2021新高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題六統(tǒng)計與概率6.4.3統(tǒng)計與概率問題綜合應(yīng)用學(xué)案含解析

1、6.4.3統(tǒng)計與概率問題綜合應(yīng)用必備知識精要梳理離散型隨機變量的期望與方差(1)e(x)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn為x的均值或數(shù)學(xué)期望.(2)d(x)=(x1-e(x)2p1+(x2-e(x)2p2+(xi-e(x)2pi+(xn-e(x)2pn叫做隨機變量x的方差.(3)均值與方差的性質(zhì):e(ax+b)=ae(x)+b;e(+)=e()+e();d(ax+b)=a2d(x).關(guān)鍵能力學(xué)案突破熱點一離散型隨機變量的期望與方差【例1】(2020山西臨汾高三適應(yīng)性訓(xùn)練,19)今年情況特殊,小王在居家自我隔離時對周邊的水產(chǎn)養(yǎng)殖產(chǎn)業(yè)進行了研究.a、b兩個投資項目的利潤率分別為投資變量x和

2、y.根據(jù)市場分析,x和y的分布列分別為:x5%10%p0.80.2y2%8%12%p0.20.50.3(1)若在a,b兩個項目上各投資100萬元,和分別表示投資項目a和b所獲得的利潤,求方差d(),d();(2)若在a,b兩個項目上共投資200萬元,那么如何分配,能使投資a項目所得利潤的方差與投資b項目所得利潤的方差的和最小,最小值是多少?注:d(ax+b)=a2d(x)解題心得期望與方差的一般計算步驟(1)理解離散型隨機變量的意義,寫出變量x的所有可能取的值;(2)求x取各個值時的概率,寫出分布列;(3)根據(jù)分布列,正確運用期望與方差的定義或公式進行計算.若變量x服從二項分布等特殊分布時,期

3、望與方差可直接利用公式求解.【對點訓(xùn)練1】(2020四川宜賓高三診斷,19)某烘焙店加工一個成本為60元的蛋糕,然后以每個120元的價格出售,如果當天賣不完,剩下的這種蛋糕作餐廚垃圾處理.(1)若烘焙店一天加工16個這種蛋糕,求當天的利潤y(單位:元)關(guān)于當天需求量n(單位:個,nn)的函數(shù)解析式;(2)烘焙店記錄了100天這種蛋糕的日需求量(單位:個),整理得下表:日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310若烘焙店一天加工16個這種蛋糕,x表示當天的利潤(單位:元),求x的分布列與數(shù)學(xué)期望及方差;若烘焙店一天加工16個或17個這種蛋糕,僅從獲得利潤大的角度考慮,你

4、認為應(yīng)加工16個還是17個?請說明理由.熱點二統(tǒng)計數(shù)據(jù)及概率在現(xiàn)實決策問題中的應(yīng)用【例2】(2020山西太原5月模擬,20)為實現(xiàn)2020年全面建設(shè)小康社會,某地進行產(chǎn)業(yè)的升級改造.經(jīng)市場調(diào)研和科學(xué)研判,準備大規(guī)模生產(chǎn)某高科技產(chǎn)品的一個核心部件,目前只有甲、乙兩種設(shè)備可以獨立生產(chǎn)該部件.如圖是從甲設(shè)備生產(chǎn)的該核心部件中隨機抽取400個,對其尺寸x進行統(tǒng)計后整理的頻率分布直方圖.根據(jù)行業(yè)質(zhì)量標準規(guī)定,該核心部件尺寸x滿足:|x-12|1為一級品,12為三級品.(1)現(xiàn)根據(jù)頻率分布直方圖中的分組,用分層抽樣的方法先從這400個部件中抽取40個,再從所抽取的40個部件中,抽取出所有尺寸x12,15的

5、部件,再從所有尺寸x12,15的部件中抽取2件,記為這2個部件中尺寸x14,15的個數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)將甲設(shè)備生產(chǎn)的部件成箱包裝出售時,需要進行檢驗.已知每箱有100個部件,每個部件的檢驗費用為50元.檢驗規(guī)定:若檢驗出三級品需更換為一級或二級品;若不檢驗,讓三級品進入買家,廠家需向買家每個支付200元補償.現(xiàn)從一箱部件中隨機抽檢了10個,結(jié)果發(fā)現(xiàn)有1個三級品.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的概率,以廠家支付費用作為決策依據(jù),問是否對該箱中剩余部件進行一一檢驗?請說明理由;(3)為加大生產(chǎn)力度,廠家需增購設(shè)備.已知這種部件的利潤如下:一級品的利潤為500元/個;二級品的利潤為400

6、元/個;三級品的利潤為200元/個.乙種設(shè)備生產(chǎn)的該部件中一、二、三級品的概率分別是25,12,110.若將甲設(shè)備的樣本頻率作為總體的概率,以廠家的利潤作為決策依據(jù),則應(yīng)選購哪種設(shè)備?請說明理由.解題心得利用均值和方差進行決策的方法利用隨機變量的均值與方差可以幫助我們作出科學(xué)的決策.其中隨機變量的均值的意義在于描述隨機變量的平均程度,而方差則描述了隨機變量穩(wěn)定與波動或集中與分散的狀況.品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報的準確與否、機器的性能好壞等很多指標都與這兩個特征量有關(guān).(1)若我們希望實際的平均水平較理想時,則先求隨機變量1,2的均值.當e(1)=e(2)時,不應(yīng)誤認為它們一樣好.需要用d(1

7、),d(2)來比較這兩個隨機變量的偏離程度.(2)若我們希望比較穩(wěn)定時,應(yīng)先考慮方差,再考慮均值是否相等或者接近.【對點訓(xùn)練2】(2020廣東惠州一模,20)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站,過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量x(年入流量:一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和,單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨立.(1)求未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率;(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行,但每年發(fā)電機最多可

8、運行臺數(shù)受年入流量x限制,并有如下關(guān)系:年入流量x40x120發(fā)電機最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機運行,則該臺年利潤為5 000萬元;若某臺發(fā)電機未運行,則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺?熱點三統(tǒng)計與概率和函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合【例3】(2020山東威海一模,22)新藥在進入臨床實驗之前,需要先通過動物進行有效性和安全性的實驗.現(xiàn)對某種新藥進行5 000次動物實驗,一次實驗方案如下:選取3只白鼠對藥效進行檢驗,當3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明顯”,即確定“實驗成功”;若有且只有1只“效果明顯”,則再取2只白鼠進行二次檢驗,當2只白鼠均使用“效果明

9、顯”,即確定“實驗成功”,其余情況則確定“實驗失敗”.設(shè)對每只白鼠的實驗相互獨立,且使用“效果明顯”的概率均為p(0p1).(1)若p=12,設(shè)該新藥在一次實驗方案中“實驗成功”的概率為p0,求p0的值;(2)若動物實驗預(yù)算經(jīng)費700萬元,對每只白鼠進行實驗需要300元,其他費用總計為100萬元,問該動物實驗總費用是否會超出預(yù)算,并說明理由.解題心得解決統(tǒng)計與概率和函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問題,關(guān)鍵是讀懂題意,將與概率有關(guān)的問題(尤其是最值問題)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,再利用函數(shù)或?qū)?shù)知識解決.在轉(zhuǎn)化過程中,對已知條件進行適當?shù)淖冃?、整?使之與求解的結(jié)論建立聯(lián)系,從而解決問題.【對點訓(xùn)練3】(2020東北師

10、大附中模擬,20)隨著現(xiàn)代電子技術(shù)的迅猛發(fā)展,關(guān)于元件和系統(tǒng)可靠性的研究已發(fā)展成為一門新的學(xué)科可靠性理論.在可靠性理論中,一個元件正常工作的概率稱為該元件的可靠性.元件組成系統(tǒng),系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠性.現(xiàn)有n(nn*,n2)種電子元件,每種2個,每個元件的可靠性均為p(0p1).當某元件不能正常工作時,該元件在電路中將形成斷路.現(xiàn)要用這2n個元件組成一個電路系統(tǒng),有如下兩種連接方案可供選擇,當且僅當從a到b的電路為通路狀態(tài)時,系統(tǒng)正常工作.(1)()分別寫出按方案和方案建立的電路系統(tǒng)的可靠性p1,p2(用n和p表示);()比較p1與p2的大小,說明哪種連接方案更穩(wěn)定可靠;(2)設(shè)

11、n=4,p=45,已知按方案建立的電路系統(tǒng)可以正常工作,記此時系統(tǒng)中損壞的元件個數(shù)為x,求隨機變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望.熱點四統(tǒng)計與概率和數(shù)列的綜合【例4】(2020山東青島二模,22)中國女排,曾經(jīng)十度成為世界冠軍,鑄就了響徹中華的女排精神.女排精神的具體表現(xiàn)為:扎扎實實,勤學(xué)苦練,無所畏懼,頑強拼搏,同甘共苦,團結(jié)戰(zhàn)斗,刻苦鉆研,勇攀高峰.女排精神對各行各業(yè)的勞動者起到了激勵、感召和促進作用,給予全國人民巨大的鼓舞.(1)看過中國女排的紀錄片后,某大學(xué)掀起“學(xué)習(xí)女排精神,塑造健康體魄”的年度主題活動,一段時間后,學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高,將該大學(xué)近5個月體重超重的人數(shù)進行統(tǒng)計,得到如下表格:月份x12345體重超重的人數(shù)y640540420300200若該大學(xué)體重超重人數(shù)y與月份變量x(月份變量x依次為1,2,3,4,5)具有線性相關(guān)關(guān)系,請預(yù)測從第幾月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下?(2)在某次排球訓(xùn)練課上,球恰由a隊員控制,此后排球僅在a隊員、b隊員和c隊員三人中傳遞,已知每當球由a隊員控制時,傳給b隊員的概率為12,傳給c隊員的概率為12;每當球由b隊員控制時,傳給a隊員的概率為23,傳給c隊員的概率為13;每當球由c隊員控制時,傳給a隊員的概率