矩陣分析2ppt課件

1、矩 陣 分 析東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院石海彬第二章 內(nèi)積空間線性空間 或 向量空間向量的加法加法 向量與數(shù)域中數(shù)的數(shù)量乘法乘法向量的長度長度 向量之間的夾角夾角 需要考慮引入新的概念 內(nèi)積內(nèi)積（某種乘法） 內(nèi)積空間內(nèi)積空間目的目的：進一步研究線性空間和線性變換第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間1 1 內(nèi)積空間的概念內(nèi)積空間的概念2 2 正交基及子空間的正交關(guān)系正交基及子空間的正交關(guān)系3 3 內(nèi)積空間的同構(gòu)內(nèi)積空間的同構(gòu)4 4 正交變換正交變換5 5 點到子空間的距離與最小二乘法點到子空間的距離與最小二乘法6 6 復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）7 7 正規(guī)矩陣正規(guī)矩陣8 8 厄米特二次型

2、厄米特二次型9 9 力學(xué)系統(tǒng)的小振動力學(xué)系統(tǒng)的小振動第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間1. 內(nèi)積空間的概念 )( ,),( )3( )( , 2 ;, ) 1 ( , , vzzyzxzyxryxyxxyyxyxrv滿足：向量的內(nèi)積內(nèi)積的定義內(nèi)積的定義時，等號成立當(dāng)且僅當(dāng) ,0),( (4)xxx此時的v就成為（實）內(nèi)積空間內(nèi)積空間1. 內(nèi)積空間的概念內(nèi)積空間的概念為一個內(nèi)積空間?？烧x內(nèi)積為中的任二向量維線性空間若對例nniiinnnryxyxrn, 112121 0,3;,)2(;, ) 1 (,yxzxyxzyxyxyxyx的性質(zhì)：內(nèi)積第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間1. 內(nèi)積空間的概念內(nèi)積

3、空間之例例例1 n維線性空間rnniiinnyxyx12121),( ,此稱為歐幾里德空間歐幾里德空間（歐氏空間歐氏空間）為一個內(nèi)積空間?？烧x內(nèi)積為中的任二向量維線性空間若對例nniiinnnryxyxrn, 112121 0,3;,)2(;, ) 1 (,yxzxyxzyxyxyxyx的性質(zhì)：內(nèi)積第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間1. 內(nèi)積空間的概念內(nèi)積空間之例例例2 n2維線性空間rnnnjiijijnnnnnnnnnnnnbababbbbbbbbbbaaaaaaaaaa1,212222111211212222111211),( ,為一個內(nèi)積空間?？烧x內(nèi)積為中的任二向量維線性空間若對例

4、nniiinnnryxyxrn, 112121 0,3;,)2(;, ) 1 (,yxzxyxzyxyxyxyx的性質(zhì)：內(nèi)積第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間1. 內(nèi)積空間的概念內(nèi)積的性質(zhì)：),)(,(),( )4(0),(),( )3(),(),(),( )2(),(),( ) 1 (2yyxxyxyxzxyxzyxyxyx第條性質(zhì)稱為柯西許瓦茲不等式柯西許瓦茲不等式為一個內(nèi)積空間?？烧x內(nèi)積為中的任二向量維線性空間若對例nniiinnnryxyxrn, 112121 0,3;,)2(;, ) 1 (,yxzxyxzyxyxyxyx的性質(zhì)：內(nèi)積第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間1. 內(nèi)積空間的概念

5、向量長度的定義向量長度的定義xxxx, 的長度向量柯許不等式的另一寫法yxyx),(向量之間的夾角向量之間的夾角yxyx),(cos向量垂直向量正交90度角0cos0),(yx222yxyx為一個內(nèi)積空間?？烧x內(nèi)積為中的任二向量維線性空間若對例nniiinnnryxyxrn, 112121 0,3;,)2(;, ) 1 (,yxzxyxzyxyxyxyx的性質(zhì)：內(nèi)積第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間1. 內(nèi)積空間的概念 0, 3 ;, 2 ;, 1 ,yxzxyxzyxyxyxyx）（）（）（的性質(zhì)：內(nèi)積2 , x yx xy y柯西許瓦茲不等式. ; yxyxyxyx重要不等式第二章第二章

6、內(nèi)積空間內(nèi)積空間2. 正交基及子空間的正交關(guān)系 一組非零向量內(nèi)積空間中兩兩正交的正交組 . , 0; , 1 ,e ,21jijieeeejin當(dāng)當(dāng)滿足標準正交基正交組構(gòu)成的基正交基2. 正交基及子空間的正交關(guān)系正交基及子空間的正交關(guān)系任一n維歐氏空間都存在正交基第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間2. 正交基及子空間的正交關(guān)系., ., , , , , 2111112222111122223111133311112221121niiinnnnnnnnnneeeeeeeeeefeeeefeeeeffeeeeefeeeeffeeeeeffefevfff 則得到標準正交基單位化取的一組基，為設(shè)施密特正交

7、化：第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間2. 正交基及子空間的正交關(guān)系另一種標準正交基一種標準正交基為正交矩陣則若正交矩陣過渡矩陣 aeaat. , 0, 212121vvvvyxvyvx記正交，與則正交的正交補。是正交補122121 , , vvvvvvvn維歐氏空間的任一子空間都有唯一的正交補空間。第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間3. 正交基及子空間的正交關(guān)系3. 內(nèi)積空間的同構(gòu)內(nèi)積空間的同構(gòu)),()(),()()()()()()( : ,yxyxxxyxyxwxvxwvwv所有n維歐氏空間都同構(gòu)第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間4. 正交變換 為正交變換正交變換tyxtytxtvyx , ,矩陣是正

8、交矩陣。的任一標準正交基下的在）（的一組標準正交基；也是的一組標準正交基，則是）（）（是正交變換；）（等價命題：vtvteteteveeextxtnn4 ,3 ; 2 1 2121 4. 正交變換正交變換保持內(nèi)積不變保持內(nèi)積不變向量長度不變第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間4. 正交變換 xtxxxtxtxrxtrtrt , , , , 212322132132332133211323213由此得到設(shè)證明是正交變換。成立，試證明對任一的線性變換，是歐式空間設(shè)舉例第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間5. 點到子空間的距離與最小二乘法時等號成立當(dāng)且僅當(dāng)yxyxdzydyxdzxdxydyxd0),()3()

9、,(),(),()2(),(),() 1 (三個基本性質(zhì)：。的距離，記為與稱為向量長度的向量是歐氏空間，又定義：設(shè)),(,yxdyxyxyxvyxv5. 點到子空間的距離與最小二乘法點到子空間的距離與最小二乘法向量之間的距離向量之間的距離第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間5. 點到子空間的距離與最小二乘法5. 點到子空間的距離與最小二乘法點到子空間的距離與最小二乘法向量到子空間的距離向量到子空間的距離 歐氏空間中的一個向量和一個子空間中的各個向量都有一個距離，最短的那個就定義為xwv從而，向量到子空間的距離為垂直向量的距離222)()(),()(),(,zxyzzxyzzxyzzxyxyxwzxw

10、zzxyxwyvxwx證明：其中對準則：第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間5. 點到子空間的距離與最小二乘法baaxabxaxaxaxxxbaxisisiniistt22211100201 )( , 下方程最小二乘解需要滿足如最小二乘法。叫做最小二乘解，這一方法這組數(shù)稱為此方程組的最小，使平方差找出一組數(shù)組定義：對于無解的方程用來解決最小二乘法問題用來解決最小二乘法問題書52頁之例第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間6. 復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）是復(fù)內(nèi)積空間。就稱，）且滿足有復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，記（量上的線性空間。如果向是定義：設(shè) 0),( ,0),( )4( ),(),(),( )3( ),(),( )2( )

11、,(),( ) 1 ( , vxxxxxzyzxzyxcyxyxxyyxyxvyxcv6. 復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）書中53頁之注第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間6. 復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）是酉空間。容易驗證規(guī)定的基，是維線性空間，上是例： ,),( , , 11121viyxeyexvyxveeencviniiiniiiniin 第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間6. 復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）也成立。不等式在酉空間內(nèi)仍然成立。）不等式（正交，與稱的長度。定義為復(fù)向量）（性質(zhì)：yxyxyxyxscyxyxyxxxxxyxzxyxzyxyxyx),(, 0),(),(0),(),)(3(),

12、(),(),)(2(),(),(1的轉(zhuǎn)置矩陣。為其中為酉矩陣，則稱且若的酉變換。稱為（都有上的線性變換，是酉空間定義：若aaaeaaaacavtyxtytxvyxvthhhnn,),(),第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間6. 復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）矩陣是酉矩陣。在任一標準正交基下的）（的標準正交基；也是則的標準正交基，是若；時，）當(dāng)（是酉變換）（命題互相等價：的線性變換，則下列各維酉空間是定理：設(shè)tvteteteveeextxvxtvntnn4,)3(2121, 21 酉變換酉變換 保持內(nèi)積不變 第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間6. 復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）量是酉正交的。不同的兩個列（行）向單位向量；的

13、每個列（行）向量是）（陣的乘積也是酉矩陣；也是酉矩陣，兩個酉矩）（；）（），（）（；的行列式的模等于）（的基本性質(zhì)：酉矩陣aaaaaaaaahhh432111111第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間7. 正規(guī)矩陣為對角陣。是正規(guī)陣，則定理：成為上三角矩陣。，使，則必存在酉陣定理：為正規(guī)陣。，且定義：若auuacaauuucascharaaaaacahnnhnnhhnn7. 正規(guī)矩陣正規(guī)矩陣對角矩陣 實對稱矩陣 實反對稱矩陣 厄米特矩陣 反厄米特矩陣 正交矩陣 酉矩陣第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間7. 正規(guī)矩陣交的。量是正，則其所對應(yīng)的特征向，且、的任二個特征值，厄米特矩陣。，的每個特征值）（或是純虛數(shù)；的特征值是）（的特征值全為實數(shù)；）（是正規(guī)矩陣，則有：推論nnhiihhhcaaaaeaaaaaaaaa)(:2130211書57-58頁之例第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間8. 厄米特二次型二次型，且秩不變。），仍為且經(jīng)滿秩線性變換定理：厄米特二次型的秩稱為二次型的秩。厄米特二次型。，復(fù)二次型；）（或定義：hccccyxaxxfaaxxfaaaxxxxacannhhhhjiniijnn0 ,( ,18. 厄米特二次型厄米特二次型第二章第二章 內(nèi)積空間內(nèi)積空間8. 厄米特二次型為標準型。例：化厄米特二次