下列信號進行時域采樣，求得最小采樣頻率。(1) (2)(3) (4)解：，設(shè)：(1) ，頻域信號擴展，頻帶增大，(2) ，頻域信號擴展，頻帶增大為的兩倍，(3) ，的，的，故有的，(4)，頻帶增大為的兩倍，確，3.1 習題精解

11、1求下列函數(shù)的拉普拉斯變換并注明收斂區(qū)。解：收斂域為。收斂域為。收斂域為。收斂域為。收斂域為。2利用拉普拉斯變換性質(zhì)，求下列信號的拉普拉斯變換。 解： (1) 因為 利用復(fù)頻域微分性質(zhì)，有即 (2)(3)(4)因為 根據(jù)拉普拉斯變換時域頻移性質(zhì)，有3求下列函數(shù)的拉普拉斯反變換。 解： （1）根據(jù)時延性質(zhì)（2）將整理成周期形式又 則是第一周期單個函數(shù)為、周期的周期函數(shù)，所以（3）因為由卷積定理知 其中 所以4用部分分式法求下列函數(shù)的拉普拉斯反變換。 解： （1）由于中，首先用長除法運算得對真分式展開成部分分式其中 則原式為 所以 （2）原式展開成部分分式所以 （3） （4） 5求下列函數(shù)拉普拉斯

12、反變換的初值。 解： （1）（2）由于是有理分式，但不是真分式，利用長除法將其分解為則（3）6求下列函數(shù)拉普拉斯反變換的終值。 解： （1）令，得極點有極點在虛軸上，故不能用終值定理，無終值。（2）因為，的極點均在的左半平面，故滿足終值定理，因此有 7 已知的象函數(shù)為，求其傅里葉變換。解：的收斂坐標，在軸上有一個一階極點，在左半平面有一個一階極點。將展開為部分分式，得由式(3.5-6)得的傅里葉變換為4.3 習題精解1. 求出以下序列的z變換及收斂域。（1） （2）（3） （4）（5） （6）解：（1）zt（2）zt（3）zt（4）zt=1，（5）zt=，（6）zt=2. 求以下序列的z變換及

13、收斂域，并在平面上畫出零-極點分布圖。（1）（2）（3）解：（1） =0，零點為：； =0，極點為：零極點分布圖如題2解圖（a）所示，圖中處的零極點相消。 （2） =零點：，極點：，零極點分布圖如題2解圖（b）所示。（3）令，則，因為 因此得到 極點為：，零點為：；在處的零極點相消，收斂域為：，零極點分布圖如題2解圖（c）所示。 （a） （b） （c）題2解圖3. 已知：求出對應(yīng)的各種可能的序列表達式。解：有兩個極點：，因為收斂域總是以極點為邊界，因此收斂域有以下三種情況：，三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。（1） 當收斂域為時，由收斂域可得原序列為左邊序列。查表4-1可得 （2） 當收斂域為時

14、， 由收斂域可得對應(yīng)的原序列為右邊序列，而對應(yīng)的原序列為左邊序列，查表4-1可得 （3） 當收斂域為時，由收斂域可得原序列為右邊序列。查表4-1可得 4.已知。分別求（1）的z變換；（2）的z變換；（3）的z變換。解：（1），（2），（3），5.已知，分別求：（1）收斂域?qū)?yīng)的原序列；（2）收斂域?qū)?yīng)的原序列。解：有兩個極點：，所以利用部分分式進行展開為：其中所以（1）收斂域?qū)?yīng)的原序列，由收斂域可得對應(yīng)的原序列為左邊序列，而對應(yīng)的原序列為右邊序列，查表4-1可得 （2）收斂域?qū)?yīng)的原序列,由收斂域可得、對應(yīng)的原序列都為右邊序列，查表4-1可得 6.分別用長除法、部分分式法求以下的反變換：（1

15、）（2）解：（1）部分分式法：有兩個極點：，所以利用部分分式進行展開為：所以由收斂域可得原序列為右邊序列，查表4-1可得長除法 （2）部分分式法：有兩個極點：，所以利用部分分式進行展開為：所以由收斂域可得原序列為左邊序列，查表3-2可得長除法08-432-161287.設(shè)確定性實序列的自相關(guān)函數(shù)用下式表示：試用的z變換和傅里葉變換分別表示自相關(guān)函數(shù)的z變換和傅里葉變換。解： 令，則 =或者 =因為是實序列，因此=。8.設(shè)和分別是和的傅里葉變換，試求下列序列的傅里葉變換：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）（9）解：（1） ft=令，則ft=（2） ft=（3） ft=

16、令，則ft=（4） ft=證明 =ft=令，則ft= = =（5） ft = = = =或者 ft=（6） 因為，對該式兩邊對求導(dǎo)，得到ft因此 ft=（7） ft=令，則ft= = = =或者ft=（8） ft=利用（5）題結(jié)果，令，則ft=（9） ft=令，則ft=9.已知求的傅里葉反變換。解：10.線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，如果單位序列響應(yīng)為實序列，試證明的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為解：假設(shè)輸入信號，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為，系統(tǒng)輸出為上式說明，當輸入信號為復(fù)指數(shù)序列時，輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列，且頻率相同，但幅度和相位決定于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)，利用該性質(zhì)解此題。= =上式中是的偶函數(shù)，相位函數(shù)是的奇函數(shù)，即=， =

17、11.試證當為實序列且具有偶對稱或奇對稱時，即或時，頻譜具有線性相位。證明：因為當為實偶序列時，也是實偶函數(shù)，相角為0；當為實奇序列時，為是純虛奇函數(shù)，相角為。12.設(shè)題圖12所示的序列的傅里葉變換用表示，不直接求出，完成下列運算。題12圖（1）；（2）；（3）；（4）確定并畫出傅里葉變換實部的時間序列；（5）；（6）。解：（1） =（2） =（3） =（4）因為傅里葉變換的實部對應(yīng)序列的共軛對稱部分，即=按照上式畫出的波形如題12解圖所示：題12解圖（5）=（6）因為因此 =13.試求如下序列的傅里葉變換。（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）=或者 =14.設(shè)（1）是實偶序列

18、，（2）是實奇序列，分別分析推導(dǎo)在以上兩種假設(shè)下，其的傅里葉變換的性質(zhì)。解：令 （1）是實偶函數(shù)，兩邊取共軛，得到因此上式說明是實序列，具有共軛對稱性質(zhì)。由于是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，那么因此該式說明是實函數(shù)，且是的偶函數(shù)?？偨Y(jié)以上是實偶函數(shù)時，對應(yīng)的傅里葉變換也是實偶函數(shù)。（2）是實奇函數(shù)，上面已經(jīng)推出，由于是實序列，具有共軛對稱性質(zhì)，即由于是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，那么因此該式說明是純虛數(shù)，且是的奇函數(shù)。15.設(shè)，試求的共軛對稱序列和共軛反對稱序列，并分別用圖表示。解： ，和的波形如題15解圖所示。 題15解圖16.設(shè)，分別求出的偶序列和奇序列的傅里葉變換。解： 因為的傅里葉變換對應(yīng)的實部，的傅里葉變

19、換對應(yīng)的虛部乘以j，因此ft=ft=17.若序列是實因果序列，其傅里葉變換的實部如下式求序列及其傅里葉變換。解： 18.若序列是實因果序列，其傅里葉變換的虛部為求序列及其傅里葉變換。解： 19.設(shè)系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)，輸入序列為完成下列各題（1） 求出系統(tǒng)輸出序列；（2） 分別求出、和的傅里葉變換。解：（1）*=+（2） 20.已知，式中，以采樣頻率對進行采樣，得到采樣信號和時域離散信號，試完成下面各題：（1）寫出的傅里葉變換表達式；（2）寫出和的表達式；（3）分別求出的傅里葉變換和的傅里葉變換。解： （1）上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù)函數(shù)，其傅里葉變換可表示成：（2） ，（3

20、） =式中 = =式中 上式推導(dǎo)過程中，指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在，只有引入奇異函數(shù)函數(shù)，才能寫出其傅里葉變換表示式。5.3 習題精解1. 計算以下諸序列的n點dft，在變換區(qū)間內(nèi),序列定義為（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）因為所以（5）時， 時，所以，即2. 已知下列，求。（1）（2）其中，m為正整數(shù)，n為變換區(qū)間長度。解：（1） （2） 3. 長度為n=10的兩個有限長序列 作圖表示、和。循環(huán)卷積區(qū)間長度l=10。解：、和分別如題3解圖（a）、（b）、（c）所示。題3解圖4證明dft的對稱定理，即假設(shè)證明證明： 因為所以 由于 所以 5如果，證明dft的初值定

21、理證明： 由idft定義式可知當時6設(shè)長度n，且，令 ，r為正整數(shù)，求與的關(guān)系式。解： 令 ，則因為 所以7已知長度為n， 求與的關(guān)系。解： 8已知是n點的有限長序列，現(xiàn)將的每兩點之間補進r-1個零值點，得到一個rn點的有限長序列試求的rn點與的關(guān)系。解：由dft的定義得 所以9設(shè),是長為n的有限長序列，證明（1） 如果（2）當n為偶數(shù)時，如果，則證明： （1）證明： （2）10兩個有限長序列和的零值區(qū)間為對每個序列作20點dft，即如果試問在哪些點上，為什么？解：記，而。長度為27，長度為20，二者的關(guān)系為只有在如上周期延拓序列中無混疊的點上，才滿足所以11設(shè)（1）求的4點dft。（2）若是

22、與的4點循環(huán)卷積，求及其4點dft。解：（1）（2）由上式得到12如果是一個周期為n的周期序列，則它也是周期為2n的周期序列，把看作周期為n的周期序列，其dft為，再把看作周期為2n的周期序列，其dft為，試利用確定。解：由dft的定義得 令，則把用代換，把用代換，得 所以 13兩個長為的矩形序列，分別作線形卷積和l=8點的循環(huán)卷積。問循環(huán)卷積的結(jié)果中哪些序列值與線形卷積的結(jié)果相同,并說明理由。 解：題13解圖所示的是兩個長為n=5的矩形序列進行線性卷積和l=8 點的循環(huán)卷積的示意圖?？梢钥闯?，由于循環(huán)卷積的點數(shù)（l=8）比線性卷積的長度2n-1=9少1點，因此在移位為0時，循環(huán)卷積有混疊現(xiàn)象

23、，而在移位為1以后，循環(huán)卷積的混疊現(xiàn)象消失。所以，移位為1至7的循環(huán)卷積的值與線性卷積的值相同。題13解圖14已知序列，對的z變換在單位圓上等間隔采樣n點，采樣值為求有限長序列。解：由于 是以2為周期的周期函數(shù)，所以以n為周期，將看作一周期序列的dfs系數(shù)，則代入由于 所以 由題意知 所以根據(jù)有關(guān)與的周期延拓序列的dfs系數(shù)的關(guān)系有由于，所以因此 15已知復(fù)序列。其中和是實序列。序列的z變換在單位圓的下半部的值為零。求的離散傅里葉變換后一半的值，并說明理由。解：設(shè)n為偶數(shù)，的后一半是指所對應(yīng)的的值。由于，其中， 所以也對應(yīng)于在單位圓下半部等間隔點上的取樣值，因此的后一半的值全為零。16用微處理

24、機對實數(shù)序列作譜分析，要求譜分辨率，信號最高頻率為1khz，試確定以下各參數(shù)：（1）最小記錄時間；（2）最大采樣間隔；（3）最少采樣點數(shù)；（4）在頻帶寬度不變的情況下，將頻率分辨率提高一倍的n值。解：（1）已知，（2）（3）（4）頻帶寬度不變就意味著采樣間隔t不變，應(yīng)該使記錄時間擴大一倍為0.04s實現(xiàn)頻率分辨率提高一倍（f變?yōu)樵瓉淼?/2）17用微處理機對實數(shù)序列作譜分析,要求譜分辨率，信號最高頻率為，試確定以下各參數(shù)：（1）最小記錄時間；（2）最大采樣間隔；（3）最少采樣點數(shù)；（4）在頻帶寬度不變的情況下，將頻率分辨率提高一倍的n值。解：（1）因此（2）因為要求所以（3）（4）在頻帶寬度不

25、變的情況下，將頻率分辨率提高一倍，即18希望利用長度為n=50的fir濾波器對一段很長的數(shù)據(jù)序列進行濾波處理，要求采用重疊保留法通過dft來實現(xiàn)。所謂重疊保留法，就是對輸入序列進行分段（本題設(shè)每段長度為m=100個采樣點），但相鄰兩段必須重疊v個點，然后計算各段與的l點（本題取l=128）循環(huán)卷積，得到輸出序列，m表示第m段計算輸出。最后，從中取出個，使每段取出的個采樣點連接得到濾波輸出。（1）求v；（2）求b；（3）確定取出的b個采樣應(yīng)為中的哪些采樣點。解：為了便于敘述，規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列的序列標號為0，1，2，,127。先以與各段輸入的線性卷積考慮，中，第0點到48點（共49個點）不正確，不能作為濾波輸出，第49點到第99點（共51個點）為正確的濾波輸出序列的一段，即b=51。所以，為了去除前面49個不正確點，取出51個正確的點連續(xù)得到不間斷又無多余點的，必須重疊100-51=49個點，即v=49。下面說明，對128點的循環(huán)卷積，上述結(jié)果也是正確的。我們知道因為長度為n+m-1=50+100-1=149所以從n=20到127區(qū)域， ，當然，第49點到第99點二者亦相等，所以，所取出的第51點為從第49到99點的。綜上所述，總結(jié)所得結(jié)論v=49，b=51選取中第4999點作為濾波輸出。19如果通用計算機的速度為平均每次復(fù)數(shù)乘法需要5，每次復(fù)數(shù)加法需要1，用來計算n