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文檔簡介
1、信號與系統(tǒng)課后習題答案1.3習題精解1. 判斷下列信號是否是周期的,如果是周期的,求出它的基頻和公共周期。 (1) (2) (3) (4) 解:(1)因此,公共周期,基頻 (2) 因此,公共周期基頻(3) 由于兩個分量的頻率比值是無理數(shù),因此無法找出公共周期。所以是非周期的。 (4) 兩個分量是同頻率的,基頻 1/p hz。因此,公共周期s。2.指出并證明下列信號中哪些是功率信號,哪些是能量信號,哪些既不是功率信號也不是能量信號。 (1) (2) (3) (4) 解: (1) 波形如題2解圖(a)所示。顯然是功率信號。w題2解圖 (a)題2解圖 (b) (2) 波形如題2解圖(b)所示。顯然是
2、能量信號。 (3) 能量信號 j (4) 功率信號,顯然有 w3. 周期信號如題圖3所示,試計算信號的功率。題3圖解: 周期t=7 ,一個周期的能量為 信號的功率為 w4. 畫出下列信號的波形。 (1) (2) (3) 解:的波形分別如題4解圖(a)、(b)、(c)所示。題4解圖5. 完成下列信號的計算。 (1) ; (2) ; (3) ; (4) 。 解:(1) ;(2) (3) (4) 6. 求下列積分。 (1) ; (2) ;(3) ; (4) 。 解: (1) (2) (因不在積分范圍(-3,6)內(nèi)) (3) (4) 。 ()7.畫出題圖7中的信號的一階導(dǎo)數(shù)波形。題7圖解:的波形分別如
3、題7解圖(a)、(b)、(c)所示。題7解圖8.對于題8圖中的信號,為以下各式作圖。 (1) (2) (3) (4) (5) (偶分量)(6) (奇分量)題8圖解: 各波形如題8解圖所示。題8解圖9.周期信號如題9圖所示,試計算信號的功率。題9圖解: 周期t=7 , 其能量為信號的功率為 w10.用基本信號或階躍信號表示題10圖中的信號,并求出它們的能量。題10圖 解: (a) ,可以看成三個矩形。能量為 j(b) ,可以看成一個矩形和一個三角形相加。能量為 j(c) ,可以看成一個矩形和兩個三角形相加。能量為 j11. 畫出下列信號的波形。 (1) ; (2) ; (3); (4) ; (5
4、) ; (6) 解:各信號的波形如題11解圖所示。題11解圖12.求下列積分。 (1) ; (2) (3) ; (4) 解: (a) ; (b) (c) (d) 13. 畫出下列各信號的波形。(1) (2) (3) (4) 解:各波形如題13解圖所示。題13解圖題14圖14. 對于題14圖中的信號,為以下各式作圖。 (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) (偶分量); (f) (奇分量)。解: 各波形如題14解圖所示。題14解圖15.求下列函數(shù)的卷積積分(1) ;(2) (3)(4) (5) 現(xiàn)求解如下:(1) ;解:(2) 解:(3)解:(4) 解:(5) 解:16.已知(1
5、)(2)求現(xiàn)求解如下:(1),求解:把求導(dǎo)2次(2),求解:左式:右式:所以把代入上式,得17已知下列的值,求。(1)(2)現(xiàn)求解如下:(1)解:(2)解:18已知,求。解:當時當時上二式在成立,故得當時19已知,求。解:這里用到性質(zhì):2.3 習題精解1. 前四個勒讓德(legendre)多項式證明它們在區(qū)間(-1,1)內(nèi)是正交函數(shù)集。解:在區(qū)間(-1,1)內(nèi),有在(-1,1)區(qū)間內(nèi)滿足( )。它們在區(qū)間(-1,1)內(nèi)是正交函數(shù)集。 2 . 證明(n為正整數(shù)),是在區(qū)間的正交函數(shù)集。它是否是完備的正交函數(shù)集?證明:在區(qū)間內(nèi),有(n為正整數(shù))是在區(qū)間的正交函數(shù)集。但不是完備的。因為:在正交函數(shù)集
6、(n為正整數(shù))之外,存在函數(shù)滿足: 對于所有的和。3. 題3圖給出沖激序列。求的指數(shù)傅里葉級數(shù)和三角傅里葉級數(shù)。題3圖解: ,因為偶函數(shù),上述4. (1) 直接用定義求題4圖所示三角波的三角傅里葉級數(shù)。(2) 利用3題的結(jié)果求題2.4圖所示三角波的三角傅里葉級數(shù)。 題4圖解:1)利用直接法求解:;因為信號為去直為奇函數(shù),所以; ,上述2)利用3題的結(jié)果求解:令則 ,所以5. 已知周期信號的前周期波形如題5圖所示。根據(jù)下列各種情況的要求,畫出在一個周期的波形。(1) 是偶函數(shù),只含有偶次諧波;(2) 是偶函數(shù),只含有奇次諧波;(3) 是偶函數(shù),含有偶次諧波和奇次諧波;(4) 是奇函數(shù),只含有偶次
7、諧波;(5) 是奇函數(shù),只含有奇次諧波。(6) 是奇函數(shù),含有偶次諧波和奇次諧波。 題5圖 解:1)是偶函數(shù),只含有偶次諧波 2)是偶函數(shù),只含有奇次諧波 題5圖(a) 題5圖(b)3)是偶函數(shù),含有偶次諧波和奇次諧波或 題5圖(c) 題5圖(d)4)是奇函數(shù),只含有偶次諧波 5)是奇函數(shù),只含有奇次諧波 題5圖(e) 題5圖(f)6. 周期信號的雙邊頻譜如題6圖所示,求其三角函數(shù)表示式。 題6圖解:根據(jù),求得 7. 已知周期矩形信號及如題7圖所示。求:(1) 的參數(shù)為,則譜線間隔和帶寬為多少?(2) 的參數(shù)為,則譜線間隔和帶寬為多少?(3) 與的基波幅度之比為多少?(4) 基波幅度與的三次諧
8、波幅度之比為多少?題7圖 解:(1) 譜線間隔為或帶寬為或(2) 同理可求:譜線間隔為或帶寬為或(3)(4) 8. 求題8圖所示半波余弦脈沖的傅里葉變換,并畫出頻譜圖。題8圖解:=*=*=9. 計算下列信號的傅里葉變換。(1) (2) (3) (4) (5) 解:(1)=(2)=(3)=(4)(5)因為10. 試分別利用下列幾種方法證明。(1) 利用符號函數(shù);(2) 利用矩形脈沖取極限;(3) 利用積分定理;(4) 利用單邊指數(shù)函數(shù)取極限解:(1)略(2)(3)略(4) 11. 若的傅里葉變換為,如題11圖所示,求并畫圖。題11圖解:題11解圖12. 已知信號,的波形如題12圖(a)所示,若有
9、信號的波形如題12圖(b)所示。求。 題12圖(a) 題12圖(b)解:13. 若已知,確定下列信號的傅里葉變換:(1) (2) (3)解:(1)(2)-=(3)14. 已知三角脈沖的傅里葉變換為,試用有關(guān)定理求的傅里葉變換。解:*=15. 若已知,確定下列信號的傅里葉變換。(1) (2) (3) (4)解:(1)=(2)-2(3)-2(4)16. 分別利用線性性質(zhì)、時域積分性質(zhì)和時域卷積定理求題16圖所示梯形脈沖的傅里葉變換,并大致畫出情況下該脈沖的頻譜圖。題16圖解:(1)利用線性性質(zhì) -(2)利用時域積分性質(zhì)令則,如題16解圖(a)所示。 (3)當時,圖形如題16解圖(b)所示。題16解
10、圖(a)題16解圖(b)17. 已知階躍信號的傅里葉變換為;正弦、余弦函數(shù)的傅里葉變換為;。求單邊正弦和單邊余弦的傅里葉變換。解:同理可求:18. 求的傅里葉反變換。解:, 另一種解法:19. 求信號的傅氏變換。解:信號周期為:,則, 題19圖20. 信號,若對其進行沖激采樣,求使頻譜不發(fā)生混疊的最低采樣頻率。解:令,則所以21. 有限頻帶信號的最高頻率為100hz,若對下列信號進行時域采樣,求得最小采樣頻率。(1) (2)(3) (4)解:,設(shè):(1) ,頻域信號擴展,頻帶增大,(2) ,頻域信號擴展,頻帶增大為的兩倍,(3) ,的,的,故有的,(4),頻帶增大為的兩倍,確,3.1 習題精解
11、1求下列函數(shù)的拉普拉斯變換并注明收斂區(qū)。解:收斂域為。收斂域為。收斂域為。收斂域為。收斂域為。2利用拉普拉斯變換性質(zhì),求下列信號的拉普拉斯變換。 解: (1) 因為 利用復(fù)頻域微分性質(zhì),有即 (2)(3)(4)因為 根據(jù)拉普拉斯變換時域頻移性質(zhì),有3求下列函數(shù)的拉普拉斯反變換。 解: (1)根據(jù)時延性質(zhì)(2)將整理成周期形式又 則是第一周期單個函數(shù)為、周期的周期函數(shù),所以(3)因為由卷積定理知 其中 所以4用部分分式法求下列函數(shù)的拉普拉斯反變換。 解: (1)由于中,首先用長除法運算得對真分式展開成部分分式其中 則原式為 所以 (2)原式展開成部分分式所以 (3) (4) 5求下列函數(shù)拉普拉斯
12、反變換的初值。 解: (1)(2)由于是有理分式,但不是真分式,利用長除法將其分解為則(3)6求下列函數(shù)拉普拉斯反變換的終值。 解: (1)令,得極點有極點在虛軸上,故不能用終值定理,無終值。(2)因為,的極點均在的左半平面,故滿足終值定理,因此有 7 已知的象函數(shù)為,求其傅里葉變換。解:的收斂坐標,在軸上有一個一階極點,在左半平面有一個一階極點。將展開為部分分式,得由式(3.5-6)得的傅里葉變換為4.3 習題精解1. 求出以下序列的z變換及收斂域。(1) (2)(3) (4)(5) (6)解:(1)zt(2)zt(3)zt(4)zt=1,(5)zt=,(6)zt=2. 求以下序列的z變換及
13、收斂域,并在平面上畫出零-極點分布圖。(1)(2)(3)解:(1) =0,零點為:; =0,極點為:零極點分布圖如題2解圖(a)所示,圖中處的零極點相消。 (2) =零點:,極點:,零極點分布圖如題2解圖(b)所示。(3)令,則,因為 因此得到 極點為:,零點為:;在處的零極點相消,收斂域為:,零極點分布圖如題2解圖(c)所示。 (a) (b) (c)題2解圖3. 已知:求出對應(yīng)的各種可能的序列表達式。解:有兩個極點:,因為收斂域總是以極點為邊界,因此收斂域有以下三種情況:,三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。(1) 當收斂域為時,由收斂域可得原序列為左邊序列。查表4-1可得 (2) 當收斂域為時
14、, 由收斂域可得對應(yīng)的原序列為右邊序列,而對應(yīng)的原序列為左邊序列,查表4-1可得 (3) 當收斂域為時,由收斂域可得原序列為右邊序列。查表4-1可得 4.已知。分別求(1)的z變換;(2)的z變換;(3)的z變換。解:(1),(2),(3),5.已知,分別求:(1)收斂域?qū)?yīng)的原序列;(2)收斂域?qū)?yīng)的原序列。解:有兩個極點:,所以利用部分分式進行展開為:其中所以(1)收斂域?qū)?yīng)的原序列,由收斂域可得對應(yīng)的原序列為左邊序列,而對應(yīng)的原序列為右邊序列,查表4-1可得 (2)收斂域?qū)?yīng)的原序列,由收斂域可得、對應(yīng)的原序列都為右邊序列,查表4-1可得 6.分別用長除法、部分分式法求以下的反變換:(1
15、)(2)解:(1)部分分式法:有兩個極點:,所以利用部分分式進行展開為:所以由收斂域可得原序列為右邊序列,查表4-1可得長除法 (2)部分分式法:有兩個極點:,所以利用部分分式進行展開為:所以由收斂域可得原序列為左邊序列,查表3-2可得長除法08-432-161287.設(shè)確定性實序列的自相關(guān)函數(shù)用下式表示:試用的z變換和傅里葉變換分別表示自相關(guān)函數(shù)的z變換和傅里葉變換。解: 令,則 =或者 =因為是實序列,因此=。8.設(shè)和分別是和的傅里葉變換,試求下列序列的傅里葉變換:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)(9)解:(1) ft=令,則ft=(2) ft=(3) ft=
16、令,則ft=(4) ft=證明 =ft=令,則ft= = =(5) ft = = = =或者 ft=(6) 因為,對該式兩邊對求導(dǎo),得到ft因此 ft=(7) ft=令,則ft= = = =或者ft=(8) ft=利用(5)題結(jié)果,令,則ft=(9) ft=令,則ft=9.已知求的傅里葉反變換。解:10.線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng),如果單位序列響應(yīng)為實序列,試證明的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為解:假設(shè)輸入信號,系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為,系統(tǒng)輸出為上式說明,當輸入信號為復(fù)指數(shù)序列時,輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列,且頻率相同,但幅度和相位決定于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù),利用該性質(zhì)解此題。= =上式中是的偶函數(shù),相位函數(shù)是的奇函數(shù),即=, =
17、11.試證當為實序列且具有偶對稱或奇對稱時,即或時,頻譜具有線性相位。證明:因為當為實偶序列時,也是實偶函數(shù),相角為0;當為實奇序列時,為是純虛奇函數(shù),相角為。12.設(shè)題圖12所示的序列的傅里葉變換用表示,不直接求出,完成下列運算。題12圖(1);(2);(3);(4)確定并畫出傅里葉變換實部的時間序列;(5);(6)。解:(1) =(2) =(3) =(4)因為傅里葉變換的實部對應(yīng)序列的共軛對稱部分,即=按照上式畫出的波形如題12解圖所示:題12解圖(5)=(6)因為因此 =13.試求如下序列的傅里葉變換。(1)(2)(3)(4)解:(1)(2)(3)(4)=或者 =14.設(shè)(1)是實偶序列
18、,(2)是實奇序列,分別分析推導(dǎo)在以上兩種假設(shè)下,其的傅里葉變換的性質(zhì)。解:令 (1)是實偶函數(shù),兩邊取共軛,得到因此上式說明是實序列,具有共軛對稱性質(zhì)。由于是偶函數(shù),是奇函數(shù),那么因此該式說明是實函數(shù),且是的偶函數(shù)??偨Y(jié)以上是實偶函數(shù)時,對應(yīng)的傅里葉變換也是實偶函數(shù)。(2)是實奇函數(shù),上面已經(jīng)推出,由于是實序列,具有共軛對稱性質(zhì),即由于是奇函數(shù),是奇函數(shù),那么因此該式說明是純虛數(shù),且是的奇函數(shù)。15.設(shè),試求的共軛對稱序列和共軛反對稱序列,并分別用圖表示。解: ,和的波形如題15解圖所示。 題15解圖16.設(shè),分別求出的偶序列和奇序列的傅里葉變換。解: 因為的傅里葉變換對應(yīng)的實部,的傅里葉變
19、換對應(yīng)的虛部乘以j,因此ft=ft=17.若序列是實因果序列,其傅里葉變換的實部如下式求序列及其傅里葉變換。解: 18.若序列是實因果序列,其傅里葉變換的虛部為求序列及其傅里葉變換。解: 19.設(shè)系統(tǒng)的單位序列響應(yīng),輸入序列為完成下列各題(1) 求出系統(tǒng)輸出序列;(2) 分別求出、和的傅里葉變換。解:(1)*=+(2) 20.已知,式中,以采樣頻率對進行采樣,得到采樣信號和時域離散信號,試完成下面各題:(1)寫出的傅里葉變換表達式;(2)寫出和的表達式;(3)分別求出的傅里葉變換和的傅里葉變換。解: (1)上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在,引入奇異函數(shù)函數(shù),其傅里葉變換可表示成:(2) ,(3
20、) =式中 = =式中 上式推導(dǎo)過程中,指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在,只有引入奇異函數(shù)函數(shù),才能寫出其傅里葉變換表示式。5.3 習題精解1. 計算以下諸序列的n點dft,在變換區(qū)間內(nèi),序列定義為(1)(2)(3)(4)(5)解:(1)(2)(3)(4)因為所以(5)時, 時,所以,即2. 已知下列,求。(1)(2)其中,m為正整數(shù),n為變換區(qū)間長度。解:(1) (2) 3. 長度為n=10的兩個有限長序列 作圖表示、和。循環(huán)卷積區(qū)間長度l=10。解:、和分別如題3解圖(a)、(b)、(c)所示。題3解圖4證明dft的對稱定理,即假設(shè)證明證明: 因為所以 由于 所以 5如果,證明dft的初值定
21、理證明: 由idft定義式可知當時6設(shè)長度n,且,令 ,r為正整數(shù),求與的關(guān)系式。解: 令 ,則因為 所以7已知長度為n, 求與的關(guān)系。解: 8已知是n點的有限長序列,現(xiàn)將的每兩點之間補進r-1個零值點,得到一個rn點的有限長序列試求的rn點與的關(guān)系。解:由dft的定義得 所以9設(shè),是長為n的有限長序列,證明(1) 如果(2)當n為偶數(shù)時,如果,則證明: (1)證明: (2)10兩個有限長序列和的零值區(qū)間為對每個序列作20點dft,即如果試問在哪些點上,為什么?解:記,而。長度為27,長度為20,二者的關(guān)系為只有在如上周期延拓序列中無混疊的點上,才滿足所以11設(shè)(1)求的4點dft。(2)若是
22、與的4點循環(huán)卷積,求及其4點dft。解:(1)(2)由上式得到12如果是一個周期為n的周期序列,則它也是周期為2n的周期序列,把看作周期為n的周期序列,其dft為,再把看作周期為2n的周期序列,其dft為,試利用確定。解:由dft的定義得 令,則把用代換,把用代換,得 所以 13兩個長為的矩形序列,分別作線形卷積和l=8點的循環(huán)卷積。問循環(huán)卷積的結(jié)果中哪些序列值與線形卷積的結(jié)果相同,并說明理由。 解:題13解圖所示的是兩個長為n=5的矩形序列進行線性卷積和l=8 點的循環(huán)卷積的示意圖??梢钥闯?,由于循環(huán)卷積的點數(shù)(l=8)比線性卷積的長度2n-1=9少1點,因此在移位為0時,循環(huán)卷積有混疊現(xiàn)象
23、,而在移位為1以后,循環(huán)卷積的混疊現(xiàn)象消失。所以,移位為1至7的循環(huán)卷積的值與線性卷積的值相同。題13解圖14已知序列,對的z變換在單位圓上等間隔采樣n點,采樣值為求有限長序列。解:由于 是以2為周期的周期函數(shù),所以以n為周期,將看作一周期序列的dfs系數(shù),則代入由于 所以 由題意知 所以根據(jù)有關(guān)與的周期延拓序列的dfs系數(shù)的關(guān)系有由于,所以因此 15已知復(fù)序列。其中和是實序列。序列的z變換在單位圓的下半部的值為零。求的離散傅里葉變換后一半的值,并說明理由。解:設(shè)n為偶數(shù),的后一半是指所對應(yīng)的的值。由于,其中, 所以也對應(yīng)于在單位圓下半部等間隔點上的取樣值,因此的后一半的值全為零。16用微處理
24、機對實數(shù)序列作譜分析,要求譜分辨率,信號最高頻率為1khz,試確定以下各參數(shù):(1)最小記錄時間;(2)最大采樣間隔;(3)最少采樣點數(shù);(4)在頻帶寬度不變的情況下,將頻率分辨率提高一倍的n值。解:(1)已知,(2)(3)(4)頻帶寬度不變就意味著采樣間隔t不變,應(yīng)該使記錄時間擴大一倍為0.04s實現(xiàn)頻率分辨率提高一倍(f變?yōu)樵瓉淼?/2)17用微處理機對實數(shù)序列作譜分析,要求譜分辨率,信號最高頻率為,試確定以下各參數(shù):(1)最小記錄時間;(2)最大采樣間隔;(3)最少采樣點數(shù);(4)在頻帶寬度不變的情況下,將頻率分辨率提高一倍的n值。解:(1)因此(2)因為要求所以(3)(4)在頻帶寬度不
25、變的情況下,將頻率分辨率提高一倍,即18希望利用長度為n=50的fir濾波器對一段很長的數(shù)據(jù)序列進行濾波處理,要求采用重疊保留法通過dft來實現(xiàn)。所謂重疊保留法,就是對輸入序列進行分段(本題設(shè)每段長度為m=100個采樣點),但相鄰兩段必須重疊v個點,然后計算各段與的l點(本題取l=128)循環(huán)卷積,得到輸出序列,m表示第m段計算輸出。最后,從中取出個,使每段取出的個采樣點連接得到濾波輸出。(1)求v;(2)求b;(3)確定取出的b個采樣應(yīng)為中的哪些采樣點。解:為了便于敘述,規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列的序列標號為0,1,2,,127。先以與各段輸入的線性卷積考慮,中,第0點到48點(共49個點)不正確,不能作為濾波輸出,第49點到第99點(共51個點)為正確的濾波輸出序列的一段,即b=51。所以,為了去除前面49個不正確點,取出51個正確的點連續(xù)得到不間斷又無多余點的,必須重疊100-51=49個點,即v=49。下面說明,對128點的循環(huán)卷積,上述結(jié)果也是正確的。我們知道因為長度為n+m-1=50+100-1=149所以從n=20到127區(qū)域, ,當然,第49點到第99點二者亦相等,所以,所取出的第51點為從第49到99點的。綜上所述,總結(jié)所得結(jié)論v=49,b=51選取中第4999點作為濾波輸出。19如果通用計算機的速度為平均每次復(fù)數(shù)乘法需要5,每次復(fù)數(shù)加法需要1,用來計算n
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