2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大小值學(xué)案新人教A版

1、2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值必備知識預(yù)案自診知識梳理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為i,且di:如果x1,x2d當(dāng)x1x2時,都有,那么就稱f(x)在區(qū)間d上單調(diào)遞增.特別地,當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時,我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)x10在d上恒成立;y=f(x)在d上單調(diào)遞減的充要條件是yx0在d上恒成立.2.函數(shù)的最大(小)值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為i,如果存在實數(shù)m滿足條件(1)xi,都有;(2)x0i,使得(3)xi,都有;(4)x0i,使得結(jié)論稱m是函數(shù)y=f(x)的最大值稱m是函數(shù)y=f(x)的最小值函

2、數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論:f(x)在區(qū)間d上的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減定義法x1x2f(x1)f(x2)x1f(x2)圖象法從左到右函數(shù)圖象上升從左到右函數(shù)圖象下降導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)大于零導(dǎo)數(shù)小于零運算法單調(diào)遞增+單調(diào)遞增單調(diào)遞減+單調(diào)遞減復(fù)合函數(shù)fg(x)內(nèi)外層單調(diào)性相同內(nèi)外層單調(diào)性相反考點自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)函數(shù)y=1x在區(qū)間(-,0)(0,+)上單調(diào)遞減.()(2)函數(shù)f(x)=log5(2x+1)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增.()(3)設(shè)任意x1,x2a,b,且x1x2,那么f(x)在a,b上單調(diào)遞增f(x1)-f(x2)x1-x20.()(4)閉區(qū)間上的單調(diào)

3、函數(shù)的最值一定在區(qū)間端點取到.()2.函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()a.(-,-2)b.(-,1)c.(1,+)d.(4,+)3.若f(x)滿足f(-x)=f(x),且在(-,-1上是增函數(shù),則()a.f-32f(-1)f(2)b.f(-1)f-32f(2)c.f(2)f(-1)f-32d.f(2)f-321時,f(x)0.(1)求f(1)的值;(2)證明:f(x)為減函數(shù).考點求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及在每一單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.(1)y=-x2+2|x|+1;(2)y=log12(x2-3x+2);(3)f(x)=(3-x2)ex.解題心得求函數(shù)

4、的單調(diào)區(qū)間與確定函數(shù)單調(diào)性的方法一致,常用以下方法:(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性,即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù),求單調(diào)區(qū)間;(2)定義法:先求定義域,再利用單調(diào)性的定義求解;(3)圖象法:如果f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖象易作出,可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間;(4)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)取值的正、負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.對點訓(xùn)練2(1)函數(shù)y=132x2-3x+1的單調(diào)遞增區(qū)間為()a.(1,+)b.-,34c.12,+d.34,+(2)(2017全國1,文9)已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則()a.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增b.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減

5、c.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱d.y=f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱(3)已知函數(shù)y=|x|(1-x)在區(qū)間a上單調(diào)遞增,則區(qū)間a是()a.(-,0)b.0,12c.0,+)d.12,+考點函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(多考向探究)考向1利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域或最大(小)值【例3】(1)(2020河南駐馬店二模,文13)函數(shù)f(x)=9x2+x-1的最小值為.(2)函數(shù)y=2-xx+1,x(m,n的最小值為0,則m的取值范圍是()a.(1,2)b.(-1,2)c.1,2)d.-1,2)解題心得函數(shù)最大(小)值的幾何意義:函數(shù)的最大值對應(yīng)圖象最高點的縱坐標(biāo),函數(shù)的最小值對應(yīng)圖象最低點的縱

6、坐標(biāo).利用單調(diào)性求解最大(小)值問題,應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求解.對點訓(xùn)練3(2020遼寧大連模擬,文10)在實數(shù)的原有運算法則中,我們補充新運算“”,定義如下,當(dāng)ab時,ab=a;當(dāng)a2bb.ab2d.ab2(2)e416,e525,e636(其中e為自然常數(shù))的大小關(guān)系是()a.e416e525e636b.e636e525e416c.e525e416e636d.e636e416e525解題心得對已知函數(shù)解析式比較函數(shù)值大小的問題,應(yīng)先將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用函數(shù)的單調(diào)性解決;對沒有給出函數(shù)解析式的比較大小問題,需要先構(gòu)造函數(shù),再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,最后利用函數(shù)的單調(diào)性

7、比較大小.對點訓(xùn)練4(2020天津和平一模,7)函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù),對任意兩個正數(shù)x1,x2(x1f(x2)x2,記a=25f(0.22),b=f(1),c=-log53f(log135),則a,b,c大小關(guān)系為()a.cbab.bcac.abcd.acb考向3利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式【例5】(2020新高考全國1,8)若定義在r的奇函數(shù)f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)0的x的取值范圍是()a.-1,13,+)b.-3,-10,1c.-1,01,+)d.-1,01,3解題心得求解含“f”的不等式,應(yīng)先將不等式轉(zhuǎn)化為f(m)f(a+3),則實數(shù)a

8、的取值范圍為.考向4利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值(或取值范圍)【例6】(2020山西太原三模,文10)已知函數(shù)f(x)是定義在r上的偶函數(shù),且在區(qū)間0,+)上單調(diào)遞增.若實數(shù)a滿足f(log2a)+f(log12a)2f(1),則a的取值范圍是()a.12,1b.1,2c.12,2d.(0,2解題心得利用單調(diào)性求參數(shù)時,應(yīng)根據(jù)問題的具體情況,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,列出與參數(shù)有關(guān)的不等式,或把參數(shù)分離出來求解.對點訓(xùn)練6已知函數(shù)f(x)=log13(x2-ax+3a)在1,+)上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是()a.(-,2b.2,+)c.-12,2d.-12,2雙變量問題中一般穿插有兩個及以上的“

9、任意”或“存在”量詞,學(xué)生往往因為不知道如何等價轉(zhuǎn)換致使解題走向迷茫,部分學(xué)生甚至機械地背誦結(jié)論導(dǎo)致走入誤區(qū).解決雙變量“存在性或任意性”問題,關(guān)鍵是將含有全稱量詞和存在量詞的條件等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域之間的關(guān)系(或兩個函數(shù)最值之間的關(guān)系),旨在落實邏輯推理核心素養(yǎng).類型1形如“對x1a,都x2b,使得g(x2)=f(x1)成立”【例1】已知函數(shù)f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x)=196x-13,若對任意x1-1,1,總存在x20,2,使得f(x1)+2ax1=g(x2)成立,求實數(shù)a的取值范圍.解由題意知,g(x)在0,2上的值域為-13,6.令h(x)=f(x)+2a

10、x=3x2+2x-a(a+2),則h(x)=6x+2,由h(x)=0得x=-13.當(dāng)x-1,-13時,h(x)0.所以h(x)min=h-13=-a2-2a-13.又由題意可知,h(x)的值域是-13,6的子集,所以h(-1)6,-a2-2a-13-13,h(1)6,解得實數(shù)a的取值范圍是-2,0.思維突破此類問題求解的策略是“等價轉(zhuǎn)化”,即“函數(shù)f(x)的值域是g(x)的值域的子集”從而利用包含關(guān)系構(gòu)建關(guān)于實數(shù)a的不等式組,求得參數(shù)的取值范圍.類型2形如“x1a及x2b,使得f(x1)=g(x2)成立”【例2】已知函數(shù)f(x)=2x3x+1,x(12,1,-13x+16,x0,12,函數(shù)g(

11、x)=ksinx6-2k+2(k0),若存在x10,1及x20,1,使得f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)k的取值范圍.解由題意,易得函數(shù)f(x)在0,1上的值域為0,1,g(x)在0,1上的值域為2-2k,2-3k2,并且兩個值域有公共部分.先求沒有公共部分的情況,即2-2k1或2-32k0,解得k43,所以要使兩個值域有公共部分,實數(shù)k的取值范圍是12,43.思維突破本類問題的實質(zhì)是“兩函數(shù)f(x)與g(x)的值域的交集不為空集”,上述解法的關(guān)鍵是利用了補集思想.另外,若把此種類型中的兩個“存在”均改為“任意”,則“等價轉(zhuǎn)化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”來求解參數(shù)的取值

12、范圍.類型3形如“對x1a,都x2b,使得f(x1)g(x2)成立”【例3】已知函數(shù)f(x)=x+4x,g(x)=2x+a,若x112,1,x22,3,使得f(x1)g(x2),則實數(shù)a的取值范圍是.答案12,+解析依題意知f(x)maxg(x)max.f(x)=x+4x在12,1上單調(diào)遞減,f(x)max=f12=172.又g(x)=2x+a在2,3上單調(diào)遞增,g(x)max=8+a,因此1728+a,解得a12.思維突破理解量詞的含義,將原不等式轉(zhuǎn)化為f(x)maxg(x)max,利用函數(shù)的單調(diào)性,求f(x)與g(x)的最大值,得關(guān)于a的不等式,求得a的取值范圍.思考1:在例3中,若把“x

13、22,3”變?yōu)椤皒22,3”時,其他條件不變,則實數(shù)a的取值范圍是.提示問題“等價轉(zhuǎn)化”為f(x)maxg(x)min,請讀者自行求解.思考2:在例3中,若把“x112,1”改為“x112,1”,其他條件不變,則實數(shù)a的取值范圍是.提示問題“等價轉(zhuǎn)化”為f(x)ming(x)max,請讀者自行求解.思考3:在例3中,若把“使得f(x1)g(x2)”變?yōu)椤癴(x1)g(x2)”,其他條件不變,則實數(shù)a的取值范圍是.提示問題“等價轉(zhuǎn)化”為f(x)ming(x)min,請讀者自行求解.2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值必備知識預(yù)案自診知識梳理1.(1)f(x1)f(x2)上升的下降的2.(1)f(x)

14、m(2)f(x0)=m(3)f(x)m(4)f(x0)=m考點自診1.(1)(2)(3)(4)2.d令t=x2-2x-8.由x2-2x-80,解得x4.易知t=x2-2x-8在(-,-2)上單調(diào)遞減,在(4,+)上單調(diào)遞增.因為y=lnt在t(0,+)上單調(diào)遞增,可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+).故選d.3.df(-x)=f(x),f(2)=f(-2).-2-32-1,又f(x)在(-,-1上是增函數(shù),f(-2)f-320時,f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)a0時,f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增.證明如下:(方法1定義法)任取x1,x2(-1,1),且x1x2,因為f(x)=a

15、x-1+1x-1=a1+1x-1,則f(x1)-f(x2)=a1+1x1-1-a1+1x2-1=a(x2-x1)(x1-1)(x2-1),由于-1x1x20,x1-10,x2-10時,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)a0時,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0時,f(x)0,當(dāng)a0,即當(dāng)a0時,f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)a0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)證明任取x1,x2(0,+),且x1x2,則x1x21,當(dāng)x1時,f(x)0,fx1x20,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)

16、f(x2),函數(shù)f(x)是減函數(shù).例2解(1)由于y=-x2+2x+1,x0,-x2-2x+1,x0,即y=-(x-1)2+2,x0,-(x+1)2+2,x0,則x2.函數(shù)y=log12(x2-3x+2)的定義域為(-,1)(2,+).又u=x2-3x+2的對稱軸為x=32,且開口向上,u=x2-3x+2在(-,1)上單調(diào)遞減,在(2,+)上單調(diào)遞增.而y=log12u在(0,+)上是減函數(shù),y=log12(x2-3x+2)在區(qū)間(2,+)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(-,1)上單調(diào)遞增.(3)f(x)=-2xex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex-(x+3)(x-1),當(dāng)-3x0,當(dāng)x

17、1或x-3時,f(x)0,函數(shù)y=(3-x2)ex在區(qū)間(-3,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-,-3),(1,+)上單調(diào)遞減.對點訓(xùn)練2(1)b(2)c(3)b(1)令u=2x2-3x+1=2x-342-18.因為u=2x-342-18在-,34上單調(diào)遞減,函數(shù)y=13u在r上單調(diào)遞減.所以y=132x2-3x+1的單調(diào)遞增區(qū)間是-,34.(2)f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x(0,2).當(dāng)x(0,1)時,隨著x的增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,當(dāng)x(1,2)時,隨著x的增大,-x2+2x減小,ln(-x2+2x)減小,即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

18、在(1,2)上單調(diào)遞減,故排除a,b;因為f(2-x)=ln(2-x)+ln2-(2-x)=ln(2-x)+lnx=f(x),所以y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,故排除d.故選c.(3)y=|x|(1-x)=-x-122+14,x0,x-122-14,x0.畫出函數(shù)的圖象如圖所示.由圖易知原函數(shù)在0,12上單調(diào)遞增.故選b.例3(1)9(2)d(1)f(x)的定義域為1,+),且f(x)在定義域上單調(diào)遞增,f(x)min=f(1)=9.故答案為9.(2)函數(shù)y=2-xx+1=3-(x+1)x+1=3x+1-1在區(qū)間(-1,+)上單調(diào)遞減.當(dāng)x=2時,y=0.根據(jù)題意x(m,n時,ymin

19、=0.所以m的取值范圍是-1,2).故選d.對點訓(xùn)練3d因為ab=a,ab,b2,ab,所以f(x)=(1x)x-(2x)=x-2,-2x1,x3-2,1x2,易知函數(shù)在-2,2上單調(diào)遞增,所以f(x)max=f(2)=6,故選d.例4(1)b(2)a(1)由指數(shù)與對數(shù)運算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.因為22b+log2b22b+log22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a22b+log22b.令f(x)=2x+log2x,由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得f(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增.由f(a)f(2b)可得a0得x2,即函數(shù)f(x)在(2,+)上單調(diào)遞增,因此有f(4)f(5)f(6),即e416e525e636.對點訓(xùn)練4c構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)x,則函數(shù)g(x)是減函數(shù).a=25f(0.2