空間解析幾何(下篇)

1、 空解精要（升華部分） 序這個(gè)部分是空解的精華部分，與高代數(shù)分都有聯(lián)系，關(guān)鍵在于你能否發(fā)現(xiàn)其中的玄機(jī)。我相信，當(dāng)你看完以下的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，一切都會(huì)水落石出。這部分的重點(diǎn)有：柱面，錐面，旋轉(zhuǎn)曲面，二次曲面及其一般線性理論，還有參數(shù)方程。*注意：這部分的知識(shí)點(diǎn)如果不涉及度量問(wèn)題，那么在仿射坐標(biāo)系 下也成立。 一.最完美二次曲面-球面1.定義：在三維線性空間中，我們把到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn) 的集合叫做球面，這個(gè)定點(diǎn)叫球心。球心到球面的任何 點(diǎn)的距離叫做半徑。2.球面的方程： 以點(diǎn)為球心，R為半徑的球面標(biāo)準(zhǔn)方程為 這是一個(gè)二次曲面，它的一般形式為 命題1：用一個(gè)平面去截取球面，得到的截面是一個(gè)圓。 命題

2、2：如果一個(gè)平面與球面相切，那么切點(diǎn)與球心的連線垂 直于該平面。3.切面的求法：根據(jù)數(shù)學(xué)分析里面的求偏導(dǎo)數(shù)來(lái)做，無(wú)需刻意記 住二次曲面一般理論中的公式。 二.柱面的錐面 （一）.柱面 1.定義：由平行于某一定方向且與一條空間定曲線相交的一 族平行直線所組成的曲面叫做柱面，定曲線叫做準(zhǔn)線，平行 直線中的每條都叫(直)母線，定方向是直母線的方向，也叫 柱面方向。 2.柱面方程的構(gòu)造 從定義中可以看出，柱面的存在由準(zhǔn)線和母線族決定，如果 確定了準(zhǔn)線的方程和母線的方向，那么就可以得出柱面的方 程。如果已知準(zhǔn)線方程為 母線方向?yàn)椋╨,m,n） 于是，假設(shè)一點(diǎn)在柱面上，這里假設(shè)的是準(zhǔn)線與 母線的交點(diǎn)，而母

3、線的位置具有任意性，于是將準(zhǔn)線和母線 聯(lián)立就可以取遍所有的母線，也就是柱面的方程 從中消去，得到的就是柱面方程。 特別地，準(zhǔn)線是圓，橢圓，雙曲線，拋物線的柱面分別叫做圓 柱面，橢圓柱面，雙曲柱面，拋物柱面。 例題1：設(shè)柱面準(zhǔn)線方程為 母線方向?yàn)闉椋?2,1,0），求柱面方程。 解：設(shè)為準(zhǔn)線與母線的交點(diǎn)， 于是，.（*） 過(guò)的母線為 令這個(gè)等式的值為t，得母線的參數(shù)方程 得，代入（*），得 消去t，得柱面方程為 這是解決柱面方程題目的常規(guī)方法。如果準(zhǔn)線是圓，那么柱 面就是圓柱面，這個(gè)可以用后面的旋轉(zhuǎn)曲面來(lái)解決。 （二）錐面 1.定義：過(guò)定點(diǎn)且與一條（不過(guò)定點(diǎn)的）定曲線相交的一族 直線組成的曲面叫

4、做錐面，定點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，定曲面叫做錐面 的準(zhǔn)線，這族共點(diǎn)直線中的每條直線都叫母線。 2.錐面方程的構(gòu)造 同理于柱面，錐面由準(zhǔn)線和定點(diǎn)確定，由母線族生成。于是 只要能夠遍取所有的母線就行，所以，設(shè)是準(zhǔn)線與 母線的交點(diǎn)，頂點(diǎn)也在過(guò)的母線上，于是由直 線的兩點(diǎn)式方程可以確定該母線方程為 . 再把代入準(zhǔn)線方程，得 . 聯(lián)立，消去得到的就是錐面方程。 3.圓錐面 定義：準(zhǔn)線是圓，母線與軸的夾角為定角的錐面叫做圓錐 面。（估計(jì)誰(shuí)都知道，不必多說(shuō)了！） 命題1：如果方程可以變?yōu)榈男问?，則錐 面是圓錐面，是母線與軸的夾角。其中x,y,z的 位置可以任意換。 很明顯這是特殊的情形，對(duì)于一般的錐面，有以下判定定理

5、命題2：一個(gè)關(guān)于的齊次方程表示以點(diǎn) 為頂點(diǎn)的錐面。 由此可以看出，平面就是一種特殊的錐面！ 例題2：已知錐面頂點(diǎn)為（3，-1，-2），準(zhǔn)線為 ，求該錐面方程。 解：設(shè)是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，連接與頂點(diǎn)（3,-1,-2） 的母線為 將這個(gè)等式的值記為，得 ，. 代入到準(zhǔn)線方程中，滿足 . 聯(lián)立，消去t，得 即為所求錐面方程。 三.旋轉(zhuǎn)曲面 （一）一般旋轉(zhuǎn)曲面的構(gòu)造 1.定義：一條曲線繞一條直線旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的曲面叫 做旋轉(zhuǎn)曲面，曲線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線，直線叫做軸。 由于，母線上任意一點(diǎn)繞軸旋轉(zhuǎn)都是一個(gè)圓，這個(gè)圓也 叫緯圓或緯線。其中與緯圓相對(duì)垂直的母線也叫經(jīng)線。 命題：經(jīng)線可以作為母線，但母線不一定為經(jīng)線

6、。 0 2.旋轉(zhuǎn)曲面方程的構(gòu)造 假設(shè)母線（或經(jīng)線）方程為，母線上有一點(diǎn) 軸l經(jīng)過(guò)，方向向量，假 設(shè)還有一點(diǎn)P(x,y,z)與在同一緯圓上。于是有 從中消去，得到的就是旋轉(zhuǎn)曲面的方程。 例題3：求直線繞直線x=y=z旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn) 曲面方程。 解：在母線上任取一點(diǎn)，在軸 上取（0,0,0），所以過(guò)的緯圓方程為 將代入經(jīng)線方程，得 經(jīng)緯已經(jīng)確定，于是從上面等式中消去，得 即為所求。 （二）繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn) 1.旋轉(zhuǎn)定律 一般地，坐標(biāo)平面上的曲線繞此平面上的一條坐標(biāo)軸 旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)曲面方程按下列方式寫出：對(duì)于曲線在 坐標(biāo)面上的方程，保留與旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而其他 兩個(gè)坐標(biāo)平方和的平方根代替方程中的另一坐

7、標(biāo)。 2.橢球面 設(shè)橢圓方程為，繞y軸旋轉(zhuǎn)，則 不要管x，保留y，將z換成，則得到的橢球 面方程為 請(qǐng)根據(jù)規(guī)律，寫出繞z軸旋轉(zhuǎn)的結(jié)果： 3.雙曲面 將雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面為 ，這里出現(xiàn)一個(gè)負(fù)號(hào)，所以是單葉雙曲面。 當(dāng)繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，得到的是 這里有兩個(gè)負(fù)號(hào)，判定為雙葉雙曲面。 4.拋物面 拋物面有兩種形式，一是橢圓拋物面，而是雙曲拋物面。 橢圓拋物面的標(biāo)準(zhǔn)形式為 其中，x,y,z的位置不定。這個(gè)等式左邊是橢圓方程的 一部分，右邊是拋物線方程的一部分，所以叫橢圓拋物 面。它的構(gòu)造在于先將拋物線旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)拋物面，然 后做伸縮變換，把緯圓變成橢圓。 如圖，在橢圓拋物面中，沿z軸方向看是拋物

8、線，于 是關(guān)于z是一次項(xiàng)；俯視x O y平面可看到的是橢圓， 所以方程中關(guān)于x和y的項(xiàng)是二次項(xiàng)。通過(guò)這個(gè)規(guī)律 可以判定圖像的大致形態(tài)。 性質(zhì)：當(dāng)平面沿緯線方向切割橢圓拋物面時(shí)，截線是 一個(gè)橢圓，與橢圓拋物面斜交時(shí)，可能出現(xiàn)圓。無(wú)論 是圓還是橢圓，中心總在對(duì)稱軸上，也在對(duì)稱平面上。 雙曲拋物面的標(biāo)準(zhǔn)形式為，這個(gè)圖像由于 像馬鞍一樣，所以又叫馬鞍面。其中，原點(diǎn)是鞍點(diǎn)， 它的圖形在坐標(biāo)系的分布與橢圓拋物面完全類似。 （三）二次直紋曲面 1.定義：所謂直紋曲面，就是指能夠由直線生成的 曲面。 2.常見(jiàn)的二次直紋曲面：?jiǎn)稳~雙曲面，雙曲拋物面。 3.析因式法 所謂的析因式法，就是把曲面的方程通過(guò)因式分 解

9、，從而求出生成直線族。很明顯，單葉雙曲面和 雙曲拋物面都有兩族直母線。 4.單葉雙曲面兩族直母線的性質(zhì) 對(duì)于單葉雙曲面上的每一點(diǎn)，兩族直母線中各 有唯一的一條直母線通過(guò)該點(diǎn)； 異族的任意兩條直母線共面； 同族的任意兩條直母線是異面直線； 兩族直母線無(wú)公共直線. 5.雙曲拋物面兩族直母線的性質(zhì) 對(duì)于雙曲拋物面的任意點(diǎn)，兩族直母線中各有 一條直母線經(jīng)過(guò)這一點(diǎn)； 任意兩條異族直母線都相交； 兩族直母線中無(wú)公共直線； 同族任意兩條直母線異面； 同族中所有直母線必平行于同一平面； 例題4：求單葉雙曲面 上過(guò)P（2,1,3）的兩條直母線。 解：（析因式法） 根據(jù)平法差公式分解因式得到兩族直母線分 別為 和

10、 把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，得 ，于是過(guò)P點(diǎn)的兩族直母線的方程分 別為 和，化簡(jiǎn)后即為所求。 附：對(duì)于雙曲拋物面的析因式，采用如下分法： 若方程為， 分解為和 這就是雙曲拋物線的兩族直母線。 四.二次曲面的一般理論 （一）判斷曲面類型（回顧二次型與矩陣） 對(duì)于一般形式的二次曲面 = 記中間的矩陣為A，稱為二次曲面的矩陣；二次部分的矩 陣為記，稱為二次矩陣。 當(dāng)判斷一個(gè)一般形式的曲面時(shí)，通過(guò)非退化線性替 換把二次曲面的矩陣變成標(biāo)準(zhǔn)型或者規(guī)范形，然后 寫出方程，這個(gè)時(shí)候就可以得出曲面到底是什么了。 （二）主方向，特征方程，特征根 在這里明確一下，不要去尋找他們的幾何意義，因 為目前城主也沒(méi)找出他們的意義。

11、不過(guò)可以確定的 是：特征方程就是高代里面的特征多項(xiàng)式，特征根 就是特征值，特征根對(duì)應(yīng)的主方向就是指特征值對(duì) 應(yīng)的特征向量。 接下來(lái)復(fù)習(xí)下線性變換的特征矩陣！ 例題5：求=的特征值（特征根）和特 征向量（主方向）。 解答：令=0 得 所以，特征值為1和2（二重根） 屬于1的特征向量是 的非零解，即 主方向?yàn)?:1:1； 屬于2的特征向量是 的非零解，即 主方向?yàn)?:1：-1 于是，遇到求特征根與主方向的時(shí)候，可以完全按照 線性變換來(lái)求！ 在這里，特征根有一下性質(zhì)： 1.二次曲面的三個(gè)特征根都是實(shí)數(shù)； 2.二次曲面的三個(gè)特征根不全為0； 3.不同特征根對(duì)應(yīng)的主方向一定互相垂直； 4.對(duì)于任意二次曲

12、面，至少存在3個(gè)兩兩垂直的主 方向。 （三）中心和徑面 1.漸進(jìn)方向：滿足的方向X:Y:Z 叫做二次曲面的漸進(jìn)方向，否則叫做非漸進(jìn)方 向。注意與主方向區(qū)別開。 2.中心 二次曲面的中心是方程組 的解，該方程組叫做中心方程組。 這是一個(gè)非齊次線性方程組，它有解的充要條 件是：系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩。 于是：當(dāng)秩都為3時(shí)，只有唯一解，這時(shí)曲面叫 中心二次曲面。 當(dāng)秩都為2時(shí)，相當(dāng)于只有兩個(gè)方程，組成直 線的一般方程，于是解可以形成一條直線，稱 為線心二次曲面。 當(dāng)秩都是1時(shí)，相當(dāng)于只有一個(gè)方程，很顯然 是個(gè)平面，這時(shí)，稱為面心二次曲面。 當(dāng)兩矩陣的秩不等時(shí)，方程無(wú)解，曲面沒(méi)有中 心，稱為無(wú)心二次曲面。 3.奇異方向 如果二次曲面的漸進(jìn)方向滿足X:Y:Z滿足 那么這個(gè)漸進(jìn)方向叫做奇異方向，簡(jiǎn)稱奇向。 命題：二次曲面有奇向的充要條件是二次矩陣的 行列式為0，只有中心二次曲面無(wú)奇向。 徑面：二次曲面沿非漸進(jìn)方向X:Y:Z的所有平行 弦的中點(diǎn)所在的平面叫做二次曲面共軛于 方向X:Y:Z的徑面。如果徑面垂直于共軛 方向，那么這個(gè)徑面叫做主徑面。 徑面方程為： 命題：二次曲面至少有一個(gè)主徑面。 例題6：求二次曲面 的主方向和主徑面。 解：二次曲面的矩陣為 解得特征根為6,3，-2 通過(guò)計(jì)算，屬于6的主方向?yàn)?1:1:2,共軛的主徑 面為-x+y+2z=0; 屬于3