2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測評四十一8.5.2數(shù)列與函數(shù)不等式的綜合問題文含解析北師大版

1、核心素養(yǎng)測評四十一數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知遞增的等比數(shù)列an的公比為q,其前n項和sn0,則()a.a10,0q1b.a11c.a10,0q0,q1【解析】選a.因為sn0,所以a1an,且|an|an+1|,則-an-an+10,則q=-an+1-an(0,1),所以a10,0q0”是“s4 + s62s5”的()a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件【解析】選c.由s4+s6-2s5=10a1+21d-2(5a1+10d)=d,可知當(dāng)d0時,有s4+s6-2s50,即s4+s62s5,反之

2、,若s4+s62s5,則d0,所以“d0”是“s4 + s62s5”的充分必要條件.【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式,通過套入公式與簡單運算,可知s4+s6-2s5=d, 結(jié)合充分必要性的判斷,若pq,則p是q的充分條件,若pq,則p是q的必要條件,該題“d0”“s4+s6-2s50”,故互為充要條件.3.已知數(shù)列an是等比數(shù)列,數(shù)列bn是等差數(shù)列,若a2a6a10=33,b1+b6+b11=7,則tan b2+b101-a3a9的值是()a.1b.22c.-22d.-3【解析】選d.因為an是等比數(shù)列,所以a2a6a10=a63=33,所以a6=3.因為bn是等差數(shù)列,所以b1+b

3、6+b11=3b6=7.所以b6=73,所以tanb2+b101-a3a9=tan 2b61-a62=tan 1431-3=-tan 73=-tan 3=-3.4.數(shù)列an滿足an=n2+kn+2,若不等式ana4恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是()a.-9,-8b.-9,-7c.(-9,-8)d.(-9,-7)【解析】選b.由已知得n2+kn+24k+18,即(4-n)kn2-16,其中nn*.當(dāng)n=1,2,3時,k(-n-4)min=-7;當(dāng)n=4時,等號成立;當(dāng)n5時,k(-n-4)max=-9,所以實數(shù)k的取值范圍是-9,-7.5.已知數(shù)列an滿足a1+12a2+13a3+1nan=n2+

4、n(nn*),設(shè)數(shù)列bn滿足:bn=2n+1anan+1,數(shù)列bn的前n項和為tn,若tnnn+1(nn*)恒成立,則實數(shù)的取值范圍為()世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號a.14,+b.14,+c.38,+d.38,+【解析】選d.數(shù)列an滿足a1+12a2+13a3+1nan=n2+n,當(dāng)n2時,a1+12a2+13a3+1n-1an-1=(n-1)2+(n-1),-得1nan=2n,故an=2n2,數(shù)列bn滿足:bn=2n+1anan+1=2n+14n2(n+1)2=141n2-1(n+1)2則:tn=141-122+122-132+1n2-1(n+1)2=141-1(n+1)2,由于tnnn+1(nn*)

5、恒成立,故:141-1(n+1)2n+24n+4,因為y=n+24n+4=141+1n+1在nn*上單調(diào)遞減,故當(dāng)n=1時,n+24n+4max=38,所以38.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知f(x)=11+x,各項均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a1=1,an+2=f(an).若a2 010=a2 012,則a20+a11的值是.【解析】因為an+2=f(an)=11+an,a1=1,所以a3=12,a5=11+12=23,a7=11+23=35,a9=11+35=58,a11=11+58=813,又a2 010=a2 012,即a2 010=11+a2 010a2 0102+a2 010

6、-1=0,所以a2 010=5-12a2 010=-5-12舍去.又a2 010=11+a2 008=5-12,所以1+a2 008=25-1=5+12,即a2 008=5-12,依次類推可得a2 006=a2 004=a20=5-12,故a20+a11=5-12+813=135+326.答案:135+3267.已知an是遞增的等差數(shù)列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)數(shù)列an的通項公式為.(2)數(shù)列an2n的前n項和為.【解析】(1)方程x2-5x+6=0的根為2,3.又an是遞增的等差數(shù)列,故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=12,故an=2+(n-2)12=12n+1.

7、(2)設(shè)數(shù)列an2n的前n項和為sn,sn=a121+a222+a323+an-12n-1+an2n,12sn=a122+a223+a324+an-12n+an2n+1,-得12sn=a12+a2-a122+a3-a223+an-an-12n-an2n+1=a12+d22+d23+d2n-an2n+1=34+141-12n-1-12n+12n+1,所以sn=32+121-12n-1-n+22n+1=2-n+42n+1.答案:(1)an=12n+1(2)2-n+42n+18.(2020成都模擬)數(shù)列an是等差數(shù)列,a1=1,公差d1,2,且a4+a10+a16=15,則實數(shù)的最大值為.世紀(jì)金榜導(dǎo)

8、學(xué)號【解析】因為a4+a10+a16=15,所以a1+3d+(a1+9d)+a1+15d=15,令=f(d)=151+9d-2,因為d1,2,所以令t=1+9d,t10,19,因此=f(t)=15t-2,當(dāng)t10,19時,函數(shù)=f(t)是減函數(shù),故當(dāng)t=10時,實數(shù)有最大值,最大值為f(10)=-12.答案:-12三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2018北京高考)設(shè)an是等差數(shù)列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求an的通項公式.(2)求ea1+ea2+ean.【解析】(1)由已知,設(shè)an的公差為d,則a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln 2,又a1

9、=ln 2,所以d=ln 2,所以an的通項公式為an=ln 2+(n-1)ln 2=nln 2(nn*).(2)由(1)及已知,ean=enln 2=(eln 2)n=2n,所以ea1+ea2+ean=21+22+2n=2(1-2n)1-2=2n+1-2(nn*).10.(2020武漢模擬)數(shù)列an滿足:a12+a23+ann+1=n2+n,nn*.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(1)求an的通項公式.(2)設(shè)bn=1an,數(shù)列bn的前n項和為sn,求滿足sn920的最小正整數(shù)n.【解析】(1)因為a12+a23+ann+1=n2+n,n=1時,可得a1=4,n2時,a12+a23+an-1n=(n-1)2+n-1.與a12+a23+ann+1=n2+n.兩式相減可