九節(jié)二次曲面

1、第九節(jié)第九節(jié) 二次曲面二次曲面二次曲面的定義：二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面三元二次方程所表示的曲面.相應(yīng)地平面被稱為相應(yīng)地平面被稱為一次曲面一次曲面討論二次曲面性狀的討論二次曲面性狀的截痕法截痕法： 用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面一、基本內(nèi)容ozyx（一）橢球面（一）橢球面1222222 czbyax 橢球面與橢球面與三個坐標(biāo)面三個坐標(biāo)面的交線：的

2、交線：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax圖形有界，并且關(guān)于坐標(biāo)面對稱。圖形有界，并且關(guān)于坐標(biāo)面對稱。橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面橢球面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓kz 同理與平面同理與平面 x=k 和和 y=k 的交線也是橢圓的交線也是橢圓. kzkccbykccax1)()(2222222222ck |當(dāng)當(dāng)k k由由0 0變到變到c c時時, ,橢圓由大變小橢圓由大變小, ,最后縮成一點。最后縮成一點。橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax

3、旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面12222 czax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成z旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：122222 czayx方程可寫為方程可寫為與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.kz )| (ck ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(222222 kzkccayx截面上圓的方程截面上圓的方程方程可寫為方程可寫為（二）拋物面（二）拋物面zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq橢圓拋物面橢圓拋物面用截痕法討論：用截痕法討論：（1）用坐標(biāo)面）用坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得一點，即坐標(biāo)原點截得一點，

4、即坐標(biāo)原點)0 , 0 , 0(o設(shè)設(shè)0, 0 qp原點也叫橢圓拋物面的原點也叫橢圓拋物面的頂點頂點.圖形位于圖形位于xoyxoy平面的上方，并關(guān)于平面的上方，并關(guān)于yozyoz及及zoxzox坐標(biāo)面對稱。坐標(biāo)面對稱。與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.kz kzqkypkx12222當(dāng)當(dāng) k 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的圓的中心中心都在都在 z軸上軸上.)0( k與平面與平面 z=k (k0) 的交線為圓的交線為圓.當(dāng)當(dāng)k變動時，這種圓的變動時，這種圓的中心中心都在都在 z 軸上軸上.zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面）用截痕法討論：

5、用截痕法討論：設(shè)設(shè)0, 0 qp圖形如下：圖形如下：xyzo（三）雙曲面（三）雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax（1）用坐標(biāo)面）用坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得中心在原點截得中心在原點 的橢圓的橢圓.)0 , 0 , 0(o 012222zbyax與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 當(dāng)當(dāng) 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的圓的中心中心都在都在 軸上軸上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐標(biāo)面）用坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz截得中心在原點的雙曲線截得中心在原點的雙曲線. 012222yczax實軸與實軸與 軸相合，

6、軸相合，虛軸與虛軸與 軸相合軸相合.xz 122122221yybyczax雙曲線的雙曲線的中心中心都在都在 軸上軸上.y與平面與平面 的交線為雙曲線的交線為雙曲線.1yy )(1by ,)1(221by x實軸與實軸與 軸平行軸平行,z虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)2(221by z實軸與實軸與 軸平行軸平行,x虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)3(1by 截痕為一對相交于點截痕為一對相交于點 的直線的直線.)0 , 0(b,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕為一對相交于點截痕為一對相交于點 的直線的直線.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐標(biāo)面）用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( x