“準(zhǔn)對(duì)稱”函數(shù)問題的本源與化解

1、“準(zhǔn)對(duì)稱”函數(shù)問題的本源與化解 一、“準(zhǔn)對(duì)稱”函數(shù)概念的引入 我們知道，若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則有f（a-x）=f（a+x）（或f（x）=f（2a-x）.倘若引入二元變量x1，x2后，該命題又可表述為：若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則x1+x2=2af（x1）=f（x2）.比如常見的二次函數(shù)就具備了上述典型特征. 假設(shè)上述對(duì)稱函數(shù)y=f（x）在直線x=a某一側(cè)的圖象發(fā)生了偏轉(zhuǎn)或改變，此時(shí)得到新的函數(shù)y=g（x）的圖象必然呈現(xiàn)非軸對(duì)稱狀態(tài)，于是就有：若x1+x2=2a，則g（x1）g（x2）；若g（x1）=g（x2），則x1+x22a（即x1+x22a或x1+

2、x2 同理，若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）中心對(duì)稱，則有f（a-x）+f（a+x）=2b（或f（x）+f（2a-x）=2b）.倘若引入二元變量x1，x2后，該命題又可表述為：若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）中心對(duì)稱，則x1+x2=2af（x1）+f（x2）=2b.比如常見的正、反比例函數(shù)、三次函數(shù)等就具備了上述典型特征. 類似地，假設(shè)上述對(duì)稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（a，b）某一側(cè)的圖象發(fā)生了偏轉(zhuǎn)或改變，此時(shí)得到新的函數(shù)y=g（x）的圖象必然呈現(xiàn)非中心對(duì)稱狀態(tài)，于是就有：若x1+x2=2a，則g（x1）+g（x2）2b；若g（x1）+g（x2）=2b，則x1+x22a（即x1+x

3、22a或x1+x2 中學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)常需要研究非對(duì)稱函數(shù)的圖象特征或數(shù)量關(guān)系，為了形象貼切、便于參照理解，我們有時(shí)可將某些非對(duì)稱函數(shù)“近似地”當(dāng)作“準(zhǔn)對(duì)稱”進(jìn)行研究.比如，類比對(duì)稱函數(shù)圖象特征不妨引入以下“準(zhǔn)對(duì)稱”函數(shù)的相關(guān)概念： 若函數(shù)y=f（x）僅在x=a處取得極值，則直線x=a可視作y=f（x）的“準(zhǔn)對(duì)稱軸”； 類似地，若點(diǎn)（a，f（a）是單調(diào)函數(shù)y=f（x）的拐點(diǎn)（凸曲線與凹曲線的連接點(diǎn)），則點(diǎn)（a，f（a）可視作y=f（x）的“準(zhǔn)對(duì)稱中心”. 二、“準(zhǔn)對(duì)稱”函數(shù)問題的化解 基于對(duì)稱函數(shù)存在著等量關(guān)系的特性，非對(duì)稱函數(shù)相應(yīng)存在著不等關(guān)系的數(shù)量特征，因而在非對(duì)稱函數(shù)中蘊(yùn)含了許多豐富的不等式問題

4、、變量取值范圍問題，近年來很多高考或質(zhì)檢的函數(shù)壓軸試題經(jīng)常以此為素材，綜合考查同學(xué)們的創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).非對(duì)稱函數(shù)問題若能參照對(duì)稱函數(shù)問題在“準(zhǔn)對(duì)稱”的狀態(tài)下進(jìn)行合理對(duì)照遷移，便可使我們清晰順暢地追溯數(shù)學(xué)命題的本源，有利于我們把握數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)和關(guān)鍵所在，從而找準(zhǔn)解題的切入點(diǎn). 例1（2010天津理數(shù)）已知函數(shù)f（x）=xe-x（xr）. （1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （2）已知函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，證明當(dāng)x1時(shí)，f（x）g（x）； （3）如果x1x2，且f（x1）=f（x2），證明x1+x22. 解析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研

5、究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力.第（1）小題由f（x）=（1-x）e-x可得：f（x）的遞增區(qū)間為（-，1），遞減區(qū)間為（1，+），故其在x=1處取得極大值f（1）=1e；第（2）小題關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)f（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明f（x）0在（1，+）上恒成立；第（3）小題只要利用第（2）小題的不等式模型結(jié)合第（1）小題的函數(shù)單調(diào)性即可得證. 然而，對(duì)于這樣一道典型的高考試題不應(yīng)僅停留在就題解題上，假如本題沒有第（2）小題作鋪墊提示，恐怕第（3）小題很多人就無從下手了；但有了第（2）小題，則第（3）小題純粹只剩下代換轉(zhuǎn)化、變形整理等基本工

6、作了.對(duì)于本題解答大多同學(xué)都是似懂非懂、云里霧里的被動(dòng)接受.老師認(rèn)為：掌握本題的關(guān)鍵應(yīng)在于弄清問題產(chǎn)生的背景，實(shí)際上我們由第（1）小題結(jié)果以及函數(shù)值的符號(hào)、趨勢(shì)，不難勾勒出函數(shù)f（x）=xe-x的圖象（如圖），圖中直線x=1是函數(shù)f（x）=xe-x的“準(zhǔn)對(duì)稱軸”，由于“準(zhǔn)對(duì)稱軸”兩邊增減幅度不同，當(dāng)f（x1）=f（x2）時(shí)，可直觀得到：x1+x22，這就是第（2）、（3）小題的問題來源. 下面我們從代數(shù)角度分析證明思路：（根據(jù)已知條件，不妨預(yù)設(shè)x1（0，1），x2（1，+）. x1+x22x12-x2（注意到x1，2-x2均小于1） f（x1）f（2-x2）（f（x）在（-，1）上單調(diào)遞增）

7、f（x2）f（2-x2）（已知f（x1）=f（x2） f（x）f（2-x）在（1，+）上成立 f（x）=f（x）-f（2-x）0在（1，+）上成立. 于是解決問題的切入點(diǎn)轉(zhuǎn)為常規(guī)的構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式恒成立問題. 點(diǎn)評(píng)：這種對(duì)照函數(shù)圖象分析問題的方式或許更為自然合理、形象直觀，尤其是對(duì)第（1）、（2）小題的設(shè)置緣由變得更加明朗清晰，從而讓同學(xué)們站在更高層面審視數(shù)學(xué)問題的來龍去脈，同時(shí)也使本題解法更具主動(dòng)性、深刻性和廣闊性！另外，用“準(zhǔn)對(duì)稱”眼光看待函數(shù)圖象，讓普通的非對(duì)稱函數(shù)曲線不再枯燥生硬，變得更為親切貼近、更具美感靈氣！ 例2（2011年遼寧理21）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax

8、2+（2-a）x. （1）討論f（x）的單調(diào)性； （2）設(shè)a0，證明：當(dāng)0 f（1a+x）f（1a-x）； （3）若函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于a，b兩點(diǎn)，線段ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f（x0） 解析：本題與例1有著異曲同工之妙！ 先由f（x）=1x-2ax+2-a=-（2x+1）（ax-1）x（x0）得到：i）若a0，則f（x）0，所以f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增； ii）若a0，f（x）在（0，1a）上單調(diào)遞增；在（1a，+）上單調(diào)遞減. 結(jié)合函數(shù)定義域及函數(shù)值變化趨勢(shì)作出f（x）的示意圖： 當(dāng)a0，圖中直線x=1a是函數(shù)f（x）的“準(zhǔn)對(duì)稱軸”，由“準(zhǔn)對(duì)稱軸”兩邊增減幅度不同，

9、可先直觀“承認(rèn)”第（2）小題中的不等關(guān)系，進(jìn)而得到第（3）小題中兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（00）中便可得f（x0） 于是第（3）小題可由第（2）小題中的結(jié)論等價(jià)得到：f（2a-x1）f（x1）=f（x2），再結(jié)合f（x）在（1a，+）上單調(diào)遞減證得x1+x22a，以此入手便可實(shí)現(xiàn)本題證明. 例3已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，a為常數(shù). （1）討論f（x）的單調(diào)性； （2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，試證明：x1x2e2. 解析：本題第（2）小題原始解答十分繁瑣，讓人摸不透問題的主線.其實(shí)由（1）求得： i）若a0，則f（x）0，所以f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增； ii）若a0，f（x）在

10、（0，1a）上單調(diào)遞增；在（1a，+）上單調(diào)遞減. 當(dāng)f（1a）0即02a，即ax1+ax22. 再根據(jù)f（x1）=f（x2）=0替換為lnx1+lnx22，從而得到x1x2e2. 點(diǎn)評(píng)：從上述高考典例可以看出：借助圖形直觀以及“準(zhǔn)對(duì)稱”的觀點(diǎn)，可讓我們形象感知數(shù)量不等關(guān)系在“準(zhǔn)對(duì)稱”函數(shù)模型中的客觀存在和解題意義，大大降低了思維的抽象性和問題的門檻，并且這種“準(zhǔn)對(duì)稱”函數(shù)問題在近年高考函數(shù)壓軸題型中嶄露頭角，方興未艾，應(yīng)引起我們足夠的重視和關(guān)注！ 例4已知函數(shù)f（x）=lnx+12x2-2x+32. （1）若f（x1）=f（x2），求x1+x2的取值范圍； （2）若x1+x2=2，試判斷f（

11、x1）+f（x2）的符號(hào)； （3）若f（x1）+f（x2）=0，求x1+x2的取值范圍. 解析：由f（x）=1x+x-2=（x-1）2x0得函數(shù)f（x）在定義域（0，+）上單調(diào)遞增，且注意到f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+）上單調(diào)遞增，于是函數(shù)f（x）的圖象在（0，1）上呈上凸，在（1，+）上呈下凸，點(diǎn)p（1，0）是拐點(diǎn)（如圖）.類似的，點(diǎn)p（1，0）是函數(shù)f（x）的“準(zhǔn)對(duì)稱中心”，由于點(diǎn)p（1，0）左右兩邊增速不同，可憑圖形直觀得到： 若x1+x2=2，則f（x1）+f（x2）0（當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”）； 若f（x1）+f（x2）=0，則x1+x22（當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”）. 據(jù)此，可猜想第（3）小題中x1+x2的取值范圍為2，+）.理由可類比例1分析如下： （根據(jù)已知條件，不妨預(yù)設(shè)x1（0，1，x21，+） x1+x22x22-x1（注意到x2，2-x1均不小于1） f（x2）f（2-x1）（f（x）在1，+）上單調(diào)遞增） -f（x1）f（2-x1）（已知f（x1）+f（x2）=0） -f（x）f（2-x）在（0，1上成立 f（x）=f（x）+f（2-x）0在（0，1上成立. 利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可求得f（x）max=f（1