2022版高考數學一輪復習第五章數列第一講數列的概念與簡單表示法學案新人教版

1、第五章數列第一講數列的概念與簡單表示法知識梳理雙基自測知識點一數列的有關概念概念含義數列按照 一定順序 排列的一列數數列的項數列中的 每一個數 數列的通項數列an的第n項an通項公式數列an的第n項an與n之間的關系能用公式 anf(n) 表達，這個公式叫做數列an的通項公式前n項和數列an中，sn a1a2an 叫做數列an的前n項和知識點二數列的表示方法列表法列表格表示n與an的對應關系圖象法把點 (n，an) 畫在平面直角坐標系中公式法通項公式把數列的通項使用 公式 表示的方法遞推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示數列的方法知識點三an與sn

2、的關系若數列an的前n項和為sn，則an知識點四數列的分類1數列與函數數列可以看作是一個定義域為正整數集n*(或它的有限子集1,2，n)的函數，當自變量 從小到大 依次取值時對應的一列函數值數列的通項公式是相應函數的解析式，它的圖象是 一群孤立的點 .2常見數列的通項公式(1)自然數列：1,2,3,4，ann.(2)奇數列：1,3,5,7，an2n1.(3)偶數列：2,4,6,8，an2n.(4)平方數列：1,4,9,16，ann2.(5)2的乘方數列：2,4,8,16，an2n.(6)乘積數列：2,6,12,20，ann(n1)(7)正整數的倒數列：1，an.(8)重復數串列：9,99,99

3、9,9 999，an10n1.(9)符號數列：1,1，1,1，或1，1,1，1，an(1)n或an(1)n1.題組一走出誤區(qū)1判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)所有數列的第n項都可以用公式表示出來()(2)依據數列的前幾項歸納出數列的通項公式可能不止一個()(3)若an1an0(n2)，則函數an是遞增數列()(4)如果數列an的前n項和為sn，則對于任意nn*，都有an1sn1sn.()解析(1)因為數列是按一定順序排列的一列數，如我班某次數學測試成績，按考號從小到大的順序排列，這個數列肯定沒有通項公式，所以錯誤(2)比如數列1,0,1,0，的通項公式為：an或an或an，

4、所以正確(3)因為n1時，a2與a1不確定大小關系(4)由數列前n項和的定義可知，當nn*，都有an1sn1sn，所以正確題組二走進教材2(必修5p67a組t2改編)數列1，4,9，16,25，的一個通項公式是(c)aann2 ban(1)nn2can(1)n1n2 dan(1)n(n1)2解析因為每一項的絕對值是該項序號的平方，奇數項符號為正，偶數項符號為負，所以an(1)n1n2.故選c.3(必修5p33a組t4改編)在數列an中，a11，an1(n2)，則a5等于(d)a. b c d解析a212，a31，a413，a51.4(必修5p33a組t5改編)根據下面的圖形及相應的點數，寫出點

5、數構成的數列的一個通項公式an 5n4 .題組三走向高考5(2020浙江，11,4分)我國古代數學家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數列的求和問題，如數列就是二階等差數列數列(nn*)的前3項和是 10 .解析數列的前三項依次為1，3，6，所求和為13610.6(2018全國卷，5分)記sn為數列an的前n項和若sn2an1，則s6 63 .解析解法一：因為sn2an1，所以當n1時，a12a11，解得a11；當n2時，a1a22a21，解得a22；當n3時，a1a2a32a31，解得a34；當n4時，a1a2a3a42a41，解得a48；當n5時，a1a2a3a4a52a51，解得a516；當n

6、6時，a1a2a3a4a5a62a61，解得a632；所以s61248163263.解法二：因為sn2an1，所以當n1時，a12a11，解得a11，當n2時，ansnsn12an1(2an11)，所以an2an1，所以數列an是以1為首項，2為公比的等比數列，所以an2n1，所以s663.考點突破互動探究考點一由數列的前幾項求數列的通項公式自主練透例1 根據下面各數列前幾項的值，寫出數列的一個通項公式：(1)1,7，13,19，；(2)，；(3)，；(4)，2，8，；(5)5,55,555,5 555，思考：如何根據數列的前幾項的值寫出數列的一個通項公式？解析(1)偶數項為正，奇數項為負，故

7、通項公式必含有因式(1)n；觀察各項的絕對值，后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6，故數列的一個通項公式an(1)n(6n5)(2)這個數列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的乘積的倒數，且奇數項為負，偶數項為正，故它的一個通項公式an(1)n.(3)這是一個分數數列，其分子構成偶數數列，而分母可分解為13,35,57,79,911，即分母的每一項都是兩個相鄰奇數的乘積，故所求數列的一個通項公式an.(4)數列的各項，有的是分數，有的是整數，可將數列的各項都統(tǒng)一成分數再觀察，即，從而可得數列的一個通項公式an.(5)將原數列改寫為9，99，999.，易知數列9,99,999，的通項公式為1

8、0n1，故所求的數列的一個通項公式an(10n1)名師點撥由前幾項歸納數列通項公式的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數列)、歸納、轉化(轉化為特殊數列)、聯想(聯想常見的數列)等(2)具體策略：分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的特征；各項的符號特征和絕對值特征；化異為同對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或尋找分子、分母之間的關系；對于符號交替出現的情況，可用(1)k或(1)k1，kn*處理注意：并不是每個數列都有通項公式，有通項公式的數列，其通項公式也不一定唯一.考點二由an與sn的關系求通項公式多維探究角度1已知sn求an問題例2 (1

9、)若數列an的前n項和snn210n，則此數列的通項公式為an 2n11 .(2)若數列an的前n項和sn2n1，則此數列的通項公式為an .(3)已知數列an滿足a12a23a3nan2n，則an .解析(1)當n1時，a1s11109；當n2時，ansnsn1n210n(n1)210(n1)2n11.當n1時，21119a1，所以an2n11.故填2n11.(2)當n1時，a1s12113；當n2時，ansnsn1(2n1)(2n11)2n2n12n1.綜上有an故填(3)當n1時，由已知，可得a1212，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由，得n

10、an2n2n12n1，an(n2)顯然當n1時不滿足上式，an角度2sn與an的關系問題例3 已知數列an的前n項和snan，則an的通項公式為an n1.解析當n1時，a1s1a1，所以a11.當n2時，ansnsn1anan1，所以，所以數列an為首項a11，公比q的等比數列，故ann1.名師點撥sn與an關系問題的求解思路根據所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化(1)利用ansnsn1(n2)轉化為只含sn，sn1的關系式(2)利用snsn1an(n2)轉化為只含an，an1的關系式，再求解已知sn求an的一般步驟(1)當n1時，由a1s1，求a1的值(2)當n2時，由ansn

11、sn1，求得an的表達式(3)檢驗a1的值是否滿足(2)中的表達式，若不滿足，則分段表示an.(4)寫出an的完整表達式變式訓練1(1)(角度1)(2020福建三明一中期中)已知sn為數列an的前n項和，且log2(sn1)n1，則數列an的通項公式(b)aan2n bancan2n1 dan2n1(2)(角度2)(2021遼寧部分重點高中高三聯考)已知數列an的前n項和為sn，滿足sn2an1，則an的通項公式為(b)aan2n1 ban2n1can2n1 dan2n1(3)(角度1)設數列an滿足a13a232a33n1an.則an .解析(1)由log2(sn1)n1，得sn12n1.當

12、n1時，a1s13；當n2時，ansnsn12n，所以數列an的通項公式為an故選b.(2)當n1時，s12a11a1，a11.當n2時，ansnsn12an2an1，an2an1.因此an2n1(n2)又n1時，2n11a1，an2n1.故選b.(3)因為a13a232a33n1an，則當n2時，a13a232a33n2an1，得3n1an，所以an(n2)由題意知a1符合上式，所以an.考點三由遞推關系求通項公式多維探究角度1形如an1anf(n)，求an例4 (2021河南師大附中月考)已知數列an滿足an1an，a11，則an 2.解析由題意知anan1an(anan1)(an1an2

13、)(a2a1)a112.角度2形如an1anf(n)，求an例5 (2021寧夏銀川月考)在數列an中，a11,3an12an(nn*)，則數列an的通項公式為(a)aan bancan dan解析解法一：由已知得ana11.解法二：由題意得.又n1時，1，故數列是首項為1，公比為的等比數列從而，即an.故選a.解法三：當n1時，選項a為1，b為1，c為，d為1，否定c，當n2時，由已知得a2，選項a為，b為，d為，否定b，d，故選a.角度3形如an1aanb(a0且a1)，求an例6 (2021西北師大附中調研)已知數列an滿足a12，且an13an6，則an 3n13 .解析an13an6

14、，an133(an3)，又a12，a131，an3是首項為1，公比為3的等比數列，an33n1，an3n13.名師點撥已知遞推關系求通項，一般有三種常見思路(1)算出前幾項，再歸納、猜想(2)形如“an1panq”這種形式通常轉化為an1p(an)，由待定系數法求出，再化為等比數列(3)遞推公式化簡整理后，若為an1anf(n)型，則采用累加法；若為f(n)型，則采用累乘法變式訓練2根據下列條件，寫出數列an的通項公式：(1)(角度1)若a11，an1an2n1，則ann22n2；(2)(角度2)若a11，nan1(n1)an(n2)，則an；(3)(角度3)若a11，an13an2，則an

15、23n11 .解析(1)an1an2n1，當n2時，a2a11，a3a23，anan12n3，ana1(n1)2，an(n1)21n22n2，又當n1時，122121，n1時符合上式ann22n2.(2)nan1(n1)an，又a11，ana1.(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，an1是首項為2公比為3的等比數列，an123n1，an23n11.考點四數列的函數性質多維探究角度1數列的單調性例7 若數列an滿足ann2kn4(nn*)且an是遞增數列，則實數k的取值范圍為 k3 .解析由數列是一個遞增數列，得an1an，又因為通項公式ann2kn4，所以(n1)2

16、k(n1)4n2kn4，即k12n，又nn*，所以k3.角度2數列的周期性例8 (2020福建福清校際聯盟期中聯考)已知sn為數列an前n項和，若a1，且an1(nn*)，則6s100(a)a425 b428 c436 d437分析由遞推公式逐項求解，探求規(guī)律解析由數列的遞推公式可得：a2，a33，a42，a5a1，據此可得數列an是周期為4的周期數列，則：6s100625425.選a.角度3數列的最大、小項問題例9 已知數列an的通項公式an(n1)n，則數列an中的最大項是第 9、10 項解析解法一：an1an(n2)n1(n1)nn，當n0，即an1an；當n9時，an1an0，即an1

17、an；當n9時，an1an0，即an1an，該數列中有最大項，為第9、10項，且a9a10109.解法二：根據題意，令(n2)，即解得9n10.又nn*，n9或n10，該數列中有最大項，為第9、10項，且a9a10109.名師點撥(1)解決數列周期性問題的方法：先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值(2)判斷數列單調性的方法：作差(或商)法；目標函數法：寫出數列對應的函數，利用導數或利用基本初等函數的單調性探求其單調性，再將函數的單調性對應到數列中去(3)求數列中最大(小)項的方法：根據數列的單調性判斷；利用不等式組求出n的值，進而求得an的最值變式訓練3(1)(角度

18、1)已知數列an的通項公式為an，若數列an為遞減數列，則實數k的取值范圍為(d)a(3，) b(2，)c(1，) d(0，)(2)(角度3)數列an的通項公式an，則數列an中的最小項是(b)a3 b19 c d(3)(角度2)已知數列an滿足a10，an1(nn*)，則a2 022等于 .解析(1)因為an1an，由數列an為遞減數列知，對任意nn*，an1an33n對任意nn*恒成立，所以k(0，)(2)令f(x)x(x0)，運用基本不等式得f(x)2，當且僅當x3時等號成立因為ann，所以n2，由于nn*，不難發(fā)現當n9或n10時，an19最小，故選b.(3)由已知得a10，a2，a3

19、，a40，a5，由此可知數列an的項是以3為周期重復出現的，而2 0223674，因此a2 022a3.名師講壇素養(yǎng)提升遞推數列的通項公式的求法熱點一an1(a、b、c為常數)型例10 已知數列an中，a11，an1，則數列an的通項公式為an (nn*).解析an1，a11，an0，即，又a11，則1，是以1為首項，為公差的等差數列，(n1)，an(nn*)名師點撥形如an1(a，b，c為常數)的數列，可通過兩邊同時取倒數的方法構造新數列求解熱點二an1panf(n)(p為常數)型例11 在數列an中，(1)若a12，an14an3n1，nn*，則an 4n1n .(2)若a11，an12an3n，nn*，則an 3n2n .分析觀察遞推式特征：an1panf(n)，類似等比數列，故可嘗試化為等比數列求解，以(1)為例可設an1(n1)4(ann)，整理得an14an3n(3)所以，即轉化成功解析(1)an14an3n1，an1(n1)4(ann)，即4，又a12，a