矩陣的合同變換

1、矩陣的合同變換摘要：矩陣的合同變換是高等代數(shù)矩陣理論中，基本交換。在高等代數(shù)里，我們僅討論簡單而直接的變換，而矩陣的合同變換與矩陣相似變換，二次型等有著諸多相同性質和聯(lián)系。關鍵詞：矩陣 秩 合同 對角化定義1：如果矩陣a可以經過一系列初等變換變成b，則積a與b等價，記為定義2：設a，b都是數(shù)域f上的n階方陣，如果存在數(shù)域f上的n階段可逆矩陣p使得，則稱a和b相似定義3：設a，b都是數(shù)域f上的n階矩陣，如果存在數(shù)域f上的一個n階可逆矩陣p，使得那么就說，在數(shù)域f上b與a合同。以上三個定義，都具有自反性、傳逆性、對稱性、 性。定理1：合同變換與相似變換都是等價變換證明：僅證合同變換，相似變換完全相

2、似因為p可逆，所以p存在一系列初等矩陣的乘積，即。此時邊為一系列初等矩陣的乘積若 則b由a經過一系列初等變換得到。所以，從而知合同變換是等價變換。定理2：合同變換與相似變換，不改變矩陣的秩證明：由 知，合同變換與相似變換都是等價變換，所以不改變秩定理3：相似矩陣有相同特征多項式證明：共又因為為對稱矩陣所以 注合同不一定有相同特征多項式定理4：如果a與b都是n階實對稱矩陣，且有相同特征根，則a與b相似且合同論：設a，b為特征根均為，因為a與b實對稱矩陣，所以則在n階正 矩陣，使得從而有由從而有從而又由于為正交矩陣所以且定時5：兩合同矩陣，若即，若a為對稱矩陣，則b為對稱陣，而兩相似矩陣則不一定有

3、些性質證明：即，若對稱陣，則 所以b邊為對稱陣注：相似矩陣對此結論不具有一般性，它在什么情況下成立呢？引理6：對稱矩陣相似于對角陣a的每一個特征根有秩，s為的重數(shù).證明：任給對稱的n階矩陣a一個特征根，以其重數(shù)以秩，則，線性無關的解向量個數(shù)為個，即5個又因屬不同特征根的特征向量線性無關n階對稱陣a有n個線性無關的特征向量n階對稱陣可對角化從定理5，引理6中我們發(fā)現(xiàn)了合同在應用中的側重點，如對二次型應用例 求一非線性替換，把二次型二次型矩陣為對a相同列與行初等變換，對矩陣e，施行列初等變換可把二次型化為標準型解法（2）此時此時非線性退化替換為發(fā)現(xiàn)在注1：任意對稱陣合同的對角陣及其變換陣不是唯一確

4、定的特性1：在合同變換中具有變換和結果的多樣性注：在對角陣上元素相等及其它元素元素邊相等情況下又有哪些性質呢？例3用可逆性變換化二次型解：對二次型矩陣為標準形，則注當p改變兩行的位置交換后，發(fā)現(xiàn)定理2：在a為對角線上元素相等，其余元素也相等，則若有，則調整p的任意兩行，對角陣形式不變。證明：設初等變換的對調變換矩陣為j，顯然于是有而p與jp相比僅是行的排列順序不同，因此任意調整p的行，所得對角陣相同。注以上為特殊條件下成立，如果在一般情況下呢？例4求實對稱矩陣求可逆陣p使得為對角陣我們得到定理7：設 對稱矩陣，b為對角矩陣，若要調換b對角線上任意兩個元素的位置得到，則只要調控b中對左的兩列，可

5、得到p，使得，即p的列與b中元素的對應性。證明：初等調換矩陣為j，顯然與相比，只是列的排列順序發(fā)生了改變的列與b的對角線上元素具有對應性自己寫例定理8：如果對角線上的元素分別擴大得，則不要將p中對應的對應角線元素擴大，即可得到使得證明：設初等變換的倍乘變換矩陣為（對角線上第j個元素）形，則有中第j個元素為b的倍而，且其中對角線j個元素是p中對角線元素cj倍。例：已知對稱矩陣求可逆矩陣p，使且對角形式解對單位陣e進行相應列初等變換得則有則此時有得綜上所述合同變換不僅與相似變換有著某千絲萬縷的聯(lián)系，而且其本身也有著變換矩陣多樣多樣，和結果的不確性，在對其特 性與性質的聯(lián)系中帶來許多解題更多思路與方

6、法。主要參考文獻1北大數(shù)學系，高等代數(shù)第二版2上海交大線性代數(shù)編寫。線性代數(shù)（第三版）m3張禾瑞 高等代數(shù)m4付立志對稱矩陣對角化相似變換模型5王曉玲矩陣三種關系問聯(lián)系6 brickell ef a few results in message autheutication congress numerantium 1984 43 141154矩陣的合同變換及性質定義：設a，b是數(shù)域f上兩個階矩陣，如果存在一個階可逆矩陣p使得成立，那么 b與a合同特性：合同變換具有模型化，程序化的簡便性。引理1：在矩陣中，任意對角矩陣與合同j對角陣證明：數(shù)學歸納法當時，定理顯然成立設時，定理對階對稱陣成立，a

7、上階對稱囝若則a本身已為對角陣不妨設（1）討論a的對角線上元素不全為0的情況，這都可通過三行或列初等變換，使得這里是階對稱陣，由歸納假設，存在則有階可逆陣，使現(xiàn)取則（2）若，由，可通過對應的行列初等變換，使問題歸結到i的情懷合同矩陣變換的應用，主要應用于二次型上，而二次型主要對積矩陣，而二次型化簡，一般都歸結為對稱實矩陣a的合同變換在特性1：合同變換具有模型化，程序化的簡便性定理1：若在對稱矩陣a的下六并上一個單位矩陣，作列變換，則對的行與列分別六色以一系列的對稱，初等變換使其式為對角陣時， 單位陣成為a的合同變換矩陣。特性2：合同變換具有變換和結果的多樣性，采取不同的合同變換，不僅可以得到不

8、同的對角矩陣而且還可以得到相同的對角陳例：已知實對稱矩陣求可逆矩陣p，使為對角矩陣解由于且，可見為使 為對角矩陣，實質上是使合同于對角矩陣故可逆矩陣（2）定理3：設為對稱矩陣，b為對角矩陣，若要調換b的對角線上任意兩個元素的位置得到，則只要調換p中對應兩列，可得到，使得，即p的列與的列與b具有對應性。說明：沒妝等變換的對調多換矩陣為j，顯然，與相比， 列的排列順序不同，因此，p的列與b的對角線上元素具有對應性。特性3：合同變換具有變換矩陣列但是與對角線元素的對應性。定理4：若要將b的對角線上第j個元素擴大得到，則只要得p中對應第j列擴大c倍，即得到，使得證明：設初等變換的倍乘變換矩陣為（的對角線上第j個元素為c，其余為1）顯然中的第j個元素b的我們發(fā)現(xiàn)j合同變換在對角化中有簡易行，凸現(xiàn)其方法（變換矩陣）和結果（對角陣）的二、合同變換的本質在n階實對稱陣a和b的正負慣性指標都一樣，則有表示為a到b的合同變換矩車構成的集合。引理1：假設實對稱矩陣a和b的正負慣性指標都一樣，則為群證明：對于任意的，則存