第五章 不定積分

1、第五章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念教學(xué)目的：理解原函數(shù)概念，掌握不定積分的概念、幾何意義和特解教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：不定積分的概念和滿足初始條件的特解。教學(xué)形式：講練結(jié)合教學(xué)時間：2學(xué)時一、引入新課1求下列函數(shù)F(x)= ，F(xiàn)(x)= +2的導(dǎo)數(shù)。2由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求：已知曲線上各點(diǎn)的切線斜率隨x的變化規(guī)律是k(x)= ，求曲線方程。二、新授課1不定積分的概念事實(shí)上，如果F(x)是(x)= f(x) 的一個解，那么滿足(x)= f(x) 的所有解為F(x)+C(C為任意實(shí)數(shù))，我們把滿足(x)= f(x)的所有解表示為，即 = F(x) + C.我們稱為f(x)的不定積分, F(x)稱為f(x)

2、的一個原函數(shù).其中“”為積分符號, f(x)為被積函數(shù),x為積分變量. 不定積分的定義：在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為在區(qū)間內(nèi)的不定積分，記為。 2原函數(shù)的定義：如果在區(qū)間內(nèi)，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即，都有或，那么函數(shù)就稱為或在區(qū)間內(nèi)原函數(shù)。 例，是的原函數(shù)。是在區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)。 （1）原函數(shù)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，那么在區(qū)間內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù)，使，都有。簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。問題：(1)原函數(shù)是否唯一？ (2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？ 例，(為任意常數(shù))（2）關(guān)于原函數(shù)的說明： (1)若，則對于任意常數(shù)，都是的原函數(shù)。 (2)若和都是的原函數(shù)，則(為任意常數(shù))證 (為

3、任意常數(shù))于是,滿足(x)= 的解為 =+C.例1求。 解 例2求。 解 。3不定積分的幾何意義：在幾何上,不定積分是一族曲線,它是y=F(x)沿y軸上下平移得到的.例如, 所表示的曲線族如圖51所示(其中C分別取-1,0,1)圖 51 ( )由于在相同橫坐標(biāo)x處,所有積分曲線的斜率均為f(x),因此 ,在每一條積分曲線上,以x為橫坐標(biāo)的點(diǎn)處的切線彼此平行.在實(shí)際問題中,經(jīng)常需要求一個滿足某特定條件的解.例如,在積分曲線族中,求過某一定點(diǎn)的曲線.實(shí)際上,這一問題就是要確定不定積分中的常數(shù). 例3 設(shè)曲線過(1,2),在此曲線上任意點(diǎn)的切線斜率為2x,求此曲線方程.解 先求斜率為2x的曲線方程族

4、 =+C因?yàn)樗笄€過點(diǎn)(1,2),代上式,得2=1+C,則C=1,于是,所求曲線方程為 y=+1.由不定積分的定義，可知 A 。 結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的。 三、本節(jié)小結(jié)：原函數(shù)、不定積分、積分曲線族、不定積分的特解。四、課堂練習(xí)：P92習(xí)題5-11選擇題： (1) 下列等式中成立的是（ ）； (2) 在區(qū)間內(nèi)，如果，則下列各式中一定成立的是（ ）； 五、課外作業(yè)：2. 已知平面曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率為，且曲線經(jīng)過點(diǎn)，求該曲線的方程。 3一質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動，速度，當(dāng)時，質(zhì)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為，求質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離和時間的函數(shù)關(guān)系。 4已知，且，求。第五章 不定積分第一節(jié) 不定積

5、分的性質(zhì)教學(xué)目的：掌握基本初等函數(shù)的不定積分公式，理解不定積分的性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是不定積分的積分公式。難點(diǎn)是理解不定積分的性質(zhì)和應(yīng)用。教學(xué)形式：講練結(jié)合教學(xué)時間：2學(xué)時教學(xué)年級：會計學(xué)一年級教學(xué)過程一、引入新課1實(shí)例。 啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？ 2結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式。二、新授課1基本積分表 是常數(shù)); 說明： 簡寫為。 2不定積分的性質(zhì) 證等式成立。 (此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況) 。(是常數(shù)， 例5求積分。 解 例6求積分。 解 例7求積分。 解 例8求積分。 解說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能

6、使用基本積分表。 例9已知一曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，且此曲線與軸的交點(diǎn)為，求此曲線的方程。 解 所求曲線方程為. 三、本節(jié)小結(jié)：1原函數(shù)的概念： ；2。不定積分的概念： 3基本積分表(1) ； 4。求微分與求積分的互逆關(guān)系 5不定積分的性質(zhì) 四、作業(yè)1課堂練習(xí)：思考題符號函數(shù) 在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？ 思考題解答不存在。 假設(shè)有原函數(shù) 但在處不可微，故假設(shè)錯誤。所以在內(nèi)不存在原函數(shù)。 結(jié)論每一個含有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒有原函數(shù)。 2課外作業(yè)P92習(xí)題5-15計算下列不定積分： 第五章 不定積分第二節(jié) 不定積分的換元積分法教學(xué)目的：能熟練地用換元積分法求函數(shù)的不定積分教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：換元積

7、分法的解題方法和技巧教學(xué)形式：講練結(jié)合教學(xué)時間：2學(xué)時教學(xué)年級：會計學(xué)一年級教學(xué)過程一、引入新課1默寫不定積分公式；2對于如下函數(shù)的不定積分的思考（1），；（2），；二、新授課換元積分法：第一類換元法1引例求 解 ，令2，得 ,代回原變量，得 .一般的我們有如下結(jié)論：2定理 設(shè)是的連續(xù)函數(shù)，且 ，設(shè)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則 = 證明 只需證明 即可，又由，故例1求. 解 令 ，則 ，故 .例2 求解 = 因?yàn)?， 設(shè) x，則 ， 因此， =. 練習(xí)： 熟練以后，可直接寫出結(jié)果:例3 求. 解 =.例4求）. 解 .例5求.解 由于,所以 .例6 求. 解 =.例7 求 與 . 解 =. .例8 求.

8、解 .又 =.所以上述不定積分又可表示為 . 練習(xí)： 例9 求. 解 利用積化和差公式 ,得 ,所以 .換元積分法：第二類換元法 定理 設(shè)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)、可導(dǎo)且，設(shè)具有原函數(shù).則，其中是的反函數(shù). 證 設(shè) ，只需證 而 .去根號 例1 求. 解 作變量代換 ( 以消去根式)，于是 ，,從而 .例2求 ().解 積分難點(diǎn)在于被積函數(shù)中的根號，為去掉根號，令 ， , 則 , ,回代變量，由，得 , 故有 . 例3 求解 利用三角公式 來化去根式， 設(shè) 解 設(shè)，令， 利用公式 有 ，于是有 ，注意： 兩邊取導(dǎo)數(shù)得 所以 ,其中 .例5 求 解 為化去根式，令，則， .將 回代得 .例6 求 . 解 .

9、 例7 求 .解 本節(jié)小節(jié)：換元積分法的解題方法和技巧四、課外練習(xí)：1計算下列不定積分 2 3 4 5 第五章 不定積分第三節(jié) 不定積分的分部積分法教學(xué)目的：能熟練地用分部積分法求函數(shù)的不定積分教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：分部積分法的解題方法和技巧教學(xué)形式：講練結(jié)合教學(xué)時間：2學(xué)時教學(xué)年級：會計學(xué)一年級教學(xué)過程一、引入新課1默寫不定積分公式；2對于如下函數(shù)的不定積分的思考（1），；（2），；二、新授課 ， 移項得, . 對這個等式兩邊求不定積分， 得. （1） 簡便起見,公式（1）常寫成下面的形式： . （2） 例1求.解 這個積分用換元積分法不易求得結(jié)果?，F(xiàn)在試用分部積分法來求它。設(shè)，,則，利用分部積分

10、公式（2）得.注意：恰當(dāng)選取和，一般要考慮下面兩點(diǎn)： （1）要容易求得；（2）要比容易積出. 例2.求.解 設(shè)，,則，,于是. 例3.求.解 設(shè)， , 則，,利用公式（2）得 . .熟練以后，不必寫出、，只要在心里想著就可以了. 例4.求.解 . 例5.求.解 . 例6.求.解 注意到 與所求積分是同一類型的，需再用一次分部積分， . . 例7.求.解 , . 例8.求（其中為正整數(shù)）.解 當(dāng)n1時, 于是 由此作遞推公式，并由, 即得.本節(jié)小節(jié)：分部積分公式、口訣課外練習(xí)：復(fù)習(xí)題五 911第五章 不定積分第四節(jié) 幾種特殊類型的函數(shù)的積分教學(xué)目的：能熟練地求解所學(xué)幾種特殊類型的函數(shù)的積分教學(xué)重

11、點(diǎn)、難點(diǎn)：幾種特殊類型的函數(shù)的積分解題方法和技巧教學(xué)形式：講練結(jié)合教學(xué)時間：2學(xué)時教學(xué)年級：會計學(xué)一年級教學(xué)過程一、引入新課對于一些特殊類型函數(shù)的積分的求解我們進(jìn)行總結(jié)和歸類。二、新授課(一)有理函數(shù)的積分1 有理函數(shù) , （1）其中、分別是關(guān)于的次和次的實(shí)系數(shù)多項式.當(dāng)時，稱為有理真分式; 時,稱為有理假分式.對于有理假分式,的次數(shù)大于的次數(shù)，應(yīng)用多項式的除法， , （2）即有理假分式總能化為多項式與有理真分式之和.多項式的積分容易求得,故只需討論有理真分式的積分.2將有理真分式寫成簡單真分式的和 設(shè) , . 如果 .，其中、.、.是正整數(shù)，各二次多項式無實(shí)根，則可唯一地分解成下面形式的部分

12、分式之和 . .+. . . （3）其中：,.,.,.,.,.,.,都是實(shí)常數(shù).3求簡單真分式的積分：最終歸結(jié)為求下面四類部分分式的積分：（1） , （2） （.）, （3） , （4） （.）.其中為常數(shù)，且二次式無實(shí)根.所以，有關(guān)有理函數(shù)積分問題得以全部解決.例1.求 .解 設(shè) ，有 由于此式為恒等式，故兩端同次冪的系數(shù)應(yīng)相等.即 ， 解得 ，故 ，從而 . 例2.求.解 分子多項式的次數(shù)高于分母多項式的次數(shù)，由 ，有 ，于是 。 例3. 求.解 設(shè),解得 ,有 ,于是 .分別求上式等號右端的每一個不定積分:.由遞推公式有.有 .于是 .(二)三角函數(shù)的積分1定義：由及經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù),記做.2計算： 有多種方法,其中有一種是萬能的 設(shè) ， 則有 ， ， ，有 =. 換元稱為萬能換元.例1 求. 解 令，則， . 例2 求. 解 令，則，,. .注：盡管“萬能公式”在求三角函數(shù)有理