平面向量與三角形四心問(wèn)題

1、平面向量基本定理與三角形四心已知是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，求證：如圖2延長(zhǎng)與邊相交于點(diǎn)則圖1 圖2 推論是內(nèi)的一點(diǎn)，且，則有此定理可得三角形四心向量式是的重心是的內(nèi)心是的外心是的垂心 證明：如圖為三角形的垂心，同理得，奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一4.2三角形“四心”的相關(guān)向量問(wèn)題一知識(shí)梳理：四心的概念介紹：(1) 重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2：1；(2) 垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；(3) 內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；(4) 外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。l 與“重心”有關(guān)的向量問(wèn)題1

2、 已知是所在平面上的一點(diǎn)，若，則是的( )a重點(diǎn)b外心c內(nèi)心d垂心如圖.m 圖圖 2已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡一定通過(guò)的( ).a重點(diǎn)b外心c內(nèi)心d垂心【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，由于表示邊上的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心，如圖.3 .o是abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足（0，+），則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò)abc的（）a內(nèi)心b重心c外心d垂心解：作出如圖的圖形adbc，由于sinb=sinc=ad，=由加法法則知，p在三角形的中線上故動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò)abc的重心故選：bl 與“垂心”有關(guān)的向量問(wèn)題3 是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的( )a重點(diǎn)b

3、外心c內(nèi)心d垂心【解析】由，得，即，所以同理可證，是的垂心如圖. 圖圖4已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的( )a重點(diǎn)b外心c內(nèi)心d垂心【解析】由題意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的垂心，如圖.5若為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)是的( )a重點(diǎn)b外心c內(nèi)心d垂心bcha圖6證明: 得即 同理， 故h是abc的垂心l 與“內(nèi)心”有關(guān)的向量問(wèn)題6已知為所在平面上的一點(diǎn)，且， 若，則是的( )a重點(diǎn)b外心c內(nèi)心d垂心圖圖【解析】，則由題意得，與分別為和方向上的單位向量，與平分線共線，即平分同理可證：平分，平分從

4、而是的內(nèi)心，如圖.7已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足 ，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的( )a重點(diǎn)b外心c內(nèi)心d垂心【解析】由題意得，當(dāng)時(shí)，表示的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心，如圖.8若o在abc所在的平面內(nèi)：=，則o是abc的（）a垂心b重心c內(nèi)心d外心解：向量的模等于1，因而向量是單位向量向量、和等都是單位向量由向量、為鄰邊構(gòu)成的四邊形是菱形，可得ao在bac的平分線上同理可得ob平分abc，oa平分acb，o是abc的內(nèi)心故選：cl 與“外心”有關(guān)的向量問(wèn)題8已知是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的( )a重點(diǎn)b外心c內(nèi)心d垂心圖圖【解析】若，則，則是的外心，

5、如圖。9 已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的( )。a重點(diǎn)b外心c內(nèi)心d垂心【解析】由于過(guò)的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，表示垂直于的向量（注意：理由見(jiàn)二、4條解釋。），所以在垂直平分線上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的外心，如圖l 四心的相互關(guān)系1.三角形外心與垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)的外心為，則點(diǎn)為的垂心的充要條件是。2.三角形外心與重心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)的外心為，則點(diǎn)為的重心的充要條件是3.三角形的外心、重心、垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)的外心、重心、垂心分別為、，則、三點(diǎn)共線（、三點(diǎn)連線稱(chēng)為歐拉線），且。相關(guān)題目10設(shè)abc外心為o，重心為g取點(diǎn)h，使求證：（1）h是abc的垂心；（2）o，g，h三點(diǎn)共線，且og：gh=1：2【解答】證明：（1）abc外心為o，又則=0即ahb