考研數學二真題及答案詳解

1、2015年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學（二）試題解析一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)下列反常積分收斂的是( )(a) (b) (c)(d) 【答案】(d)【解析】，則.(2) 函數在內( )(a) 連續(xù)(b) 有可去間斷點(c)有跳躍間斷點(d) 有無窮間斷點【答案】(b)【解析】，故有可去間斷點.(3) 設函數,若在處連續(xù)則:( )(a) (b)(c)(d)【答案】(a)【解析】時，時，在處連續(xù)則：得得：，答案選擇a(4)設函數在內連續(xù)，其中二階導數的圖形如圖所示，則曲線的拐點的

2、個數為( )(a) (b) (c) (d) 【答案】(c)【解析】根據圖像觀察存在兩點，二階導數變號.則拐點個數為2個.(5) 設函數滿足，則與依次是 ( )(a) (b) (c) (d) 【答案】(d)【解析】此題考查二元復合函數偏導的求解.令，則，從而變?yōu)?故，因而.故選（d）.(6)設是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區(qū)域，函數在上連續(xù)，則 ( )(a) (b)(c)(d) 【答案】(b)【解析】根據圖可得，在極坐標系下計算該二重積分的積分區(qū)域為所以故選b.(7) 設矩陣,.若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件為 ( )(a) (b) (c)(d) 【答案】(d)【解析】，由，

3、故或，同時或.故選（d）(8) 設二次型在正交變換下的標準形為，其中，若則在正交變換下的標準形為( )(a) (b) (c)(d) 【答案】(a)【解析】由，故.且.由已知可得故所以.選（a）二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上. (9) 則【答案】48【解析】. (10)函數在處的階導數_【答案】【解析】根據萊布尼茨公式得：(11) 設連續(xù)，若，則【答案】【解析】已知，求導得，故有則. (12)設函數是微分方程的解，且在處取得極值3，則=.【答案】【解析】由題意知：，由特征方程：解得所以微分方程的通解為：代入，解得：解得：(13)若函數由方程確定，則=.

4、【答案】【解析】當時，則對該式兩邊求偏導可得.將（0,0,0）點值代入即有則可得(14) 若階矩陣的特征值為，其中為階單位陣，則行列式.【答案】21【解析】的所有特征值為的所有特征值為所以.三、解答題：1523小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15) (本題滿分10分）設函數，.若與在時是等價無窮小，求的值.【答案】【解析】方法一：因為，那么，可得：，所以，方法二：由題意得由分母，得分子，求得c；于是由分母，得分子，求得；進一步，b值代入原式，求得 (16) (本題滿分10分)設a0，d是由曲線段及直線，所圍成的平面區(qū)域，分別表示d繞軸與繞

5、軸旋轉成旋轉體的體積，若，求a的值.【答案】【解析】由旋轉體的體積公式，得由題求得(17) (本題滿分11分)已知函數滿足，求的極值.【答案】極小值【解析】兩邊對y積分，得，故，求得，故，兩邊關于x積分，得由，求得所以.令，求得.又，當時，為極小值.(18) (本題滿分10分)計算二重積分，其中【答案】【解析】(19)(本題滿分 11 分)已知函數，求零點的個數？【答案】個【解析】令,得駐點為,在,單調遞減,在,單調遞增故為唯一的極小值,也是最小值.而在,故從而有考慮，所以.所以函數在及上各有一個零點，所以零點個數為2.(20) (本題滿分10分)已知高溫物體置于低溫介質中，任一時刻該物體溫度

6、對時間的變化率與該時刻物體和介質的溫差成正比，現將一初始溫度為的物體在的恒溫介質中冷卻，30min后該物體降至，若要將該物體的溫度繼續(xù)降至，還需冷卻多長時間？【答案】【解析】設時刻物體溫度為，比例常數為，介質溫度為,則，從而，所以，即又所以，所以當時，所以還需要冷卻min.(21) (本題滿分10分)已知函數在區(qū)間上具有2階導數，設，曲線在點處的切線與軸的交點是，證明.【證明】根據題意得點處的切線方程為令，得因為所以單調遞增，又因為所以，又因為所以又因為，而在區(qū)間（a,b）上應用拉格朗日中值定理有所以因為所以單調遞增所以所以，即，所以，結論得證. (22) (本題滿分 11 分)設矩陣且.(1) 求的值；(2) 若矩陣滿足，為3階單位陣，求.【答案】【解析】(i)(ii)由題意