2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大小值課件新人教A版

1、2.22.2函數(shù)的單調(diào)性與最大函數(shù)的單調(diào)性與最大( (小小) )值值第二章第二章2022內(nèi)容索引必備知識必備知識 預(yù)案自診預(yù)案自診關(guān)鍵能力關(guān)鍵能力 學(xué)案突破學(xué)案突破案例探究案例探究2 2 雙變量雙變量“存在性或任意性存在性或任意性”問題問題必備知識必備知識 預(yù)案自診預(yù)案自診【知識梳理知識梳理】 1.函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為i,且di:如果x1,x2d當x1x2時,都有,那么就稱f(x)在區(qū)間d上單調(diào)遞增.特別地,當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時,我們就稱它是增函數(shù)當x1x2時,都有,那么就稱y=f(x)在區(qū)間d上單調(diào)遞減

2、.特別地,當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時,我們就稱它是減函數(shù)f(x1)f(x2) 增函數(shù)減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是 自左向右看圖象是 單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間d上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間d叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間上升的下降的(2)函數(shù)單調(diào)性的充要條件2.函數(shù)的最大(小)值 前提 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為i,如果存在實數(shù)m滿足條件(1)xi,都有;(2)x0i,使得 (3)xi,都有;(4)x0i,使得 結(jié)論 稱m是函數(shù)y=f(x)的最大值稱m是函數(shù)y=f(x)的最小值f(x)m f(x0)=m f(x)m f(

3、x0)=m 常用結(jié)論函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論:f(x)在區(qū)間d上的單調(diào)性 單調(diào)遞增單調(diào)遞減定義法x1x2f(x1)f(x2)x1f(x2)圖象法從左到右函數(shù)圖象上升從左到右函數(shù)圖象下降導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)大于零導(dǎo)數(shù)小于零運算法單調(diào)遞增+單調(diào)遞增單調(diào)遞減+單調(diào)遞減復(fù)合函數(shù)fg(x)內(nèi)外層單調(diào)性相同內(nèi)外層單調(diào)性相反【考點自診考點自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. 2.函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()a.(-,-2)b.(-,1)c.(1,+)d.(4,+)答案 d解析 令t=x2-2x-8.由x2-2x-80,解得x4.易知t=x2-2x-8在(-,-2)上單

4、調(diào)遞減,在(4,+)上單調(diào)遞增.因為y=lnt在t(0,+)上單調(diào)遞增,可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+).故選d.3.若f(x)滿足f(-x)=f(x),且在(-,-1上是增函數(shù),則()答案 da.是奇函數(shù),且在(0,+)上單調(diào)遞增b.是奇函數(shù),且在(0,+)上單調(diào)遞減c.是偶函數(shù),且在(0,+)上單調(diào)遞增d.是偶函數(shù),且在(0,+)上單調(diào)遞減答案 a關(guān)鍵能力關(guān)鍵能力 學(xué)案突破學(xué)案突破考點考點1 1證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性解 當a0時,f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,當a0時,f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增.證明如下:(方法1定義法)任取x1,x2(-1,1)

5、,且x1x2,由于-1x1x20,x1-10,x2-10時,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減;當a0時,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0時,f(x)0,當a0,即當a0時,f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,當a0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.函數(shù)f(x)是減函數(shù).考點考點2 2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及在每一單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.(1)y=-x2+2|x|+1;(3)f(x)=(3-x2)ex.(3)f(x)=-2xex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=

6、ex-(x+3)(x-1),當-3x0,當x1或x-3時,f(x)0,函數(shù)y=(3-x2)ex在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-,-3),(1,+)上單調(diào)遞減.解題心得求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定函數(shù)單調(diào)性的方法一致,常用以下方法:(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性,即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù),求單調(diào)區(qū)間;(2)定義法:先求定義域,再利用單調(diào)性的定義求解;(3)圖象法:如果f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖象易作出,可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間;(4)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)取值的正、負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)(2017全國1,文9)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x),則()a.

7、f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增b.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減c.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱d.y=f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱答案 (1)b(2)c(3)b (2)f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x(0,2).當x(0,1)時,隨著x的增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,當x(1,2)時,隨著x的增大,-x2+2x減小,ln(-x2+2x)減小,即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,故排除a,b;因為f(2-x)=ln(2-x)+ln2-(2-x)=ln(2-x)+lnx=f(x),所以y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=

8、1對稱,故排除d.故選c.考點考點3 3函數(shù)單調(diào)性的函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用應(yīng)用 (多考向探究多考向探究)考向1利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域或最大(小)值 答案 (1)9(2)d解析 (1)f(x)的定義域為1,+),且f(x)在定義域上單調(diào)遞增,f(x)min=f(1)=9.故答案為9.當x=2時,y=0.根據(jù)題意x(m,n時,ymin=0.所以m的取值范圍是-1,2).故選d.解題心得函數(shù)最大(小)值的幾何意義:函數(shù)的最大值對應(yīng)圖象最高點的縱坐標,函數(shù)的最小值對應(yīng)圖象最低點的縱坐標.利用單調(diào)性求解最大(小)值問題,應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求解.對點訓(xùn)練3(2020遼寧大連模擬,文10)在實

9、數(shù)的原有運算法則中,我們補充新運算“”,定義如下,當ab時,ab=a;當a2bb.ab2d.ab2答案 (1)b(2)a解析 (1)由指數(shù)與對數(shù)運算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.因為22b+log2b22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a22b+log22b.令f(x)=2x+log2x,由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得f(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增.由f(a)f(2b)可得a2b.解題心得對已知函數(shù)解析式比較函數(shù)值大小的問題,應(yīng)先將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用函數(shù)的單調(diào)性解決;對沒有給出函數(shù)解析式的比較大小問題,需要先構(gòu)

10、造函數(shù),再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,最后利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.答案 c 考向3利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式【例5】 (2020新高考全國1,8)若定義在r的奇函數(shù)f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)0的x的取值范圍是()a.-1,13,+)b.-3,-10,1c.-1,01,+)d.-1,01,3答案 df(2)=0,f(-2)=0.f(x)是r上的奇函數(shù),f(0)=0.f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,f(x)在(0,+)上也單調(diào)遞減.解得1x3或-1x0,滿足xf(x-1)0的x的取值范圍是-1,01,3,故選d.解題心得求解含“f”的不等式,應(yīng)先將不等式轉(zhuǎn)化為f(m

11、)f(a+3),則實數(shù)a的取值范圍為.答案 (-3,-1)(3,+)解析由已知可得解得-3a3,所以實數(shù)a的取值范圍為(-3,-1)(3,+).考向4利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值(或取值范圍)【例6】 (2020山西太原三模,文10)已知函數(shù)f(x)是定義在r上的偶函數(shù),且在區(qū)間0,+)上單調(diào)遞增.若實數(shù)a滿足f(log2a)+ 2f(1),則a的取值范圍是()答案 c解析 原問題等價于f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a)2f(1),即f(log2a)f(1).因為函數(shù)f(x)是定義在r上的偶函數(shù),且在區(qū)間0,+)上單調(diào)遞增,所以f(|log2a|)f(1),所以|log2a

12、|1.求解關(guān)于實數(shù)a的對數(shù)不等式,可得實數(shù)a的取值范圍是,2解題心得利用單調(diào)性求參數(shù)時,應(yīng)根據(jù)問題的具體情況,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,列出與參數(shù)有關(guān)的不等式,或把參數(shù)分離出來求解.答案 d 案例探究案例探究( (二二) ) 雙變量雙變量“存在性或任意性存在性或任意性”問題問題雙變量問題中一般穿插有兩個及以上的“任意”或“存在”量詞,學(xué)生往往因為不知道如何等價轉(zhuǎn)換致使解題走向迷茫,部分學(xué)生甚至機械地背誦結(jié)論導(dǎo)致走入誤區(qū).解決雙變量“存在性或任意性”問題,關(guān)鍵是將含有全稱量詞和存在量詞的條件等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域之間的關(guān)系(或兩個函數(shù)最值之間的關(guān)系),旨在落實邏輯推理核心素養(yǎng).類型1形如“對x1a,都

13、x2b,使得g(x2)=f(x1)成立”【例1】 已知函數(shù)f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x) ,若對任意x1-1,1,總存在x20,2,使得f(x1)+2ax1=g(x2)成立,求實數(shù)a的取值范圍.思維突破此類問題求解的策略是“等價轉(zhuǎn)化”,即“函數(shù)f(x)的值域是g(x)的值域的子集”從而利用包含關(guān)系構(gòu)建關(guān)于實數(shù)a的不等式組,求得參數(shù)的取值范圍.類型2形如“x1a及x2b,使得f(x1)=g(x2)成立”思維突破本類問題的實質(zhì)是“兩函數(shù)f(x)與g(x)的值域的交集不為空集”,上述解法的關(guān)鍵是利用了補集思想.另外,若把此種類型中的兩個“存在”均改為“任意”,則“等價轉(zhuǎn)化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”來求解參數(shù)的取值范圍.類型3形如“對x1a,都x2b,使得f(x1)g(x2)成立”思維突破理解量詞的含義,將原不等式轉(zhuǎn)化為f(x)maxg(x)max,利用函數(shù)的單調(diào)性,求f(x)與g(x)的最大值,得關(guān)于a的不等式,求得a的取值范圍.思考1: 在例3中,若把“x22,3”變?yōu)椤皒22,3”時,其他條件不變,則實數(shù)a的取值范圍是.