數(shù)理統(tǒng)計(jì)：ch3 假設(shè)檢驗(yàn)

1、休息休息結(jié)束結(jié)束第三章第三章 假設(shè)檢驗(yàn)休息休息結(jié)束結(jié)束根據(jù)樣本的信息檢驗(yàn)關(guān)于總體的某個假設(shè)是否正確。參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)休息休息結(jié)束結(jié)束讓我們先看一個例子：讓我們先看一個例子：參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn) 罐裝可樂的容量按標(biāo)準(zhǔn)為355毫升。生產(chǎn)流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運(yùn)。怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？休息休息結(jié)束結(jié)束通常的辦法是進(jìn)行抽樣檢查：通常的辦法是進(jìn)行抽樣檢查：如每隔如每隔1小時(shí)，抽查小時(shí)，抽查5罐，得到一個容罐，得到一個容量為量為5的子樣的子樣（ x1，x5 ）。 每隔一定時(shí)間，抽查若干罐每隔一定時(shí)間，抽查若干罐 。如何根據(jù)這些值來判斷生產(chǎn)是否如何根據(jù)這些值來判

2、斷生產(chǎn)是否正常？正常？休息休息結(jié)束結(jié)束 在正常生產(chǎn)條件下，由于種種隨機(jī)因素的影響，每罐可樂的容量應(yīng)在355毫升上下波動。這些因素中沒有哪一個占有特殊重要的地位。因此，根據(jù)中心極限定理，假定每罐容量服從正態(tài)分布是合理的。2XN(,) 休息休息結(jié)束結(jié)束要檢驗(yàn)的假設(shè)：要檢驗(yàn)的假設(shè)：0 H0：（ = 355）0 對立假設(shè)：對立假設(shè)：H1：0 稱稱 H0為為原假設(shè)（零假設(shè)）；原假設(shè)（零假設(shè)）；稱稱 H1為為備擇假設(shè)（對立假設(shè)）。備擇假設(shè)（對立假設(shè)）。在實(shí)際工作中，往往在實(shí)際工作中，往往把不輕易否定的命題作把不輕易否定的命題作為原假設(shè)。為原假設(shè)。 休息休息結(jié)束結(jié)束如何判斷原假設(shè)如何判斷原假設(shè) H0 是否成

3、立？是否成立？X355 不不應(yīng)應(yīng)太太大大X 為為的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)X355 考考慮慮對差異作定量的分析，以確定其性質(zhì)：對差異作定量的分析，以確定其性質(zhì)：1. 差異可能是由抽樣的隨機(jī)性引起的，稱為差異可能是由抽樣的隨機(jī)性引起的，稱為“抽樣誤差抽樣誤差”或或 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差休息休息結(jié)束結(jié)束X3- -X355 若若較較大大合理的界限在何處？合理的界限在何處？應(yīng)由什么原則來確定？應(yīng)由什么原則來確定？必須認(rèn)為這個差異反映了事物的本必須認(rèn)為這個差異反映了事物的本質(zhì)差別，即反映了生產(chǎn)已不正常。質(zhì)差別，即反映了生產(chǎn)已不正常。這種差異稱作這種差異稱作“系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差” 2. 休息休息結(jié)束結(jié)束帶概率性質(zhì)的反

4、證法小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會發(fā)生。方法：方法：原則：原則：休息休息結(jié)束結(jié)束例例這里有兩個盒子，各裝有這里有兩個盒子，各裝有100個球。個球。另一盒中的白球和紅球數(shù)另一盒中的白球和紅球數(shù)99個白球個白球一個紅球一個紅球99個個一盒中的白球和紅球數(shù)一盒中的白球和紅球數(shù)99個紅球個紅球一個白球一個白球99個個休息休息結(jié)束結(jié)束現(xiàn)從兩盒中隨機(jī)取出一個盒子，問這個現(xiàn)從兩盒中隨機(jī)取出一個盒子，問這個盒子里是白球盒子里是白球99個還是紅球個還是紅球99個？個？假設(shè)：假設(shè)：這個盒子里有這個盒子里有99個白球。個白球。從中隨機(jī)摸出一個：從中隨機(jī)摸出一個：p=1/100 是小概率事件是小概率事件小概率事件在

5、一次試驗(yàn)中基本上不會發(fā)生。小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會發(fā)生。休息休息結(jié)束結(jié)束我們有很大的把握說：我們有很大的把握說：原假設(shè)：原假設(shè)：“這個盒子里有這個盒子里有99個白球。個白球。” 不成立不成立休息休息結(jié)束結(jié)束 一般的反證法要求在原假設(shè)成立的條件一般的反證法要求在原假設(shè)成立的條件下導(dǎo)出的結(jié)論是絕對成立的，如果事實(shí)與之下導(dǎo)出的結(jié)論是絕對成立的，如果事實(shí)與之矛盾，則完全絕對地否定原假設(shè)。矛盾，則完全絕對地否定原假設(shè)。 概率反證法的邏輯是：如果小概率事概率反證法的邏輯是：如果小概率事件在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生，我們就以件在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生，我們就以很大很大的把握的把握否定原假設(shè)。否定原假設(shè)。休息休

6、息結(jié)束結(jié)束“小概率小概率” ” 該多??？該多小？ 在假設(shè)檢驗(yàn)中，我們稱這個小概率為在假設(shè)檢驗(yàn)中，我們稱這個小概率為顯顯著性水平著性水平，用，用 表示。表示。 的選擇要根據(jù)實(shí)際情況而定。的選擇要根據(jù)實(shí)際情況而定。 0.050. ,0 011. 常取常取休息休息結(jié)束結(jié)束 現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂的例中：0 H0：（ = 355）0 H1：0 X355 不不應(yīng)應(yīng)太太大大0X355,H 太太大大時(shí)時(shí) 拒拒絕絕休息休息結(jié)束結(jié)束0HX355ZnN(0,1) 對給定的顯著性水平對給定的顯著性水平 ，可以在，可以在N(0,1)表表中查到分位點(diǎn)的值中查到分位點(diǎn)的值 ，使，使2z 2P| Z |z 02z 2-z

7、 休息休息結(jié)束結(jié)束也就是說也就是說,“2| Z |z ”是一個小概率事件。是一個小概率事件。W：2| Z |z 為為拒絕域拒絕域如果由樣本值算得該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落如果由樣本值算得該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入?yún)^(qū)域入?yún)^(qū)域W，則拒絕，則拒絕H0 ；否則，不能拒絕；否則，不能拒絕H0 。休息休息結(jié)束結(jié)束這里所這里所依據(jù)的邏輯依據(jù)的邏輯是：是： 如果如果H0 是對的，那么衡量差異大小的是對的，那么衡量差異大小的某個統(tǒng)計(jì)量落入?yún)^(qū)域某個統(tǒng)計(jì)量落入?yún)^(qū)域 W(拒絕域拒絕域) 是個小概是個小概率事件。如果該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入率事件。如果該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入W，也就是說，也就是說， H0 成立下的小概率事件發(fā)生成立下的小概

8、率事件發(fā)生了，那么就認(rèn)為了，那么就認(rèn)為H0不可信而否定它。不可信而否定它。否則否則我們就我們就不能否定不能否定H0 （只好接受它）。（只好接受它）。休息休息結(jié)束結(jié)束 不否定不否定 H0并不是肯定并不是肯定 H0 一定對，而一定對，而只是說只是說差異還不夠差異還不夠顯著顯著，還沒有達(dá)到足以，還沒有達(dá)到足以否定否定 H0 的程度。的程度。所以，假設(shè)檢驗(yàn)又叫所以，假設(shè)檢驗(yàn)又叫“顯著性檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn)”。休息休息結(jié)束結(jié)束如果在如果在 很小的情況下很小的情況下 H0 仍被拒絕了，仍被拒絕了，則說明實(shí)際情況很可能與之則說明實(shí)際情況很可能與之有顯著差異。有顯著差異。 基于這個理由，人們常把基于這個理由，人們常

9、把 時(shí)時(shí)拒絕拒絕H0稱為是稱為是顯著顯著的，而把在的，而把在 時(shí)時(shí)拒絕拒絕H0稱為是稱為是高度顯著高度顯著的。的。0.01 0.05 休息休息結(jié)束結(jié)束假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟： 1. 提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；提出原假設(shè)和備擇假設(shè)； 2. 取一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在取一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在H0成立下成立下求出它的求出它的分布；分布；3. 對給定的顯著性水平對給定的顯著性水平，查表確定臨界值，查表確定臨界值，從而從而得否定域得否定域 ； 4. 將樣本值代入算出統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值將樣本值代入算出統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值, ,并并以此作出結(jié)論。以此作出結(jié)論。休息休息結(jié)束結(jié)束 例例1 某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標(biāo)準(zhǔn)要求某工

10、廠生產(chǎn)的一種螺釘，標(biāo)準(zhǔn)要求長度是長度是32.5毫米毫米. 實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長度實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長度X假定服從正態(tài)分布假定服從正態(tài)分布 未知，現(xiàn)未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件件, 得尺寸得尺寸數(shù)據(jù)如下數(shù)據(jù)如下:),(2 N2 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03問這批產(chǎn)品是否問這批產(chǎn)品是否合格合格 ?統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)休息休息結(jié)束結(jié)束解：解：已知已知 X),(2 N2 未知。未知。01H :32.5H :32.5 1. 0HX32.5tt(S6n1)t(5 ) 2. 3. 得拒絕域：得拒絕域： W: |t |4.0322對給

11、定的顯著性水平對給定的顯著性水平 = =0.01，查表，查表 20.005t(5)t(5) 4.0322 計(jì)算計(jì)算休息休息結(jié)束結(jié)束4. 2.33故拒絕原假設(shè)故拒絕原假設(shè) H0 ，認(rèn)為：，認(rèn)為：新生產(chǎn)織物比過去的織物強(qiáng)力有顯著提高。新生產(chǎn)織物比過去的織物強(qiáng)力有顯著提高。=2.33計(jì)算計(jì)算休息休息結(jié)束結(jié)束單邊單邊檢驗(yàn)：雙邊雙邊檢驗(yàn)：0010H :H :右邊右邊檢驗(yàn)：0010H :H :左邊左邊檢驗(yàn)：0010H :H :休息休息結(jié)束結(jié)束3.2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)（一）單個正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)（一）單個正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)2XN(,) 雙邊雙邊檢驗(yàn)：0010H :H :0XZnN

12、(0,1) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋? 2W: Zz 1. 2 已已知知休息休息結(jié)束結(jié)束右邊右邊檢驗(yàn)：0010H :H :拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋篧: Zz 左邊左邊檢驗(yàn)：0010H :H :拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋篧: Zz 休息休息結(jié)束結(jié)束2. 2 未未知知XtSnt(n1) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：雙邊雙邊檢驗(yàn)：0010H :H :拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋? 2W: tt(n1) 休息休息結(jié)束結(jié)束右邊右邊檢驗(yàn)：0010H :H :拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋篧:tt (n1) 左邊左邊檢驗(yàn)：0010H :H :拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋篧:t225XtSnt(n1) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：拒

13、絕域?yàn)榫芙^域?yàn)?.05W:tt (n1)t(15 ) 現(xiàn)在現(xiàn)在 n=16 取取 = 0.05=1.7531x241.5s98.72590 xt0.6685s /n 1.7531計(jì)算計(jì)算休息休息結(jié)束結(jié)束沒有落在拒絕域中，故接受H0，即認(rèn)為元件的平均壽命不大于225小時(shí)。休息休息結(jié)束結(jié)束（二）兩個正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)（二）兩個正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)211XN(,) 11n( X ,X)222YN(,) 21n(Y ,Y)1. 2212,已已知知檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量？2111222221,XN(,/ n )N(,/ n )Y 休息休息結(jié)束結(jié)束2211122122N(,YnnX) 12221212XY-()ZnN

14、(0,1n) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：221212XYZnn 休息休息結(jié)束結(jié)束雙邊雙邊檢驗(yàn)：01211H :0H :0右邊右邊檢驗(yàn)：012112H :0H :0拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋篧: Zz 左邊左邊檢驗(yàn)：012112H :0H :0拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋篧:Zz 拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋? 2W: Zz 休息休息結(jié)束結(jié)束2. 22212 =未=未知知12221212XY-()ZnN(0,1n) 1212XY-()tt11nn 12nn2222wii12i 1i 11s( XX )(YY ) nn2 ? 221X2Y121(n1) s(n1) s nn2休息休息結(jié)束結(jié)束1w21221XY-()t11

15、snt ( nnn2 ) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：w12XYt11snn 12nn222wii12i 1i 1221X2Y121s( XX )(YY ) nn21(n1) s(n1) s nn2其其中中休息休息結(jié)束結(jié)束雙邊雙邊檢驗(yàn)：012112H :0H :0右邊右邊檢驗(yàn)：012112H :0H :0拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋?2W:tt (nn2 ) 左邊左邊檢驗(yàn)：012112H :0H :0拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋?2W:tt (nn2 ) 拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋? 212W: tt(nn2 ) 休息休息結(jié)束結(jié)束例例4 在平爐上進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率，試驗(yàn)是在同一只平爐

16、上進(jìn)行的。每煉一爐鋼時(shí)除操作方法外，其它條件都盡可能做到相同。先用標(biāo)準(zhǔn)方法煉一爐，然后用建議的新方法煉一爐，以后交替進(jìn)行，各煉了10 爐，其得率分別為 （1）標(biāo)準(zhǔn)方法）標(biāo)準(zhǔn)方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 （2）新方法）新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1 設(shè)這兩個樣本相互獨(dú)立，且分別來自正態(tài)總體N( 1, 2)和 N( 2, 2 ) ， 1, 2,2均未知。問建議的新操作方法能否提高得率？（取=0.05.）返回返回休息休息結(jié)束結(jié)束計(jì)算計(jì)算解： 需要檢驗(yàn)

17、假設(shè)211222n = 10,x =76.23,s = 3.325,n = 10, y =79.43,s = 2.225.012112H :0H :0檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：w12XYt11snn 分別求出標(biāo)準(zhǔn)方法和新方法下的樣本均值和樣本方差：拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋?20.05W:tt (nn2 )t(18 ) = -1.7341休息休息結(jié)束結(jié)束又22212w(10-1)s +(10-1)ss = 2.77510+10-2樣本觀察值 t = -4.295 -1.7341，落入拒絕域，所以拒絕H0，即認(rèn)為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu)。w12xyt11snn 76.2379.434.2952.

18、7752 / 10 休息休息結(jié)束結(jié)束3.3 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)（一）單個正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)（一）單個正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)2XN(,) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：222(n-1)s(n1) 2220(n-1)s 休息休息結(jié)束結(jié)束雙邊雙邊檢驗(yàn)：22220010H :H :拒絕域?yàn)椋?222/ 21/ 2W:(n1)or(n1) 右邊右邊檢驗(yàn)：22220010H :H :拒絕域?yàn)椋?2W:(n1) 左邊左邊檢驗(yàn)：22220010H :H :拒絕域?yàn)椋?21W:(n1) 休息休息結(jié)束結(jié)束例例5 某廠生產(chǎn)的某種型號的電池，其壽命（以小時(shí)計(jì)）長期以來服從方差 2 2=5000的正態(tài)分

19、布，現(xiàn)有一批這種電池，從它的生產(chǎn)情況來看，壽命的波動性有所改變?，F(xiàn)隨機(jī)取26只電池，測出其壽命的樣本方差s2=9200。問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著變化（取 =0.02）？解 ： 本題要求在水平 =0.02下檢驗(yàn)假設(shè)2201H :5000H :5000休息休息結(jié)束結(jié)束拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋?22/ 20.012221/ 20.99W:(n1)(24 )or(n1)(24 ) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：2592005000 2220(n-1)s =46=44.314=11.5244644.314 拒絕H0，認(rèn)為這批電池壽命的波動性較以往的有顯著的變化。計(jì)算計(jì)算休息休息結(jié)

20、束結(jié)束（二）兩個正態(tài)總體方差比的檢驗(yàn)（二）兩個正態(tài)總體方差比的檢驗(yàn)211XN(,) 222YN(,) 11n( X ,X)21n(Y ,Y)2X2121(n-1()sn1 2Y2222(n-1()sn1 21X12122Y222(n1)s/(n1)(n1)s/(n1) 22122X2Yss 12F( n1 ,n1 )休息休息結(jié)束結(jié)束檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：2X2YsFs 雙邊雙邊檢驗(yàn)：2222012112H :H :拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋? 2121/ 212W: FF(n1,n1)orFF(n1,n1) 右邊右邊檢驗(yàn)：2222012112H :H :拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋?2W: FF (n1,

21、n1) 右邊右邊檢驗(yàn)：2222012112H :H :112W:FF(n1,n1) 拒絕域?yàn)椋壕芙^域?yàn)椋盒菹⑿菹⒔Y(jié)束結(jié)束解： 此處 n1=n2=10， =0.01，例例6 試對例4中的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)假設(shè)： H0: 12= 22 , H1: 12 22（取 =0.01）10.1536.54=6.54檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：2X2YSFS / 2120.0051/ 2120.995W: FF(n1,n1)F(9,9 )orFF(n1,n1)F(9,9 ) 拒絕域?yàn)椋豪?4 4計(jì)算計(jì)算休息休息結(jié)束結(jié)束現(xiàn)在 s12=3.325 s22=2.225 故接受H0 ，認(rèn)為兩總體方差相等。F=s1 12/s22=

22、1.49，即有0.153 F 6.54休息休息結(jié)束結(jié)束有人推測，矮個子的人比高個子的人長壽這個結(jié)論對嗎？我們來做一個檢驗(yàn)。休息休息結(jié)束結(jié)束George Washington 1st President Stature ：62”（188cm） Born: February 22, 1732Died: December 14, 1799 (67)美國歷屆總統(tǒng)資料休息休息結(jié)束結(jié)束 John Adams 2nd PresidentStature ：56”（168cm）Born: October 30 ,1735Died: July 4,1826 (90) 美國歷屆總統(tǒng)資料休息休息結(jié)束結(jié)束Thomas

23、Jefferson 3nd PresidentStature ：62.5”（189cm）Born: April 13, 1743Died: July 4,1826 (64)美國歷屆總統(tǒng)資料休息休息結(jié)束結(jié)束James Madison 4th President Stature ：54“（163cm）Born: March 16, 1751Died: June 28, 1836 （85）美國歷屆總統(tǒng)資料休息休息結(jié)束結(jié)束美國歷屆總統(tǒng)資料James Monroe 5th President Stature ：6（183cm）Born: April 28th, 1758 Died: July 4, 18

24、31（73）休息休息結(jié)束結(jié)束美國歷屆總統(tǒng)資料John Quincy Adams6th President Stature ：57“（171cm）Born: July 11, 1767 Died: February 23, 1848（80）休息休息結(jié)束結(jié)束美國歷屆總統(tǒng)資料Andrew Jackson 7th President Stature ：61“（171cm）Born: March 15, 1767 Died: June 8, 1845 （78）休息休息結(jié)束結(jié)束美國歷屆總統(tǒng)資料Martin Van Buren 8th President Stature ：56“（168cm）Born: D

25、ecember 5, 1782Died: July 24, 186（79）休息休息結(jié)束結(jié)束美國歷屆總統(tǒng)資料 William Henry Harrison 9th President Stature ：58“（173cm）Born: February 9, 1773Died: April 4, 1841（68）休息休息結(jié)束結(jié)束美國歷屆總統(tǒng)資料John Tyler 10th President Stature ：6（183cm）Born: March 29, 1790 Died: January 18, 1862 （71）休息休息結(jié)束結(jié)束美國歷屆總統(tǒng)資料James K. Polk 11th Pre

26、sident Stature ：58“（173cm）Born: November 2, 1795 Died: June 15, 1849（53）休息休息結(jié)束結(jié)束美國歷屆總統(tǒng)資料Zachary Taylor 12th President Stature ：58“（173cm）Born: November 24, 1784 Died: July 9, 1850（65）休息休息結(jié)束結(jié)束美國歷屆總統(tǒng)資料Millard Fillmore 13rd President Stature ：59“（175cm）Born: January 7, 1800 Died: March 8, 1874 （74）休息休息

27、結(jié)束結(jié)束美國歷屆總統(tǒng)資料 Franklin Pierce 14th President Stature ：510“（178cm）Born: November 23, 1804 Died: October 8, 1869（64）休息休息結(jié)束結(jié)束美國歷屆總統(tǒng)資料Ulysses S. Grant 18th President Stature ：58.5“（174cm）Born: April 27, 1822 Died: July 23, 1885 （63）休息休息結(jié)束結(jié)束美國歷屆總統(tǒng)資料Rutherford B. Hayes 19th President Stature ：58.5“（174cm）B

28、orn: October 4, 1822 Died: October 4, 1822（70） 休息休息結(jié)束結(jié)束美國歷屆總統(tǒng)資料Benjamin Harrison 23th President Stature ：56“（168cm）Born: August 20, 1833Died: March 13, 1901（67）休息休息結(jié)束結(jié)束美國歷屆總統(tǒng)資料Harry S Truman 33rd President Stature ：59“（175cm）Born: May 8, 1884 Died: December 26, 1972（88）休息休息結(jié)束結(jié)束矮個子總統(tǒng)矮個子總統(tǒng)高個子總統(tǒng)高個子總統(tǒng)總統(tǒng)

29、總統(tǒng)壽命壽命總統(tǒng)總統(tǒng)壽命壽命總統(tǒng)總統(tǒng)壽命壽命Madison85W. Harrison68Wilson67Van Buren79Polk53Hoover90B. Harrison67Taylor 65Monroe73J. Adams90Grant63Tyler71J. Q. Adams80Hayes70Buchanan77Truman88Taft72Fillmore74Harding57Pierce64Jackson78A. Johnson66Washington67T. Roosevelt60Arthur56Coolidge60F. Roosevelt63Eisenhower78L. John

30、son64Cleveland71Jefferson83SPSS休息休息結(jié)束結(jié)束3.4 分布擬合檢驗(yàn)分布擬合檢驗(yàn)可能遇到這樣的情形，總體服從何種理可能遇到這樣的情形，總體服從何種理論分布并不知道，要求我們直接對總體分布論分布并不知道，要求我們直接對總體分布提出一個假設(shè)提出一個假設(shè) 。休息休息結(jié)束結(jié)束例如，從1500到1931年的432年間，每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個隨機(jī)變量，椐統(tǒng)計(jì)，這432年間共爆發(fā)了299次戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下:戰(zhàn)爭次數(shù)戰(zhàn)爭次數(shù)X01234 223 142 48 15 4 發(fā)生發(fā)生 X次戰(zhàn)次戰(zhàn)爭的年數(shù)爭的年數(shù)上面的數(shù)據(jù)能否證實(shí)X 服從Poisson分布的假設(shè)是正確的？返回返

31、回休息休息結(jié)束結(jié)束又如，某工廠制造一批骰子，聲稱它是均勻的。又如，某工廠制造一批骰子，聲稱它是均勻的。也就是說，在投擲中，出現(xiàn)也就是說，在投擲中，出現(xiàn)1 1點(diǎn)，點(diǎn)，2 2點(diǎn)，點(diǎn)，6 6點(diǎn)的概點(diǎn)的概率都應(yīng)是率都應(yīng)是1/61/6。為檢驗(yàn)骰子是否均勻，把骰子實(shí)地投為檢驗(yàn)骰子是否均勻，把骰子實(shí)地投擲擲60006000次，統(tǒng)計(jì)各點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)。次，統(tǒng)計(jì)各點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)。得到的數(shù)據(jù)能否說明“骰子均勻”的假設(shè)是可信的？點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)123456次數(shù)次數(shù)9101110 1030 1050960940休息休息結(jié)束結(jié)束再如，某鐘表廠對生產(chǎn)的鐘進(jìn)行精確性再如，某鐘表廠對生產(chǎn)的鐘進(jìn)行精確性檢查，抽取檢查，抽取100100個鐘作

32、試驗(yàn)，撥準(zhǔn)后隔個鐘作試驗(yàn)，撥準(zhǔn)后隔2424小小時(shí)以后進(jìn)行檢查，將每個鐘的誤差（快或慢）時(shí)以后進(jìn)行檢查，將每個鐘的誤差（快或慢）按秒記錄下來。按秒記錄下來。該廠生產(chǎn)的鐘的誤差是否服從正態(tài)分布？休息休息結(jié)束結(jié)束 解決這類問題的工具是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家解決這類問題的工具是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家K K. .皮爾遜皮爾遜在在19001900年發(fā)表的一篇文章中引進(jìn)年發(fā)表的一篇文章中引進(jìn)的所謂的所謂 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法。2 這是一項(xiàng)很重要的工作，不少這是一項(xiàng)很重要的工作，不少人把它視為近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的開端。人把它視為近代統(tǒng)計(jì)學(xué)的開端。 K K . .皮爾遜休息休息結(jié)束結(jié)束 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法是在總體是在總體X 的分布未知時(shí)，的分布未知時(shí)，

33、根據(jù)來自總體的樣本，檢驗(yàn)關(guān)于總體分根據(jù)來自總體的樣本，檢驗(yàn)關(guān)于總體分布的假設(shè)的一種檢驗(yàn)方法。是一種布的假設(shè)的一種檢驗(yàn)方法。是一種非參非參數(shù)數(shù)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。 2 休息休息結(jié)束結(jié)束我們先提出原假設(shè)我們先提出原假設(shè): H0：總體總體X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x) 然后根據(jù)樣本的經(jīng)驗(yàn)分布和所假設(shè)的理然后根據(jù)樣本的經(jīng)驗(yàn)分布和所假設(shè)的理論分布之間的吻合程度來決定是否接受原假論分布之間的吻合程度來決定是否接受原假設(shè)設(shè).這種檢驗(yàn)通常稱作這種檢驗(yàn)通常稱作擬合優(yōu)度檢驗(yàn)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。休息休息結(jié)束結(jié)束分布擬合的分布擬合的 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法的基本原理和步的基本原理和步驟如下驟如下:2 1. 將總體將總體X的取值范圍分成的

34、取值范圍分成k個互不重迭的個互不重迭的小區(qū)間小區(qū)間,記作記作A1, A2, , Ak .2. 把落入第把落入第i個小區(qū)間個小區(qū)間Ai的樣本值的個數(shù)記的樣本值的個數(shù)記作作fi ，稱為，稱為實(shí)測頻數(shù)實(shí)測頻數(shù)。所有實(shí)測頻數(shù)之和。所有實(shí)測頻數(shù)之和f1+ f2+ + fk等于樣本容量等于樣本容量n。休息休息結(jié)束結(jié)束3. 根據(jù)所假設(shè)的理論分布,可以算出總體X的值落入每個Ai的概率 pi ,于是 npi 就是落入Ai的樣本值的理論頻數(shù)理論頻數(shù)。iifnp 樣本與理論分布之間的差異的大小。 皮爾遜引進(jìn)如下統(tǒng)計(jì)量表示經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布之間的差異:2k2iiii 1( fnp )np ? 休息休息結(jié)束結(jié)束皮爾遜證

35、明了如下定理定理: 若原假設(shè)中的理論分布若原假設(shè)中的理論分布F(x)已經(jīng)完全給已經(jīng)完全給定，那么當(dāng)定，那么當(dāng) 時(shí)，統(tǒng)計(jì)量：時(shí)，統(tǒng)計(jì)量：n 2k2iiii 1( fnp )np 漸近服從自由度為漸近服從自由度為 k-1 的的 分布。分布。2 2kiiii 12( fnp )np k222iiiiii 11( f2np fn p )np 2kiii 1fnnp 休息休息結(jié)束結(jié)束 如果如果F(x)中有中有 r 個未知參數(shù)需用相應(yīng)的個未知參數(shù)需用相應(yīng)的估計(jì)量來代替，那么當(dāng)估計(jì)量來代替，那么當(dāng) 時(shí)，統(tǒng)計(jì)量時(shí)，統(tǒng)計(jì)量 漸近服從自由度為漸近服從自由度為 k-r-1 的的 分布。分布。2 n 2 休息休息結(jié)束

36、結(jié)束查查 分布表可得臨界值分布表可得臨界值2 2 ，使得，使得 根據(jù)這個定理，對給定的顯著性水平根據(jù)這個定理，對給定的顯著性水平 ， 22P() 得拒絕域得拒絕域:22(k1) 22(kr1) (不需估計(jì)參數(shù))(估計(jì)r 個參數(shù)) 如果根據(jù)所給的樣本值 X1 , X2 , , Xn 算得統(tǒng)計(jì)量 的實(shí)測值落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)，否則就認(rèn)為差異不顯著而接受原假設(shè)。2 休息休息結(jié)束結(jié)束 皮爾遜定理是在n無限增大時(shí)推導(dǎo)出來的，因而在使用時(shí)要注意n足夠大足夠大，以及npi 不太小不太小這兩個條件。 根據(jù)計(jì)算實(shí)踐，要求 n不小于不小于50，以及npi 都都不小于不小于 5。 否則應(yīng)適當(dāng)合并區(qū)間，使npi滿

37、足這個要求。休息休息結(jié)束結(jié)束例例1：檢驗(yàn)骰子是否均勻檢驗(yàn)骰子是否均勻我們先提出原假設(shè)我們先提出原假設(shè): H0：總體總體X為為均勻分布均勻分布 點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)123456次數(shù)次數(shù)9101110 1030 1050960940休息休息結(jié)束結(jié)束3.610001/694062.510001/61050412.110001/6111021.610001/696050.910001/6103038.1010001/69101npipifiAi2ii(f-np ) / np228.8 20.05(5 ) 11.07120.052(5 ) 拒絕 H0骰子不均勻！骰子不均勻！休息休息結(jié)束結(jié)束例例2：檢驗(yàn)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次

38、數(shù)分布是否服從檢驗(yàn)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布是否服從Poisson分布。分布。H0: X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的 Poisson 分布分布 的極大似然估計(jì)為：的極大似然估計(jì)為： =0.69x 戰(zhàn)爭次戰(zhàn)爭次數(shù)數(shù)X01234發(fā)生發(fā)生 X次戰(zhàn)爭次戰(zhàn)爭的年數(shù)的年數(shù)22314248154例例 2 2休息休息結(jié)束結(jié)束pi的估計(jì)是：的估計(jì)是：i=0,1,2,3,40.69ii pP Xi e0.69i ! 計(jì)算結(jié)果列表如下:X01234fi22314248154i pinp2iii( fnp )np 0.58 0.31 0.18 0.01 0.02 216.7 149.5 51.6 12.0 2.160.183

39、 0.376 0.25114.161.623休息休息結(jié)束結(jié)束自由度為：自由度為：4-1-1=2=5.99120.05(2 ) = 2.43 5.991，2 認(rèn)為每年發(fā)生戰(zhàn)爭的次數(shù)認(rèn)為每年發(fā)生戰(zhàn)爭的次數(shù)X服從參數(shù)服從參數(shù)為為0.69的的Poisson分布分布。不能拒絕不能拒絕 H0計(jì)算計(jì)算休息休息結(jié)束結(jié)束 在此，我們以遺傳學(xué)上的一項(xiàng)偉大發(fā)現(xiàn)為例，說明統(tǒng)計(jì)方法在研究自然界和人類社會的規(guī)律性時(shí)，是起著積極的、主動的作用。 奧地利生物學(xué)家孟德爾進(jìn)行了長達(dá)八年之久的豌豆雜交試驗(yàn), 并根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果,運(yùn)用他的數(shù)理知識, 發(fā)現(xiàn)了遺傳的基本規(guī)律。孟德爾孟德爾休息休息結(jié)束結(jié)束子二代子二代子一代子一代黃色純系黃色純系綠色純系綠色純系 根據(jù)他的理論，子二代中根據(jù)他的理論，子二代中, 黃、綠之比黃、綠之比 近似為近似為3:1，他的一組觀察結(jié)果為：他的一組觀察結(jié)果為：黃黃70，綠，綠27休息休息結(jié)束結(jié)束檢驗(yàn)孟德爾的檢驗(yàn)孟德爾的 3:1 理論理論