2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)與解三角形第5節(jié)函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖像及簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)案含解析新人教B版

1、第5節(jié)函數(shù)yasin(x)的圖像及簡(jiǎn)單應(yīng)用一、教材概念結(jié)論性質(zhì)重現(xiàn)1函數(shù)yasin(x)的有關(guān)概念yasin(x)(a0，0)振幅周期頻率相位初相atfx2用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)yasin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)yasin(x)(a0，0)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：x02xyasin(x)0a0a0用“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，相鄰兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的距離都是周期的.3由函數(shù)ysin x的圖像通過(guò)變換得到y(tǒng)asin(x)(a0，0)的圖像的兩種方法先平移變換(左右平移)再周期變換(伸縮變換)，左右平移的量是|個(gè)單位長(zhǎng)度，而先周期變換(伸縮變換)再平移變換(左右平移)

2、，左右平移的量是個(gè)單位長(zhǎng)度4明確以下兩個(gè)關(guān)系(1)函數(shù)的周期與圖像的對(duì)稱性之間的關(guān)系正弦曲線或余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是周期；正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是周期(2)對(duì)稱軸(對(duì)稱中心)與函數(shù)值的關(guān)系在判斷對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí)，用以下結(jié)論可快速解題：設(shè)yf(x)asin(x)，g(x)acos(x)，xx0是對(duì)稱軸方程f(x0)a，g(x0)a；(x0,0)是對(duì)稱中心f(x0)0，g(x0)0.二、基本技能思想活動(dòng)體驗(yàn)1判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“”，錯(cuò)的打“”(1)將ysin 2x的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)sin的圖像( )

3、(2)函數(shù)f(x)asin(x)(a0)的最大值為a，最小值為a.( )(3)若函數(shù)yasin(x)為偶函數(shù)，則k(kz)( )(4)函數(shù)yacos(x)的最小正周期為t，那么函數(shù)圖像的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為.( )2已知函數(shù)f(x)2sin的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，則該函數(shù)的最小正周期t和初相分別為()a6，b6， c6，d6，a解析：由已知得2sin 1，所以sin .又|，故.因此f(x)2sin，且t6.3為了得到y(tǒng)3cos的圖像，只要把y3cos的圖像上所有點(diǎn)的()a縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，橫坐標(biāo)不變b橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，縱坐標(biāo)不變c縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，橫坐標(biāo)不變d橫坐標(biāo)縮短

4、到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變d解析：y3cos圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，可得到y(tǒng)3cos的圖像4函數(shù)yasin(x)(a，為常數(shù)，a0，0)在閉區(qū)間，0上的圖像如圖所示，則_.3解析：觀察函數(shù)圖像可得周期t，故t，所以3.考點(diǎn)1由圖像確定yasin(x)的解析式基礎(chǔ)性1函數(shù)yasin(x)b在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖，則函數(shù)的解析式為()ay2sin1 by2sin1cy2sin1 dy2sin1d解析：結(jié)合函數(shù)yasin(x)b在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，可得a2，b1，所以2.再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得20，解得，故函數(shù)的解析式為y2sin1.故選d.2已知函數(shù)f(x)atan(x)，yf(x

5、)的部分圖像如圖，則f ()a2 b cd2b解析：由圖像可知，t2，所以2，所以f(x)atan(2x)因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，所以0atan.又|，所以.又f(0)1，所以atan 1，解得a1，所以f(x)tan，所以f tantan .3函數(shù)f(x)cos(x)的部分圖像如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()a.，kzb.，kzc.，kzd.，kzd解析：由圖像知，周期t22，所以2，所以.由2k，kz，得2k，kz.不妨取，所以f(x)cos.由2kx2k，kz，得2kx2k，kz，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，kz.故選d.由圖像確定函數(shù)yasin(x)b(a0，0)的解析式的步驟(1)求

6、a，b，確定函數(shù)的最大值m和最小值m，則a，b.(2)求，確定函數(shù)的周期t，則.(3)求，常用方法有：代入法：把圖像上的一個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入(此時(shí)要注意該點(diǎn)在遞增區(qū)間上還是在遞減區(qū)間上)或把圖像的最高點(diǎn)(最低點(diǎn))的坐標(biāo)代入五點(diǎn)法：確定值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口考點(diǎn)2函數(shù)yasin(x)的圖像變換綜合性將函數(shù)f(x)2sin的圖像向右平移個(gè)周期后，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為()ay2sin by2sincy2sin dy2sind解析：由函數(shù)f(x)2sin得周期t.將函數(shù)f(x)2sin的圖像向右平移個(gè)周期，即為函數(shù)f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得yf 2sin2sin

7、.本例條件不變，將函數(shù)f(x)的圖像平移后所得圖像再向右平移(0)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)g(x)的圖像若yg(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值為_(kāi)解析：由y2sin得g(x)2sin.又yg(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則2k，kz，所以.又0，所以k，即當(dāng)k1時(shí)，min.三角函數(shù)圖像平移變換問(wèn)題的關(guān)鍵及解題策略(1)確定函數(shù)ysin x經(jīng)過(guò)平移變換后圖像對(duì)應(yīng)的解析式，關(guān)鍵是明確左右平移的方向，即按“左加右減”的原則進(jìn)行(2)已知兩個(gè)函數(shù)解析式判斷其圖像間的平移關(guān)系時(shí)，首先要將解析式化為同名三角函數(shù)形式，然后再確定平移方向和單位1(2020威海一模)已知函數(shù)f(x)sin(x)(0，|)的最小正周

8、期為，且其圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)cos x的圖像，則()a. b. c. d.d解析：因?yàn)閒(x)sin(x)的最小正周期為，所以，2.將f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g(x)sinsincos 2x的圖像，所以2k，kz，即2k，kz.因?yàn)?)若該港口在該天0時(shí)至24時(shí)內(nèi)，有且只有3個(gè)時(shí)刻水深為3米，則該港口該天水最深的時(shí)刻不可能為()a16時(shí)b17時(shí) c18時(shí)d19時(shí)d解析：由題意知，x0時(shí)，y0.5sin 3.243.49.由五點(diǎn)法作圖知，如果當(dāng)x16時(shí)，函數(shù)取得最小值，則16，得，此時(shí)函數(shù)y0.5sin3.24，函數(shù)的周期為t14.該港口在該天0時(shí)至24時(shí)內(nèi)，有

9、且只有2個(gè)時(shí)刻水深為3米如果當(dāng)x19時(shí)，函數(shù)取得最小值，則19，得.此時(shí)函數(shù)y0.5sin3.24，函數(shù)的周期為t，x24時(shí)，y0.5sin3.243，如圖：該港口在該天0時(shí)至24時(shí)內(nèi)，有且只有2個(gè)時(shí)刻的水深為3米，不滿足題意故選d.三角函數(shù)模型在實(shí)際應(yīng)用中的兩種類型(1)已知函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(2)把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，其關(guān)鍵是建模1據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7 000元的基礎(chǔ)上，按月呈f(x)asin(x)b的模型波動(dòng)(x為月份)已知3月份

10、達(dá)到最高價(jià)9 000元，9月份價(jià)格最低為5 000元，則7月份的出廠價(jià)格為_(kāi)元6 000解析：作出函數(shù)簡(jiǎn)圖由題意知，a2 000，b7 000，t2(93)12，所以.將(3,9 000)看成函數(shù)圖像的第二個(gè)特殊點(diǎn)，則有3，所以0，故f(x)2 000sin x7 000(1x12，xn*)所以f(7)2 000sin 7 0006 000.故7月份的出廠價(jià)格為6 000元2某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)yaacos(x1,2,3，12)來(lái)表示已知6月份的平均氣溫最高，為28 ，12月份的平均氣溫最低，為18 ，則10月份的平均氣溫為_(kāi).20.5解析：依題意知，a

11、23，a5，所以y235cos.當(dāng)x10時(shí)，y235cos20.5.考點(diǎn)4三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合問(wèn)題綜合性已知函數(shù)f(x)2sin(x)的部分圖像如圖所示若f(0)，且8，b，c分別為最高點(diǎn)與最低點(diǎn)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若將f(x)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖像，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解：(1)由f(0)，得2sin ，即sin .又因?yàn)閨0)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)f(x)，已知f(x)在0,2上有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()af(x)的圖像關(guān)于直線x對(duì)稱bf(x)在(0,2)上只有3個(gè)極大值點(diǎn)，f(x)在(0,2)上只有2

12、個(gè)極小值點(diǎn)cf(x)在(0,2)上單調(diào)遞增d的取值范圍是d解析：函數(shù)g(x)sin x(0)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)f(x)sin的圖像已知f(x)在0,2上有且只有5個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x0,2時(shí)，x，所以25，6)，所以.故d正確因此只有滿足x，的x是f(x)在(0,2)上的極大值點(diǎn)，共3個(gè)；只有滿足x，的x是f(x)在(0,2)上的極小值點(diǎn)，但當(dāng)接近時(shí)，x0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是()a. b. c. d.四字程序讀想算思求m的最小值1.解析式如何變形？2平移變換的規(guī)則是什么？3圖像關(guān)于y軸對(duì)稱說(shuō)明了什么？1.三角恒等變換；2圖像的對(duì)稱軸方程轉(zhuǎn)化與化歸向左平移，圖

13、像關(guān)于y軸對(duì)稱1.輔助角公式；2左加右減；3在x0處取得最值y2sin或y2cos1.平移變換前后，解析式之間的關(guān)系；2正弦(或余弦)型函數(shù)圖像的對(duì)稱性思路參考：構(gòu)造正弦型函數(shù)的解析式b解析：ycos xsin x2sin，函數(shù)的圖像向左平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得y2sin.由xmk(kz)，得函數(shù)y2sin的圖像的對(duì)稱軸為xmk(kz)因?yàn)樗玫膱D像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以mk0(kz)，即mk(kz)，則m的最小值為.思路參考：構(gòu)造余弦型函數(shù)的解析式b解析：ycos xsin x2cos，向左平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)2cos.因?yàn)榇撕瘮?shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以y2cos為偶函數(shù)，易知m的最

14、小值為.思路參考：根據(jù)圖像對(duì)稱軸與函數(shù)最值的關(guān)系b解析：由解法1，得y2sin.因?yàn)樗玫膱D像關(guān)于y軸對(duì)稱，可得f(0)2，進(jìn)而sin1，易知m的最小值為.思路參考：利用函數(shù)圖像b解析：ycos xsin x2sin，可得此函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為xk(kz)，可知離y軸最近的對(duì)稱軸為x和x.由圖像向左平移m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于y軸對(duì)稱，易知m的最小值為.1本題考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，基本解題方法是依據(jù)在對(duì)稱軸處函數(shù)值或函數(shù)的奇偶性列方程或利用圖像重在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)通解通法2基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要提升運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力，體現(xiàn)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)3基于高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系，本題涉及三角恒