線性回歸方程(1)

1、2.3 變量間的相關(guān)關(guān)系變量間的相關(guān)關(guān)系 有些教師常說：有些教師常說：“如果你的數(shù)學(xué)成績好，那如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題” 按照這種按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間也存說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間也存在著某種關(guān)系。你如何認(rèn)識它們之間存在的關(guān)系？在著某種關(guān)系。你如何認(rèn)識它們之間存在的關(guān)系？物理成績物理成績 數(shù)學(xué)成績數(shù)學(xué)成績 學(xué)習(xí)興趣學(xué)習(xí)興趣 學(xué)習(xí)時間學(xué)習(xí)時間 其他因素其他因素結(jié)論：變量之間除了函數(shù)關(guān)系外，還有結(jié)論：變量之間除了函數(shù)關(guān)系外，還有 。問題引入：問題引入：思考：考察下列問題中兩個變量之間的關(guān)系：思考：考

2、察下列問題中兩個變量之間的關(guān)系：（1 1）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費；）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費；（2 2）糧食產(chǎn)量與施肥量；）糧食產(chǎn)量與施肥量；（3 3）人體內(nèi)的脂肪含量與年齡；）人體內(nèi)的脂肪含量與年齡；（4 4）圓的面積與半徑；）圓的面積與半徑；（5 5）勻速直線運動中的時間與路程）勻速直線運動中的時間與路程。（1 1）函數(shù)關(guān)系：）函數(shù)關(guān)系：當(dāng)自變量取值一定時，因變量取值由它唯一確定當(dāng)自變量取值一定時，因變量取值由它唯一確定 正方形面積正方形面積S S與其邊長與其邊長x x之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系S=xS=x2 2 ， 一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之

3、間的關(guān)系 。1.1.兩變量之間的關(guān)系兩變量之間的關(guān)系 （2）相關(guān)關(guān)系：）相關(guān)關(guān)系： 當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機當(dāng)自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定的隨機性性對自變量邊長的每一個確定值，都有唯一確定的面積的值對自變量邊長的每一個確定值，都有唯一確定的面積的值與之對應(yīng)。與之對應(yīng)。確定關(guān)系確定關(guān)系水稻產(chǎn)量并不是由施肥量唯一確定，在取值上帶有隨機性水稻產(chǎn)量并不是由施肥量唯一確定，在取值上帶有隨機性不確定關(guān)系不確定關(guān)系（1 1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點：）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點： 相同點：均是指兩個變量的關(guān)系相同點：均是指兩個變量的關(guān)系 不同點：不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定的

4、關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系 相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是隨機關(guān)系系，也可能是隨機關(guān)系.（2）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系：）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系： 在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化.而對于具有線性相關(guān)關(guān)系而對于具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量來說，當(dāng)求得其回歸直線方程后，又可以用的兩個變量來說，當(dāng)求得其回歸直線方程后，又可以用一種確定性的關(guān)系對這兩個變量間的取值進(jìn)行估計：一種確定性的關(guān)系對這兩個變量間的取值進(jìn)行估計：1.下列關(guān)系

5、中下列關(guān)系中,是帶有隨機性相關(guān)關(guān)系的是是帶有隨機性相關(guān)關(guān)系的是 .正方形的邊長與面積的關(guān)系正方形的邊長與面積的關(guān)系;水稻產(chǎn)量與施肥量之水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系間的關(guān)系;人的身高與年齡之間的關(guān)系人的身高與年齡之間的關(guān)系;降雪量與降雪量與交通事故發(fā)生之間的關(guān)系交通事故發(fā)生之間的關(guān)系.2. 下列兩個變量之間的關(guān)系哪個不是函數(shù)關(guān)系下列兩個變量之間的關(guān)系哪個不是函數(shù)關(guān)系（）（）A角度和它的余弦值角度和它的余弦值B. 正方形邊長和面積正方形邊長和面積C正邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和正邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和 D. 人的年齡和身高人的年齡和身高D根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量和年齡之間有怎樣的關(guān)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的

6、脂肪含量和年齡之間有怎樣的關(guān)系？系？在一次對人體的脂肪含量和年齡關(guān)系的？在一次對人體的脂肪含量和年齡關(guān)系的？ 下面我們以年齡為橫軸，脂肪含量為縱軸建立直角坐標(biāo)下面我們以年齡為橫軸，脂肪含量為縱軸建立直角坐標(biāo)系，作出各個點，稱該圖為系，作出各個點，稱該圖為散點圖散點圖.如圖：如圖：O202530 35 4045 505560 65年齡年齡脂肪含量脂肪含量5101520253035401 1、散點圖：將樣、散點圖：將樣本中本中n n個數(shù)據(jù)點個數(shù)據(jù)點（xixi，yi)yi)（i i1 1，2，n n）描在平）描在平面直角坐標(biāo)系中，面直角坐標(biāo)系中，以表示具有相關(guān)關(guān)以表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一系的兩

7、個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖散點圖. .由散點圖支持了我們從數(shù)據(jù)表中得出如下結(jié)論：由散點圖支持了我們從數(shù)據(jù)表中得出如下結(jié)論：a. a. 如果所有的樣本點如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上都落在某一函數(shù)曲線上，就用，就用 該該函數(shù)函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系。來描述變量之間的關(guān)系。b.b.如果所有的樣本點都落在如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近某一函數(shù)曲線附近，變，變量之間就有量之間就有相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系。c.c.如果所有的樣本點都落在如果所有的樣本點都落在某一直線附近某一直線附近，變量之，變量之間就有間就有線性相關(guān)關(guān)系線性相關(guān)關(guān)系。 從剛才的散點圖發(fā)現(xiàn)：年齡越大，體內(nèi)脂肪含

8、量從剛才的散點圖發(fā)現(xiàn)：年齡越大，體內(nèi)脂肪含量越高，點的位置散布在從越高，點的位置散布在從左下角到右上角左下角到右上角的區(qū)域的區(qū)域. . 稱稱它們成它們成正相關(guān)正相關(guān). 但有的兩個變量的相關(guān)，如下圖所示：但有的兩個變量的相關(guān)，如下圖所示： 如高原含氧量與海拔高度如高原含氧量與海拔高度的相關(guān)關(guān)系，海平面以上，的相關(guān)關(guān)系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少海拔高度越高，含氧量越少. . 作出散點圖發(fā)現(xiàn)，它作出散點圖發(fā)現(xiàn)，它們散布在從們散布在從左上角到右下角左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)。又如汽車的載重的區(qū)域內(nèi)。又如汽車的載重和汽車每消耗和汽車每消耗1 1升汽油所行升汽油所行使的平均路程，稱它們成使的平均路

9、程，稱它們成負(fù)負(fù)相關(guān)相關(guān). .O5 5個學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤韨€學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚寒嫵錾Ⅻc圖畫出散點圖，解：解：數(shù)學(xué)成績數(shù)學(xué)成績由散點圖可見，兩者之間具有正相關(guān)關(guān)系。由散點圖可見，兩者之間具有正相關(guān)關(guān)系。有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個溫對熱飲銷銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：攝氏溫度攝氏溫度 26 18 13 10 4 -1 熱飲杯數(shù)熱飲杯數(shù) 20 24 34 38 50 64(1)(1)畫出散點圖；畫出散點圖；(2)(2)從

10、散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；關(guān)系的一般規(guī)律；解解: (1): (1)散點圖散點圖(2)(2)氣溫與熱飲杯數(shù)成負(fù)相關(guān)氣溫與熱飲杯數(shù)成負(fù)相關(guān), ,即氣溫越高，賣出即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少。去的熱飲杯數(shù)越少。溫度溫度熱飲杯數(shù)熱飲杯數(shù)人體脂肪含量百分比與年齡散點圖02040020406080年齡脂肪含量散散點點圖圖回歸直線：如果散點圖中點的分布回歸直線：如果散點圖中點的分布從從整體整體上看上看大致在大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相線性相關(guān)關(guān)系關(guān)關(guān)系，這條直線就叫做，這條直線就叫

11、做回歸直線回歸直線。 這條回歸直線的方程，簡稱為回歸方程這條回歸直線的方程，簡稱為回歸方程。1.1.回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，各樣本點大致回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，各樣本點大致分布在回歸直線附近分布在回歸直線附近. .對同一個總體，不同的樣本對同一個總體，不同的樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也具有數(shù)據(jù)對應(yīng)不同的回歸直線，所以回歸直線也具有隨機性隨機性. . 2.2.對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可以對于任意一組樣本數(shù)據(jù)，利用上述公式都可以求得求得“回歸方程回歸方程”，如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相，如果這組數(shù)據(jù)不具有線性相關(guān)關(guān)系，即不存在回歸直線，那么所得的關(guān)關(guān)系，即不存在回歸直

12、線，那么所得的“回歸回歸方程方程”是沒有實際意義的是沒有實際意義的. .因此，對一組樣本數(shù)據(jù)，因此，對一組樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)先作散點圖，在具有線性相關(guān)關(guān)系的前提下再應(yīng)先作散點圖，在具有線性相關(guān)關(guān)系的前提下再求回歸方程求回歸方程. .方案一：采用測量的方法：先畫一條直線，測方案一：采用測量的方法：先畫一條直線，測量出各點到它的距離，然后移動直線，到達(dá)一量出各點到它的距離，然后移動直線，到達(dá)一個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的斜率和截距，就得到回歸方程。斜率和截距，就得到回歸方程。脂肪010203040020406080脂肪方案二、在圖中選取兩點畫直線，使得

13、直線兩方案二、在圖中選取兩點畫直線，使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同。側(cè)的點的個數(shù)基本相同。脂肪010203040020406080脂肪方案三、在散點圖中多取幾組點，確定幾條直方案三、在散點圖中多取幾組點，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)作為回歸方程的斜率平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。和截距。脂肪010203040020406080脂肪設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)： （x x1 1，y y1 1），（），（x x2 2，y y2 2），），（

14、，（x xn n，y yn n）設(shè)所求的回歸直線方程為設(shè)所求的回歸直線方程為Y=bx+aY=bx+a，其中其中a a，b b是待定是待定的系數(shù)。當(dāng)變量的系數(shù)。當(dāng)變量x x取取x x1 1，x x2 2，x xn n時，可以得到時，可以得到 Y Yi i=bx=bxi i+a+a（i=1i=1，2 2，n n）它與實際收集得到的它與實際收集得到的y yi i之間偏差是之間偏差是 y yi i-Y-Yi i=y=yi i-(bx-(bxi i+a)+a)（i=1i=1，2 2，n n）（x1，y1）（x2，y2）（xi ，yi ）yi-Yiy x這樣，用這這樣，用這n n個偏差的和來刻畫個偏差的和

15、來刻畫“各點與此直線的整體偏差各點與此直線的整體偏差”是比較合適的。是比較合適的。上述三種方案均有一定的道理，但可靠性不強，我們上述三種方案均有一定的道理，但可靠性不強，我們回到回歸直線的回到回歸直線的定義定義。（yi-Yi）的最小值的最小值ni=1|yi-Yi|的最小值的最小值ni=1（yi-Yi）2的最小值的最小值ni=1Q=(y1-bx1-a) 2+(y2-bx2-a) 2+(yn-bxn-a) 2當(dāng)當(dāng)a，b取什么值時，取什么值時，Q的值最小，即總體偏差最小的值最小，即總體偏差最小1221,niiiniixyn x ybxn xayb x（xi-x）（）（yi-y）ni=1b=（xi-x

16、）ni=1a=y-bx計算回歸方程的斜率和截距的一般公式：計算回歸方程的斜率和截距的一般公式： xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)()(1221121其中，其中，b是回歸方程的斜率，是回歸方程的斜率，a是截距。是截距。注：對具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量，其回歸直線一定注：對具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量，其回歸直線一定通過樣本點的中心通過樣本點的中心,yx求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行：求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行：第一步，計算平均數(shù)第一步，計算平均數(shù) , , xy1niiix y21niix第二步，求和第二步，求和 , , 112221

17、1()(),()nniii iiinniiiixx yyxynx ybay bxxxxnx 第三步，計算第三步，計算 ybxa第四步，寫出回歸方程第四步，寫出回歸方程 例例1 1：假設(shè)某設(shè)備的使用年限x（年）和所支出的維修費用y（萬元）有如下統(tǒng)計資料：由資料知 y對 x呈線性關(guān)系，試求：;,) 1 (的值中的回歸直線方程ababxy(2)估計使用年限是10年時，維修費用估計是多少？解解：(1) 制表：制表：. 3 .112,90, 5, 4:51512iiiiiyxxyx于是有23. 1103 .1245905453 .1122b08.0423.15xbya(2)回歸直線方程是.08. 023

18、. 1xy(2)估計使用年限是10年時，維修費用估計是多少？)(4 .1238.1208. 01023. 1，10萬元時當(dāng)yx答：估計使用10年時，維修費用估計是12.4萬元。練習(xí)練習(xí)某種產(chǎn)品是的廣告費支出某種產(chǎn)品是的廣告費支出x x（單位：百萬元）（單位：百萬元）與銷售額與銷售額y y（單位：百萬元）之間有如下對（單位：百萬元）之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)應(yīng)數(shù)據(jù)（1 1）畫出散點圖；）畫出散點圖；（2 2）如果）如果x x與與y y具有相關(guān)關(guān)系，求回歸具有相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程，并說明直線方程，并說明b b的意義的意義解（1）散點圖如圖所示：1735910305080銷售額（百萬元）廣告費（百萬元）（2）由散點圖可知：X與Y具有相關(guān)關(guān)系515215501380145iiiiixyx yx 51522156.517.55iiiiix yx ybaybxxx故可得故可得：所求回歸直線方程為6.517.5yxb