第十四章 拉普拉斯變換

1、第十四章第十四章 線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析 拉普拉斯變換拉普拉斯變換是一個(gè)是一個(gè)數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具，它可以將時(shí)域里的高階微分，它可以將時(shí)域里的高階微分方程變換為復(fù)頻域里的代數(shù)方程，從而大大簡(jiǎn)化求解過(guò)程。由于方程變換為復(fù)頻域里的代數(shù)方程，從而大大簡(jiǎn)化求解過(guò)程。由于這個(gè)變換是唯一的，因而復(fù)頻域里的解也唯一地對(duì)應(yīng)著原時(shí)域里這個(gè)變換是唯一的，因而復(fù)頻域里的解也唯一地對(duì)應(yīng)著原時(shí)域里微分方程的解，通過(guò)反變換即可得到微分方程的解。這樣就為分微分方程的解，通過(guò)反變換即可得到微分方程的解。這樣就為分析解決高階電路提供了一個(gè)簡(jiǎn)便和實(shí)用的方法析解決高階電路提供了一個(gè)簡(jiǎn)便和實(shí)用的方法運(yùn)算法運(yùn)算法

2、。因此，。因此，拉普拉斯變換涉及到正變換和反變換兩方面。拉普拉斯變換涉及到正變換和反變換兩方面。14-1拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義14-2拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)14-3拉普拉斯反變換的部分分式展開(kāi)法拉普拉斯反變換的部分分式展開(kāi)法14-4運(yùn)算電路運(yùn)算電路14-5應(yīng)用應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路拉普拉斯變換法分析線性電路14-1拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義一、一、 拉普拉斯變換的由來(lái)拉普拉斯變換的由來(lái) （一）（一） 傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)1、付氏三角級(jí)數(shù)付氏三角級(jí)數(shù) 如右圖如右圖fT(t)是一個(gè)周期函數(shù)，是一個(gè)周期函數(shù)，非正弦，若加在激勵(lì)端分析其非正弦，若加在激勵(lì)端

3、分析其響應(yīng)是很困難的，可以用第十響應(yīng)是很困難的，可以用第十二章將非正弦信號(hào)分解為傅立二章將非正弦信號(hào)分解為傅立葉三角級(jí)數(shù)。將其分解為葉三角級(jí)數(shù)。將其分解為f1(t) + f2(t) 。f1(t) 和和f2(t) 均為正弦信號(hào)均為正弦信號(hào)可以分別求其響應(yīng)，而后疊加可以分別求其響應(yīng)，而后疊加得到得到 fT(t) 的響應(yīng)。的響應(yīng)。 1.1 sincos21000nnnTtnbtnaatf 通常，一個(gè)周期為T(mén)的周期函數(shù)fT(t)，在-T/2，T/2上滿足狄里赫利條件，總可以分解為如下的正弦函數(shù)的和：其中：T 為周期函數(shù)fT(t)的周期； 為基波角頻率 ；T20 tdtntfTbtdtntfTadttf

4、TaTTTnTTTnTTT022022220sin2cos222、傅氏級(jí)數(shù)的指數(shù)形式2、傅氏級(jí)數(shù)的指數(shù)形式利用歐拉公式：sincosjejtjntjntjntjneezjtneetn00001sin21cos00或：式1.1可寫(xiě)為： 10101000000000 222 222ntjnntjnnnnntjnnntjnntjntjnntjntjnnTececcjbaejbaeajeebeeaatf式中 ： 1,2,3n 1212122200222200dttfTacdtetfTjbacdtetfTjbacTTTjnTTTnnnjnTTTnnntt上式可合成為: 3 2, 1 , 0 1022nd

5、tetfTctjnTTTn故1.1可寫(xiě)為: 1.2 0ntjnnTectf 付氏級(jí)數(shù)的物理意義：用正弦函數(shù)的疊加來(lái)等效任意的非正弦周期函數(shù)。3、傅氏變換傅氏變換 當(dāng)周期函數(shù)fT(t)在所討論的區(qū)間上滿足狄里克利條件, fT(t)可展開(kāi)為付氏級(jí)數(shù)： ntjnnTectf0 dtetfTctjnTTTn0221其中：定義：令定義：令n0 0 =， 則定義周期函數(shù)則定義周期函數(shù)fT(t)的傅里葉變換為：的傅里葉變換為： dtetfcTFtjTTTnT22則則FT()()傅立葉反變換傅立葉反變換為：為： tjnTTeFTtf1問(wèn)題：我們遇到的大量的非周期函數(shù)怎么進(jìn)行傅傅里葉變換呢？ 對(duì)于一個(gè)非周期函數(shù)

6、對(duì)于一個(gè)非周期函數(shù)f(t)，可以認(rèn)為是周期函數(shù)，可以認(rèn)為是周期函數(shù)fT(t) 在在T時(shí)演變而來(lái)。時(shí)演變而來(lái)。 當(dāng)當(dāng)n n 無(wú)窮小時(shí)無(wú)窮小時(shí), ,頻譜就成為連續(xù)的頻譜就成為連續(xù)的, ,但但Cn仍可以是有仍可以是有限值（因?yàn)楫?dāng)限值（因?yàn)楫?dāng)TT時(shí)，時(shí)，C Cn n無(wú)窮小），因而仍可定義無(wú)窮?。?，因而仍可定義T TCn為非周為非周期函數(shù)的付氏變換期函數(shù)的付氏變換, ,因而對(duì)于非周期函數(shù)因而對(duì)于非周期函數(shù)f(t)（相當(dāng)于（相當(dāng)于TT）有：）有： deFtftftjTT21lim dtetfFtj記為： tfFtftfFF11 1 f(t)滿足狄里克利條件滿足狄里克利條件2 2 f(t)在在( -,+,+

7、)上絕對(duì)可積上絕對(duì)可積 成立條件：成立條件：4、付氏變換的物理意義：付氏變換的物理意義： （1 1）把 f(t)看成無(wú)窮多個(gè)0頻率、振幅為無(wú)窮小的正弦波的合成。F()是頻譜密度，也是單位頻率所貢獻(xiàn)的振幅。 （2）非周期函數(shù) f(t)可表示成 -+ 頻率的指數(shù)函數(shù)的連續(xù)和。 （二）（二） 拉普拉斯變換（拉普拉斯變換（Laplace變換）變換） 1 1、問(wèn)題的提出：、問(wèn)題的提出： 付氏級(jí)數(shù)可以將一個(gè)非正弦的周期信號(hào)分解為若干個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)的疊加。付氏變換則可將時(shí)域里的信號(hào) f(t) 表達(dá)式轉(zhuǎn)換為頻率的表達(dá)式（頻域），從而方便了頻譜分析。 而我們?cè)诜治鰟?dòng)態(tài)電路，尤其是高階動(dòng)態(tài)電路時(shí)，最困難的是

8、解時(shí)域里的高階微分方程。能否借鑒付氏變換的思路，利用數(shù)學(xué)工具將時(shí)域函數(shù)也進(jìn)行一番變換，最后將時(shí)域里的高階微分方程，變換成另一域里的代數(shù)方程以便于求解呢？ 付氏變換說(shuō)： 存在付氏變換的條件存在付氏變換的條件：一是：一是滿足狄里克利條件（連續(xù)或有限個(gè)第一間斷點(diǎn)，區(qū)間內(nèi)收斂）；二是二是在(-,+)上可積，就一定存在古典意義下的付氏變換。但絕對(duì)可積的條件是很強(qiáng)的，許多函數(shù)，即使是很簡(jiǎn)單的函數(shù)（單位階躍函數(shù)，正弦函數(shù)，余弦，以及線性函數(shù)等）都不滿足這個(gè)條件。 其次，其次，可以進(jìn)行付氏變換的函數(shù)必須在整個(gè)自變量軸（時(shí)間軸）上有意義。但在物理、電子技術(shù)等實(shí)際應(yīng)用中，許多以時(shí)間為自變量的函數(shù)往往在t00）。（

9、1）(t)(t)可以使在t0 0時(shí)的無(wú)意義變?yōu)橛幸饬x（均等于0）。因而可以使(-,+)區(qū)間變?yōu)?,+)區(qū)間。（因?yàn)樵?-,0)上值為0，不需考慮）。 （2）e-t可以使可能不可積的函數(shù)(t)變得絕對(duì)可積，最后改造好的函數(shù)為g(t)=(t) (t) (t)(t)e -t 。只要選得合適，這個(gè)函數(shù)g（t）的付氏變換總是存在的。 于是對(duì)(t)(t)乘以(t)(t)和e-t，再求付氏變換的運(yùn)算，就產(chǎn)生了拉普拉斯變換 。2 2、拉普拉氏變換、拉普拉氏變換 00)()( )( )()(dtetfdtetfdteettGsttjtjt式中 S= +j 稱為復(fù)頻率算子； f(t)= (t)(t) 實(shí)際上還是(

10、t)。 上式運(yùn)算實(shí)際上相當(dāng)于對(duì)任意函數(shù)上式運(yùn)算實(shí)際上相當(dāng)于對(duì)任意函數(shù)f(t)(t)乘以乘以e-s st后在后在0,+,+上上取積分。這個(gè)運(yùn)算就是拉氏變換。此時(shí)取積分。這個(gè)運(yùn)算就是拉氏變換。此時(shí)G()的變量由的變量由轉(zhuǎn)為轉(zhuǎn)為s，可記為可記為F（s）。若將若將f（t）的拉氏變換記為）的拉氏變換記為F( (s) )，則，則：dtetfsFst)()(0定義：定義：一個(gè)定義在0,+)區(qū)間上的函數(shù)f(t)，它的拉氏變換式為：0)()(dtetfsFst記作：F(s)=Lf(t) 數(shù)學(xué)上可記為0,+ ，電工中由于需要考慮(t)函數(shù), 而(t)又僅在0- 0+上有效，為了也能將(t)考慮在內(nèi), 因此區(qū)間定為

11、 0- +) 。拉氏反變換定義為：dsesFf(t)jcjcts 1 - )( j 21F(s)L說(shuō)明說(shuō)明: : (1) f(t)是時(shí)域里的函數(shù)；F(s)是復(fù)頻域(s域)里的函數(shù),與t無(wú)關(guān)；拉氏變換是從時(shí)域時(shí)域到復(fù)頻域復(fù)頻域的變換,是唯一的。 （2）式中s= +j 是復(fù)變量，稱為復(fù)頻率。為虛變量，是振蕩頻率；為實(shí)變量，是衰減系數(shù)。 （3）變換條件：(拉氏變換存在定理) a .在t0時(shí)的任意區(qū)間上f(t)分段連續(xù)。 b當(dāng)t時(shí)，f(t)的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù)，即總存在常數(shù)M0及C0,使下式成立：|f（t）|M ect 。（0t+） 滿足條件a、b的f（t）的拉氏變換F（s）總存在：dtetf

12、sFst0)()(習(xí)慣上稱F(s)為f(t)的象函數(shù)；而稱f(t)為F(s)的原函數(shù)。（三）例題（三）例題1 1、求、求(t)(t)的拉氏變換的拉氏變換L(t)(t) 。解：解： sesdeesdtedtettLststststst1|11 1)()(00002 2、求、求L（t） 解：解：1)(0)()()(000000 0dttdtdtetdtettLsst3、 求求L(t-T) 解：解：sTTstTstTsteesdtedtdteTtTtLs1 |1 10 )()(001)( tL S1 tL sTeTtS1L 由此可推出如下結(jié)論：如果如果f（t）F（s），），則則 f(t-T)(t-T

13、)F(s)F(s)e e-sT-sT 。4、求e ett(t)(t)的拉氏變換。 sesdtedteteteLtstssttt1 |1)()(0)(0)(0 seft1F(s) (t) seft1F(s) (t) 則指數(shù)衰減函數(shù)5、求求Lsint、Lcost )(sin|coscostcosstsin1|tsin1tsin1tsinF(s)tLsin222022020200000sFssdtetstesdetsdetdesesedsdtestststststststst2222202221tsin)()(F(s)tLsinsssdtesFsFssst22sinstL同理可得： 22cossst

14、L 求拉氏變換式，都是利用定義式通過(guò)求積分得到，別無(wú)它法。工程上，常常將常用函數(shù)的拉氏變換事先求出來(lái)，制成一個(gè)對(duì)照表,查P351表得到。 但表格中能列出的總是有限的，這時(shí)可以利用拉氏變換的可以利用拉氏變換的基本性質(zhì)，由一個(gè)拉氏變換式推出另一個(gè)函數(shù)的拉氏變換?；拘再|(zhì)，由一個(gè)拉氏變換式推出另一個(gè)函數(shù)的拉氏變換。 14-2 14-2 拉氏變換的基本性質(zhì)拉氏變換的基本性質(zhì) 一、一、 唯一性：唯一性： 定義在定義在0，)區(qū)間上的時(shí)域函數(shù)區(qū)間上的時(shí)域函數(shù)f（t）與其在復(fù)與其在復(fù)頻域上的象函數(shù)頻域上的象函數(shù)F（s）存在存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。二、二、 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 如果Lf1（t）=F1(s

15、)， Lf2（t）=F2(s)， 則LA1 f1(t)+A2 f2(t)= A1 F1(s)+A2 F2(s) 例 1、 f(t)=A(t)A(t-T) 求F(s)。 解：解：stetfLsFsAsA T)-(tLA-(t)LA )()(例 2、f(t)=A(1-e-t)(t) 求Lf(t) sAsFsA(t)eLA-(t)LA)(t-例3、 f1（t）=sint， f2（t）=cost ，求F1（s）和F2（s）。 解：解：22 1s 112j1 )(21sin)(FjsjseejLtLstjtj222s 1121 )(21cos)(FsjsjseeLtLstjtj2222s cos s s

16、in stLtL三、微分性質(zhì)：三、微分性質(zhì)： 若某函數(shù)的象函數(shù)為： Lf(t) = F(s)，則： )(dttdfL)0()(fsFs例例4、求 的象函數(shù)。 )()(tdtdt解：解：stL1)(1 )0(1)( sstL例例5、已知 ： ，求 Lcost 。22sinstLsin1cosdttdLtL解解：0sin1 22ss22 cos sstL四、積分性質(zhì)：四、積分性質(zhì)： 若Lf(t)=F(s) 則： ssFdfLt)()(0例例6 求Lt。 sdtt1(t)L and )(0解：解：211ssstL進(jìn)一步可求得： 322 stL32121stL1!mmsmtL 其中m為正整數(shù) 五延遲性

17、質(zhì)：五延遲性質(zhì)： 如果Lf(t)=F(s)則： sTesFTtTtfL)()()(例例7 求圖示函數(shù)的象函數(shù)。 解：解：)()()(2)(321TtTtTttfsTsTsTesesessF321112)(sTeTtS1L 回顧：六位移性質(zhì)：六位移性質(zhì)： 如果Lf(t)=F(s)則：Letf（t）=F(s+)。 seeftt1F(s) t(t) 例8 求Le-tsint 22sinstL解：22 )(sinsteLt22)(cosssteLt同理可得：七周期性質(zhì)：七周期性質(zhì)： 若Lf（t）=F（s），其中： 0tT 時(shí)f（t）= fT（t）； 若T為其它值時(shí)， f（t）=0，則以f（t）為一個(gè)周

18、期的周期函數(shù)fT（t）的象函數(shù)為：sTTesFtfL1)()(，其中 T為周期。 例例9、求圖示半波整流電壓u（t）拉氏變換（象函數(shù)）。 利用拉氏變換的周期性質(zhì)簡(jiǎn)便一些： (1)第一個(gè)波形f1（t）的象函數(shù)為： )1 ()(2221STmesEsF(2)以f1（t）為一個(gè)周期波形，周期為T(mén)的周期函數(shù)u（t）的象函數(shù)為： TSesFtuL1)()(1STmesE2221114-3 拉氏反變換（部分分式法）拉氏反變換（部分分式法） 學(xué)習(xí)拉氏變換的主要目的之一就是通過(guò)拉氏變換將時(shí)域里難以解決的高階微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（S域）里的代數(shù)方程，便于求解。當(dāng)求出待求量的象函數(shù)后，還必須通過(guò)拉氏反變換才能得到

19、時(shí)域里待求量的原函數(shù)。因此，拉氏反變換也是解題的極為關(guān)鍵的一步。 拉氏反變換的定義為： dsesFjtfjcjcst)(21)( 但一般情況求拉氏反變換都不用此定義式，因?yàn)檫@樣的積分太麻煩了。前邊已介紹了拉氏變換的唯一性及常見(jiàn)函數(shù)的拉氏變換對(duì)照表。對(duì)于比較簡(jiǎn)單的拉氏反變換可以通過(guò)查P351表得到，但對(duì)于較復(fù)雜的象函數(shù)，則可通過(guò)下邊的部分分式法分解為簡(jiǎn)單的象函數(shù)之和，然后分別查表并利用線性性質(zhì)得到。 部分分式法： 就是將任意一個(gè)有理函數(shù)分解為許多簡(jiǎn)單項(xiàng)之和，而這些簡(jiǎn)單項(xiàng)都可以在拉氏變換表中找到。從而得到完整的拉氏反變換式稱為部分分式法部分分式法，或稱為分解定理分解定理。 部分分式法是進(jìn)行拉氏反變

20、換的主要方法。 比如： 分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單分式之和，從而分別查表得到原函數(shù)。 nnnmmmbsbsbasasasDsNsF110110)()()(例如：651)(2sssF3121) 3)(2(1ssss)()()( 32teetftt 由于這里F（s）比較簡(jiǎn)單，從分式到部分分式和，可以用觀察法或拼湊法得到，但如果給定的象函數(shù)比較復(fù)雜，用觀察法和拼湊法就不能揍效了。下邊就系統(tǒng)地介紹部分分式法的規(guī)范步驟和系統(tǒng)地介紹部分分式法的規(guī)范步驟和方法。方法。 一、一、F（S）為真分式情況。）為真分式情況。1 1、若分母、若分母D（s）=0具有具有n個(gè)單實(shí)根：個(gè)單實(shí)根：即：即： nnnmmmbsbsbasas

21、asDsNsF110110)()()( 為真分式情況（m n）的情況）的情況先用長(zhǎng)除法變成真分式，再用部分分式法求反變換。 )()( )( )()()()()()(01100sDsNcscscsDsNsAsDsNsFrrr為真分式)()()()()(11)1(1)(0tctctctctf例例9 9、 ，求拉氏反變換（求原函數(shù)）。 4564)(22ssssF解：解：414)4)(1(10204)(21skskssssF370|41020| )()4(310|41020| )() 1(44121111sssssssFsKsssFsK41370113104)(sssF)()370310)(4()(4

22、teettftt 在電工技術(shù)中遇到的F（S）在是假分式時(shí)，一般情況下為分子分母次數(shù)相同，這時(shí)原函數(shù)中出現(xiàn)沖激函數(shù)，若分子的次數(shù)比分母高，原函數(shù)中必然出現(xiàn)沖激函數(shù)的微分。 21)(23sssssF例如：23111s )2)(1(141214) 1()(2sssssssssssF)()3)()( ()(2teetttftt14-4 運(yùn)算電路運(yùn)算電路 先回顧一下前幾次課的內(nèi)容： 1、拉普拉斯變換，即由原函數(shù)原函數(shù)象函數(shù)；象函數(shù)；用定義積分和性質(zhì)2、拉普拉斯反變換，由象函數(shù)象函數(shù)原函數(shù)；原函數(shù)；部分分式法存在的問(wèn)題：對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的高階動(dòng)態(tài)電路來(lái)說(shuō)，寫(xiě)出高階微分方程本身就是一件十分困難的事，怎么辦？有

23、沒(méi)有一個(gè)簡(jiǎn)單的辦法可以避開(kāi)寫(xiě)微分方程，而可以直接方便地寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的S域的代數(shù)方程呢？解題解題思路思路是：是： 時(shí)域n階微分方程S域的代數(shù)方程待求量的象函數(shù)對(duì)應(yīng)的待求量原函數(shù)有！有！先將時(shí)域電路轉(zhuǎn)換為S域的運(yùn)算電路模型，在運(yùn)算電路模型中直接寫(xiě)出S域的代數(shù)方程。先看電路元件的運(yùn)算模型：一、電路元件的運(yùn)算模型一、電路元件的運(yùn)算模型1、電阻元件R：時(shí)域：u（t）=Ri（t） 電阻為R，量綱為； 復(fù)頻域：U（s）=RI（s） 復(fù)阻抗：Z（s）=R 2、電感元件、電感元件 L ：dtdiLtuLL)(時(shí)域：電流初始值為：iL(0) 0LLLiLsILssU 可看作附加電壓源。方向和UL（s）相反。 0LiL

24、復(fù)阻抗Z（s）=Ls 3、電容元件、電容元件C：時(shí)域： 電容初值為uc（0） dtduCticc)()0()()(cccCusUsCsIsusIsCsUccc)0()(1)(sCsZsUsucc1)()(,)0(復(fù)阻抗相同方向和為附加電壓源4、電源電源us（t），），is（t） 的運(yùn)算模型：思考題：1 思考題2 ：思考題3： 有互感問(wèn)題如何畫(huà)運(yùn)算電路。 dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MisIMsiLsIsLsUMisIMsiLsIsLsU如果同名端同名端或一個(gè)電流方向改變一個(gè)電流方向改變呢

25、？請(qǐng)自己做一下請(qǐng)自己做一下！二、二、KCL、KVL方程運(yùn)算形式：方程運(yùn)算形式： 對(duì)任一結(jié)點(diǎn)，KCL：i=0 對(duì)任一回路，KVL：u=0 I（s）=0 U（s）=0 14-5 應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路步驟：1、求出儲(chǔ)能元件的初始值： uC（0-0-），），iL（0-），）， 目的目的是：求儲(chǔ)能元件的附加電壓源。 2、畫(huà)對(duì)應(yīng)的運(yùn)算電路圖。 注意：直流電源的運(yùn)算模型電源的運(yùn)算模型和附加電壓源方向附加電壓源方向。3、在運(yùn)算模型上直接運(yùn)用KCL、KVL，以及適用于直流電路的所有分析方法和定理，寫(xiě)出電路方程，求解待求量在S域里的象函數(shù)。4、用部分分式法進(jìn)行拉氏反變換，得

26、到對(duì)應(yīng)時(shí)域電路里的解。一、例題1、圖示電路，已知is=1A，us(t)=e -3t，求ic(t)=？（t0）。 解：解： （1）求初始值 指uc（0-）、iL（0-）： iL（0-）=is=1A L iL（0-）=1 uc（0-）=3V uc（0-）/s=3/s（2）畫(huà)運(yùn)算電路圖： )0()()()0()(1)(LLLCCCLisLsIsUsusIcssU（3）建立方程，求出待求量iC（t）的象函數(shù)IC（s），可用4種方法。 支路電流法：31321)3(1ssIsIssIICLLC回路法（IC回路方程）： 13311)3()23(ssssIssC321)23)(3( 3212sKsKsKsss

27、sIC節(jié)點(diǎn)電壓法：如圖取參考節(jié)點(diǎn)和Un1 sssssUssn2313311)231(1Un1)23(692221sssssUn戴維南定理： ) 3)(2)(1(21311sssssssUInC3311) 3(sZsssUeqOC) 3)(2)(1(23313ssssssssUIOCC（4）拉氏反變換（部分分式法）： 35 . 12215 . 0321 321321ssssKsKsKssssIC)()5 . 125 . 0()(32teeetitttC小結(jié)：小結(jié)：運(yùn)算法1、 求獨(dú)立初始條件：求獨(dú)立初始條件：uc（0-），），iL（0-）2 2、畫(huà)運(yùn)算電路圖、畫(huà)運(yùn)算電路圖 * 獨(dú)立電源以象函數(shù)表示

28、。獨(dú)立電源以象函數(shù)表示。* 各支路電壓電流也以象函數(shù)表示。各支路電壓電流也以象函數(shù)表示。* 開(kāi)關(guān)畫(huà)動(dòng)作后的狀態(tài)。開(kāi)關(guān)畫(huà)動(dòng)作后的狀態(tài)。 3 3、用直流穩(wěn)態(tài)電路的所有方法、定理和定律來(lái)建立方程（運(yùn)、用直流穩(wěn)態(tài)電路的所有方法、定理和定律來(lái)建立方程（運(yùn)算電路的電路方程）求待求量的象函數(shù)。算電路的電路方程）求待求量的象函數(shù)。 4 4、用部分分式法進(jìn)行拉氏反變換，得到時(shí)域里待求量表達(dá)式。、用部分分式法進(jìn)行拉氏反變換，得到時(shí)域里待求量表達(dá)式。 例例2、具有互感的問(wèn)題 圖示電路，已知L1=1H，L2=4H，M=2H，R1=R2=1，is=1A。 求i1（t），i2（t） （t0）。 解：解：求初始值： i1(

29、0)=1A i2(0-)=0AL1 iL(0-)=1， L2 iL(0-)=0 畫(huà)運(yùn)算電路圖 )0()()0()()( U 22111112111MisMsIiLssILsdtdiMdtdiLu)0()()0()()( U 22221122212iLssILMisMsIsdtdiLdtdiMu或者：)(1)()0()()0()()(U2112211111sMsIssILMisMsIiLssILs)(2)()0()()0()()(U2212222112ssILsMsIiLssILMisMsIs列方程： )(22)() 14(1)(2)() 1(1221ssIsIsssIsIs51152152)(

30、51151151)(21sssIsssI拉氏反變換 (A) )(52)( (A) )(51)(2 . 022 . 01tetitetitt二、輸入阻抗二、輸入阻抗例3、 在零狀態(tài)下，將電路轉(zhuǎn)化成運(yùn)算電路后電路的端口復(fù)阻抗Z（s）。(是s的函數(shù)) 求下圖零狀態(tài)電路的輸入阻抗。 解：（1）畫(huà)運(yùn)算電路圖。 （2）用串并聯(lián)關(guān)系求 Zin(s)。 sssssssZin1231)23(11/)23(1)(123353123231222sssssss 比較兩個(gè)復(fù)阻抗Z(s)和Z(j)可知：這兩種計(jì)算方法是可以類比的，只是算子不同，一個(gè)為s，一個(gè)為j。都是為了方便分析計(jì)算，將電路從時(shí)域轉(zhuǎn)換到其它復(fù)頻域中。 思

31、考一下： 如果這個(gè)電路加上正弦激勵(lì)信號(hào)，就可以采用相量法，要畫(huà)出相量模型。1233531/)23(1)(22jjjjjjjZin 12335322sssssZin例例4、求輸入阻抗Zin( (s) )。 解：解：畫(huà)運(yùn)算電路 * 零狀態(tài)下，所有附加電壓源為0。* 保留受控源不變，控制量用相應(yīng)象函數(shù)表示。* 含受控源時(shí)求Zin（s）用外加激勵(lì)法。 用外加激勵(lì)法計(jì)算： )(7)(6)(3)()()(4)(2)()()(11sIsIsIUsIsIsIssIsUsUsULLLIssIIU)282(282228)(sIUsZin三、分析帶強(qiáng)迫躍變的問(wèn)題三、分析帶強(qiáng)迫躍變的問(wèn)題 由于電路換路后電路結(jié)構(gòu)的改變

32、，使得電路的電壓或電流被強(qiáng)迫發(fā)生突變。比如書(shū)上P363 例14-13 ：例題例題5、圖示電路，K在t=0時(shí)打開(kāi)，求：t0時(shí) i1(t)，u1 (t) ， u2 (t) 。 若在時(shí)域里分析非常麻煩，要用到磁通鏈?zhǔn)睾銇?lái)分析，現(xiàn)在用運(yùn)算法來(lái)分析： 定性分析：定性分析：集總電路在任何時(shí)刻都必須滿足KCL、KVL。在K打開(kāi)的瞬間t=0+時(shí)，也要滿足KCL、KVL。因此會(huì)使i1（0+）和i2（0+）強(qiáng)迫達(dá)成一致。解：解：(1) i1（0）=10/2=5A i2（0）=0A 。（2）畫(huà)運(yùn)算電路圖： （3）列方程計(jì)算象函數(shù)31 . 023 . 05 . 110)(1ssssI)5 .12(5 . 275. 3

33、)54 . 0(105 . 1ssssss5 . 1)5 .1275. 12(3 . 05 . 1)(3 . 0)(11ssssIssU5 .125625. 6375. 0s5 .1275. 12ss)5 .1275. 12(1 . 0)(1 . 0)(12ssssIssU5 .1219. 2375. 0s（4）拉氏反變換 )(A )()75. 12()(25 .121titetitV )(5625. 6)(375. 0)(5 .121tettutV )(19. 2)(375. 0)(5 .122tettut（5）畫(huà)出波形： )(A )()75. 12()(25 .121titetitV )(5625. 6)(375. 0)(5 .121tettutV )(19. 2)(375. 0)(5 .122tettut說(shuō)明：說(shuō)明：* 應(yīng)用拉氏變換分析電路問(wèn)題時(shí)，從0時(shí)刻考慮起。* 拉氏變換后的電路（運(yùn)算電路）也必然滿足KCL、KVL。 i1(t)從5A3.75A,必然存在一個(gè)反向沖激電壓加在L