2021屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型練7大題專項(xiàng)五解析幾何綜合問題理含解析

1、題型練7大題專項(xiàng)(五)解析幾何綜合問題題型練第70頁一、解答題1.(2020全國,理19)已知橢圓c1:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn)f與拋物線c2的焦點(diǎn)重合,c1的中心與c2的頂點(diǎn)重合.過f且與x軸垂直的直線交c1于a,b兩點(diǎn),交c2于c,d兩點(diǎn),且|cd|=43|ab|.(1)求c1的離心率;(2)設(shè)m是c1與c2的公共點(diǎn).若|mf|=5,求c1與c2的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：(1)由已知可設(shè)c2的方程為y2=4cx,其中c=a2-b2.不妨設(shè)a,c在第一象限,由題設(shè)得a,b的縱坐標(biāo)分別為b2a,-b2a;c,d的縱坐標(biāo)分別為2c,-2c,故|ab|=2b2a,|cd|=4c.由|cd|=

2、43|ab|得4c=8b23a,即3ca=2-2ca2,解得ca=-2(舍去),ca=12.所以c1的離心率為12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,故c1:x24c2+y23c2=1.設(shè)m(x0,y0),則x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x03c=1.由于c2的準(zhǔn)線為x=-c,所以|mf|=x0+c,而|mf|=5,故x0=5-c,代入得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3.所以c1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x236+y227=1,c2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x.2.已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)經(jīng)過

3、點(diǎn)1,32,離心率為32.(1)求橢圓c的方程;(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓c交于a,b兩點(diǎn),以ab為直徑的圓過原點(diǎn),且線段ab的垂直平分線交y軸于點(diǎn)p0,-32,求直線l的方程.解：(1)由題意得ca=32,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.故橢圓c的方程是x24+y2=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),聯(lián)立y=kx+t,x24+y2=1,消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,則有x1+x2=-8kt1+4k2,x1x2=4t2-41+4k2.04k2+1t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k

4、(x1+x2)+2t=2t1+4k2,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k24t2-41+4k2+kt-8kt1+4k2+t2=t2-4k21+4k2.因?yàn)橐詀b為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),所以oaob,x1x2+y1y2=0.因?yàn)閤1x2+y1y2=4t2-41+4k2+t2-4k21+4k2=0,所以5t2=4+4k2.因?yàn)?,所以4k2+1t2,解得t32.又設(shè)a,b的中點(diǎn)為d(m,n),則m=x1+x22=-4kt1+4k2,n=y1+y22=t1+4k2.因?yàn)橹本€pd與直線l垂直,所以kpd=-1k=-32-n-m,得t1+4k2=12.由t1

5、+4k2=12,5t2=4+4k2,解得t1=1,t2=-35.當(dāng)t=-35時,0不成立.當(dāng)t=1時,k=12,所以直線l的方程為y=12x+1或y=-12x+1.3.(2020全國,理20)已知a,b分別為橢圓e:x2a2+y2=1(a1)的左、右頂點(diǎn),g為e的上頂點(diǎn),aggb=8.p為直線x=6上的動點(diǎn),pa與e的另一交點(diǎn)為c,pb與e的另一交點(diǎn)為d.(1)求e的方程;(2)證明:直線cd過定點(diǎn).答案：(1)解由題設(shè)得點(diǎn)a(-a,0),b(a,0),g(0,1).則ag=(a,1),gb=(a,-1).由aggb=8得a2-1=8,即a=3.所以e的方程為x29+y2=1.(2)證明設(shè)c(

6、x1,y1),d(x2,y2),p(6,t).若t0,設(shè)直線cd的方程為x=my+n,由題意可知-3n0,解得k0或0kb0)的離心率為12,且圓x2+y2-2x-3y=0的圓心在橢圓c上.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線y=mx+n與橢圓c只有一個公共點(diǎn)m,且與直線x=4相交于點(diǎn)n,問x軸上是否存在點(diǎn)p,使得以mn為直徑的圓恒過點(diǎn)p?若存在,求出點(diǎn)p的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解：(1)由e=12(其中e為橢圓c的離心率),得a2-b2a2=1-b2a2=12,即3a2=4b2.又圓x2+y2-2x-3y=0的圓心為1,32在橢圓c上,所以1a2+94b2=1.聯(lián)立3a2=4b2,1a2+94b2=1,解得a2=4,b2=3.故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.(2)聯(lián)立y=mx+n,x24+y23=1,消去y,整理得(3+4m2)x2+8mnx+4n2-12=0.因?yàn)橹本€y=mx+n與橢圓c只有一個公共點(diǎn)m,所以=64m2n2-4(3+4m2)(4n2-12)=0,即n2=3+4m2.設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為(xm,ym),則xm=-4mn3+4m2=-4mn,ym=mxm+n=3n,即m-4mn,3n.假設(shè)x軸上存在點(diǎn)p(t,0),使得以mn為直徑的圓恒過點(diǎn)p.因?yàn)辄c(diǎn)n(4,4m+n),所以pm=-4mn-t,3n,pn=(4-t