專題 電磁導軌問題歸類分析

1、電 磁 導 軌 問 題 歸 類 分 析在電磁感應中有一類比較典型的問題：電磁導軌問題。電磁感應中的導軌上的導體棒問題是歷年高考的熱點。其頻考的原因，是因為該類問題是力學和電學的綜合問題，通過它可以考查考生綜合運用知識的能力。它涉及力學、功能關系、電磁學等一系列基本概念、基本規(guī)律和科學思維方法。今天這節(jié)課我們一起來總結一下高中階段所碰到的電磁導軌問題，共同研究它們的基本特點和規(guī)律。一、發(fā)電式導軌的基本特點和規(guī)律（單桿滑動）如圖1所示，間距為l的平行導軌與電阻R相連，整個裝置處在大小為B、垂直導軌平面向上的勻強磁場中，質量為m、電阻為r的導體從靜止開始沿導軌滑下，已知導體與導軌的動摩擦因數為。1、

2、電路特點講解：導體棒開始運動后要切割磁感線，從而產生感應電流，象這樣的導軌我們稱之為發(fā)電式導軌。它的電特點就是導體棒等效為電源。所以導體棒運動后導軌就可成如下電路圖。電源電動勢的大小，由導體棒的運動速度決定E=Blv2、安培力的特點通有電流的導體棒在磁場中要受到安培力作用。請判斷安培力的方向與運動方向相反，所以安培力為阻力FB=BIl=3、加速度特點根據導體棒運動時的受力特點，可得加速度 加速度隨速度增大而減小，導體做加速度減小的加速運動4、兩個極值的規(guī)律當v=0時，FB=0，加速度最大為am=g（sin-cos）當a=0時，F=0，速度最大，根據平衡條件有 mgsin=mgcos+ 所以，最

3、大速度為 ：5、勻速運動時能量轉化規(guī)律當導體以最大速度勻速運動時，重力的機械功率等于安培力功率（即電功率）和摩擦力功率之和，并均達到最大值。PG=PF+Pf 當=0時，重力的機械功率就等于安培力功率，也等于電功率，這是發(fā)電導軌在勻速運動過程中，最基本的能量轉化和守恒規(guī)律。 mgvmsin=Fmvm=ImEm綜述：電磁感應中關于導軌的習題，涉及運動學、牛頓定律、動量守恒及動量定理、能量關系等相關知識，現分類如下：1. 在恒定外力作用下，做勻速運動 例1：長為L、電阻r=0.3、質量M=0.1的金屬棒OD垂直跨在位于水平面上的兩條平行光滑金屬導軌上，兩導軌的間距也為L，棒與導軌接觸良好，導軌電阻不

4、計，導軌左端接有R=0.5的電阻，量程03.0A的電流表串接在一條導軌上，量程為01.0V的電壓表接在電阻R的兩端。垂直導軌平面的勻強磁場向下穿過平面，現用向右恒定的外力F使金屬棒以V=2m/s向右勻速滑動，觀察到電路中的一個電表正好滿偏，而另一個電表未滿偏，則滿偏的電表是哪個表？拉動金屬棒的外力F多大？解析： 應是電壓表滿偏。此時U=1.0V，I=U/R=2.0Av2，回路的電動勢E，電流為逆時針方向，ab、cd棒所受的安培力方向分別向左、向右，安培力分別對ab、cd棒做負功、正功，選項A錯誤，選項B正確；導體棒最后做加速度相同、速度不同的勻加速運動，且v1v2，abdca回路的磁通量一直增

5、加，選項C錯誤；對系統，由動能定理可知， F做的功和安培力對系統做的功的代數和等于系統動能的增量，而安培力對系統做的功等于回路中產生的總熱量，選項D正確例2如圖7，在水平面上有兩條導電導軌MN、PQ，導軌間距為L，勻強磁場垂直于導軌所在的平面（紙面）向里，磁感應強度的大小為B。兩根金屬桿1、2擺在導軌上，與導軌垂直，它們的質量和電阻分別為。兩桿與導軌接觸良好，與導軌間的動摩擦因數皆為。已知：桿1被外力拖動，以恒定的初速v0沿導軌運動；達到穩(wěn)定狀態(tài)時，桿2也以恒定速度沿導軌運動。導軌的電阻可忽略。求此時桿2克服摩擦力做功的功率。解析 設桿2的運動速度為v，由于兩桿運動時，兩桿和導軌構成的回路中的

6、磁通量發(fā)生變化，產生感應電動勢感應電流桿2做勻速運動，它受到的安培力等于它受到的摩擦力導體桿2克服摩擦力做功的功率聯立式得總之，通過以上的分析，可以看出：對導軌上的單導體棒問題，其穩(wěn)定狀態(tài)就是導體棒最后達到的勻速運動狀態(tài)。穩(wěn)定條件是導體棒的加速度為零。對導軌上的雙導體棒運動問題，在無安培力之外的力作用下的運動情況，其穩(wěn)定狀態(tài)是兩棒最后達到的勻速運動狀態(tài)，穩(wěn)定條件是兩棒的速度相同；在有安培力之外的恒力作用下的運動情況，其穩(wěn)定狀態(tài)是兩棒最后達到的勻變速運動狀態(tài)，穩(wěn)定條件是兩棒的加速度相同，速度差恒定。例3. (2014 天津卷）如圖所示，兩根足夠長的平行金屬導軌固定在傾角=300的斜面上，導軌電阻

7、不計，間距L=0.4m。導軌所在空間被分成區(qū)域I和，兩區(qū)域的邊界與斜面的交線為MN，I中的勻強磁場方向垂直斜面向下，中的勻強磁場方向垂直斜面向上，兩磁場的磁場感應度大小均為B=0.5T，在區(qū)域I中，將質量m1=0.1kg，電阻R1=0.1的金屬條ab放在導軌上，ab剛好不下滑。然后，在區(qū)域中將質量m2=0.4kg，電阻R2=0.1的光滑導體棒cd置于導軌上，由靜止開始下滑，cd在滑動過程中始終處于區(qū)域的磁場中，ab、cd始終與軌道垂直且兩端與軌道保持良好接觸，取g=10m/s2,問（1）cd下滑的過程中，ab中的電流方向；（2）ab將要向上滑動時，cd的速度v多大；（3）從cd開始下滑到ab剛

8、要向上滑動的過程中，cd滑動的距離x=3.8m，此過程中ab上產生的熱量Q是多少。 【答案】（1）由a流向b （2） (3)1.3【考點】牛頓第二定律、能量的轉化與守恒定律、閉合電路的歐姆定律【解析】（1）由a流向b（2）開始放置ab剛好不下滑時，ab所受摩擦力為最大靜摩擦力，設其為有設ab剛好要上滑時，cd棒的感應電動勢為E，由法拉第電磁感應定律有E=Blv設電路中的感應電流為，由閉合電路的歐姆定律設ab所受安培力為F安，有此時ab受到的最大靜摩擦力方向沿斜面向下，由平衡條件有代入數據解得（3）設cd棒的運功過程中電路中產生的總熱量為，由能量守恒有 又 解得Q=1.3J例4.兩金屬桿ab和c

9、d長均為l ，電阻均為R，質量分別為M和m，Mm，用兩根質量和電阻均可忽略的不可伸長的柔軟導線將它們連成閉合回路，并懸掛在水平光滑不導電的圓棒兩側，兩金屬桿處在水平位置，如圖4所示，整個裝置處在一與回路平面相垂直的勻強磁場中，磁感強度為B，若金屬桿ab正好勻速向下運動，求運動速度?！窘馕觥吭O磁場垂直紙面向里，ab桿勻速向下運動時，cd桿勻速向上運動，這時兩桿切割磁感線運動產生同方向的感應電動勢和電流，兩棒都受到與運動方向相反的安培力，如圖5所示，速度越大，電流越大，安培力也越大，最后ab和cd達到力的平衡時作勻速直線運動?；芈分械母袘妱觿荩夯芈分械碾娏鳛椋篴b受安培力向上，cd受安培力向下，

10、大小都為：設軟導線對兩桿的拉力為T，由力的平衡條件：對ab有：T + F = Mg 對cd有：T = mg F所以有：，解得： 例5（2003年全國理綜卷）如圖所示，兩根平行的金屬導軌，固定在同一水平面上，磁感應強度B=0.50T的勻強磁場與導軌所在平面垂直，導軌的電阻很小，可忽略不計。導軌間的距離l=0.20m。兩根質量均為m=0.10kg的平行金屬桿甲、乙可在導軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為R=0.50。在t=0時刻，兩桿都處于靜止狀態(tài)。現有一與導軌平行、大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導軌上滑動。經過t=5.0s，金屬桿甲的加速度為a=

11、1.37m/s2，問此時兩金屬桿的速度各為多少？（動量）解析：設任一時刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x，速度分別為v1和v2，經過很短的時間t，桿甲移動距離v1t，桿乙移動距離v2t，回路面積改變由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢 回路中的電流 桿甲的運動方程 由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩桿的動量時為0）等于外力F的沖量 聯立以上各式解得 代入數據得點評：題中感應電動勢的計算也可以直接利用導體切割磁感線時產生的感應電動勢公式和右手定則求解：設甲、乙速度分別為v1和v2，兩桿切割磁感線產生的感應電動勢分別為 E1Blv1 ，E2Blv2 由右手定則知兩電動勢方

12、向相反，故總電動勢為EE2E1Bl（v2v1）。分析甲、乙兩桿的運動，還可以求出甲、乙兩桿的最大速度差：開始時，金屬桿甲在恒力F作用下做加速運動，回路中產生感應電流，金屬桿乙在安培力作用下也將做加速運動，但此時甲的加速度肯定大于乙的加速度，因此甲、乙的速度差將增大。根據法拉第電磁感應定律，感應電流將增大，同時甲、乙兩桿所受安培力增大，導致乙的加速度增大，甲的加速度減小。但只要a甲a乙，甲、乙的速度差就會繼續(xù)增大，所以當甲、乙兩桿的加速度相等時，速度差最大。此后，甲、乙兩桿做加速度相等的勻加速直線運動。設金屬桿甲、乙的共同加速度為a，回路中感應電流最大值Im。對系統和乙桿分別應用牛頓第二定律有：

13、F=2ma；BLIm=ma。由閉合電路歐姆定律有E=2ImR，而 由以上各式可解得4.“雙桿”在不等寬導軌上同向運動?！半p桿”在不等寬導軌上同向運動時，兩桿所受的安培力不等大反向，所以不能利用動量守恒定律解題。例1（2004年全國理綜卷）圖中a1b1c1d1和a2b2c2d2為在同一豎直平面內的金屬導軌，處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌所在平面（紙面）向里。導軌的a1b1段與a2b2段是豎直的，距離為l1；c1d1段與c2d2段也是豎直的，距離為l2。x1 y1與x2 y2為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細桿，質量分別為m1和m2，它們都垂直于導軌并與導軌保持光滑接觸。兩

14、桿與導軌構成的回路的總電阻為R。F為作用于金屬桿x1y1上的豎直向上的恒力。已知兩桿運動到圖示位置時，已勻速向上運動，求此時作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率。解析：設桿向上的速度為v，因桿的運動，兩桿與導軌構成的回路的面積減少，從而磁通量也減少。由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢的大小 回路中的電流 電流沿順時針方向。兩金屬桿都要受到安培力作用，作用于桿x1y1的安培力為 方向向上，作用于桿x2y2的安培力為 方向向下，當桿作勻速運動時，根據牛頓第二定律有 解以上各式得 作用于兩桿的重力的功率的大小 電阻上的熱功率 由式，可得 問題4：電磁感應中的一個重要推論安培力的沖量

15、公式感應電流通過直導線時，直導線在磁場中要受到安培力的作用，當導線與磁場垂直時，安培力的大小為F=BLI。在時間t內安培力的沖量，式中q是通過導體截面的電量。利用該公式解答問題十分簡便，下面舉例說明這一點。例1 如圖所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的勻強磁場分布在寬為L的區(qū)域內，有一個邊長為a（aL）的正方形閉合線圈以初速v0垂直磁場邊界滑過磁場后速度變?yōu)関（vv0）那么（ ）A. 完全進入磁場中時線圈的速度大于（v0+v）/2B. 安全進入磁場中時線圈的速度等于（v0+v）/2C. 完全進入磁場中時線圈的速度小于（v0+v）/2D. 以上情況A、B均有可能，而C是不可能的解析：設線圈完全

16、進入磁場中時的速度為vx。線圈在穿過磁場的過程中所受合外力為安培力。對于線圈進入磁場的過程，據動量定理可得：對于線圈穿出磁場的過程，據動量定理可得：由上述二式可得，即B選項正確。例2.如圖1所示，豎直放置的兩光滑平行金屬導軌置于垂直導軌向里的勻強磁場中，兩根質量相同的金屬棒a和b和導軌緊密接觸且可自由滑動，先固定a，釋放b，當b速度達到10m/s時，再釋放a，經1s時間a的速度達到12m/s，則：A、 當va=12m/s時，vb=18m/sB、當va=12m/s時，vb=22m/sC、若導軌很長，它們最終速度必相同D、它們最終速度不相同，但速度差恒定四、電容放電式導軌的基本特點和規(guī)律如圖所示，

17、光滑水平軌道的間距為l，處在大小為B、方向豎直向上的勻強磁場中。導軌上皆有電動勢為E的電源和電容為C的電容器，一根質量為m的導體靜止在導軌上，若將單刀雙擲開關s先擲于位置1，對電容器充電；然后擲于位置2，讓電容器放電。1、電路特點2、電流特點：當電容器對導體放電時，導體在安培力的作用下開始向右運動，同時產生阻礙放電的反電動勢，使電流減小直到電流為零為止。3、運動特點：導體在安培力作用下，先做加速度減小的加速運動，當電流為零時，速度達到最大值，然后開始做勻速運動。4、勻速運動的條件電流I=0，即導體的反電動勢等于電容器的電壓U=E反=Blvm電容器的充電電壓為E，放電過程中電壓降低；導體在加速過

18、程中速度增加，反電動勢增大當導體中的反電動勢等于電容器的電壓時，電路中電流為零，導體開始以最大速度vm勻速運動。5、最大速度的計算根據電容器的充電量為Q0=CE，放電結束時的電量為Q=CU=CBlvm，所以電容器放電結束時的電量為 Q=Q0-Q=CE-CBlvm 根據動量定理有 mvm=Ft=Bi lt=BlQ 所以，導體的最大速度為 順便指出，此結果代入式，還可計算出電容器的放電量。根據動量定理和動能定理，安培力對導體的沖量和做的功分別為例1 光滑U型金屬框架寬為L，足夠長，其上放一質量為m的金屬棒ab，左端連接有一電容為C的電容器，現給棒一個初速v0，使棒始終垂直框架并沿框架運動，如圖所示。求導體棒的最終速度。（動量）解析：當金屬棒ab做切割磁力線運動時，要產生感應電動勢，這樣，電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當ab棒以穩(wěn)定速度v勻速運動時，有：BLv=U=q/C