2022版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章數(shù)列第一講數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)案新人教版

1、第五章數(shù)列第一講數(shù)列的概念與簡單表示法知識梳理雙基自測知識點(diǎn)一數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照 一定順序 排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的 每一個數(shù) 數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列an的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式 anf(n) 表達(dá)，這個公式叫做數(shù)列an的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列an中，sn a1a2an 叫做數(shù)列an的前n項(xiàng)和知識點(diǎn)二數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn) (n，an) 畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用 公式 表示的方法遞推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示數(shù)列的方法知識點(diǎn)三an與sn

2、的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，則an知識點(diǎn)四數(shù)列的分類1數(shù)列與函數(shù)數(shù)列可以看作是一個定義域?yàn)檎麛?shù)集n*(或它的有限子集1,2，n)的函數(shù)，當(dāng)自變量 從小到大 依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值數(shù)列的通項(xiàng)公式是相應(yīng)函數(shù)的解析式，它的圖象是 一群孤立的點(diǎn) .2常見數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)自然數(shù)列：1,2,3,4，ann.(2)奇數(shù)列：1,3,5,7，an2n1.(3)偶數(shù)列：2,4,6,8，an2n.(4)平方數(shù)列：1,4,9,16，ann2.(5)2的乘方數(shù)列：2,4,8,16，an2n.(6)乘積數(shù)列：2,6,12,20，ann(n1)(7)正整數(shù)的倒數(shù)列：1，an.(8)重復(fù)數(shù)串列：9,99,99

3、9,9 999，an10n1.(9)符號數(shù)列：1,1，1,1，或1，1,1，1，an(1)n或an(1)n1.題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都可以用公式表示出來()(2)依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個()(3)若an1an0(n2)，則函數(shù)an是遞增數(shù)列()(4)如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，則對于任意nn*，都有an1sn1sn.()解析(1)因?yàn)閿?shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，如我班某次數(shù)學(xué)測試成績，按考號從小到大的順序排列，這個數(shù)列肯定沒有通項(xiàng)公式，所以錯誤(2)比如數(shù)列1,0,1,0，的通項(xiàng)公式為：an或an或an，

4、所以正確(3)因?yàn)閚1時，a2與a1不確定大小關(guān)系(4)由數(shù)列前n項(xiàng)和的定義可知，當(dāng)nn*，都有an1sn1sn，所以正確題組二走進(jìn)教材2(必修5p67a組t2改編)數(shù)列1，4,9，16,25，的一個通項(xiàng)公式是(c)aann2 ban(1)nn2can(1)n1n2 dan(1)n(n1)2解析因?yàn)槊恳豁?xiàng)的絕對值是該項(xiàng)序號的平方，奇數(shù)項(xiàng)符號為正，偶數(shù)項(xiàng)符號為負(fù)，所以an(1)n1n2.故選c.3(必修5p33a組t4改編)在數(shù)列an中，a11，an1(n2)，則a5等于(d)a. b c d解析a212，a31，a413，a51.4(必修5p33a組t5改編)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)

5、數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式an 5n4 .題組三走向高考5(2020浙江，11,4分)我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列數(shù)列(nn*)的前3項(xiàng)和是 10 .解析數(shù)列的前三項(xiàng)依次為1，3，6，所求和為13610.6(2018全國卷，5分)記sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和若sn2an1，則s6 63 .解析解法一：因?yàn)閟n2an1，所以當(dāng)n1時，a12a11，解得a11；當(dāng)n2時，a1a22a21，解得a22；當(dāng)n3時，a1a2a32a31，解得a34；當(dāng)n4時，a1a2a3a42a41，解得a48；當(dāng)n5時，a1a2a3a4a52a51，解得a516；當(dāng)n

6、6時，a1a2a3a4a5a62a61，解得a632；所以s61248163263.解法二：因?yàn)閟n2an1，所以當(dāng)n1時，a12a11，解得a11，當(dāng)n2時，ansnsn12an1(2an11)，所以an2an1，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an2n1，所以s663.考點(diǎn)突破互動探究考點(diǎn)一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式自主練透例1 根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：(1)1,7，13,19，；(2)，；(3)，；(4)，2，8，；(5)5,55,555,5 555，思考：如何根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)的值寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式？解析(1)偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故

7、通項(xiàng)公式必含有因式(1)n；觀察各項(xiàng)的絕對值，后一項(xiàng)的絕對值總比它前一項(xiàng)的絕對值大6，故數(shù)列的一個通項(xiàng)公式an(1)n(6n5)(2)這個數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對值都等于序號與序號加1的乘積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故它的一個通項(xiàng)公式an(1)n.(3)這是一個分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為13,35,57,79,911，即分母的每一項(xiàng)都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積，故所求數(shù)列的一個通項(xiàng)公式an.(4)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察，即，從而可得數(shù)列的一個通項(xiàng)公式an.(5)將原數(shù)列改寫為9，99，999.，易知數(shù)列9,99,999，的通項(xiàng)公式為1

8、0n1，故所求的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式an(10n1)名師點(diǎn)撥由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等(2)具體策略：分式中分子、分母的特征；相鄰項(xiàng)的變化特征；拆項(xiàng)后的特征；各項(xiàng)的符號特征和絕對值特征；化異為同對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(1)k或(1)k1，kn*處理注意：并不是每個數(shù)列都有通項(xiàng)公式，有通項(xiàng)公式的數(shù)列，其通項(xiàng)公式也不一定唯一.考點(diǎn)二由an與sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式多維探究角度1已知sn求an問題例2 (1

9、)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和snn210n，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an 2n11 .(2)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn2n1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an .(3)已知數(shù)列an滿足a12a23a3nan2n，則an .解析(1)當(dāng)n1時，a1s11109；當(dāng)n2時，ansnsn1n210n(n1)210(n1)2n11.當(dāng)n1時，21119a1，所以an2n11.故填2n11.(2)當(dāng)n1時，a1s12113；當(dāng)n2時，ansnsn1(2n1)(2n11)2n2n12n1.綜上有an故填(3)當(dāng)n1時，由已知，可得a1212，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由，得n

10、an2n2n12n1，an(n2)顯然當(dāng)n1時不滿足上式，an角度2sn與an的關(guān)系問題例3 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和snan，則an的通項(xiàng)公式為an n1.解析當(dāng)n1時，a1s1a1，所以a11.當(dāng)n2時，ansnsn1anan1，所以，所以數(shù)列an為首項(xiàng)a11，公比q的等比數(shù)列，故ann1.名師點(diǎn)撥sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化(1)利用ansnsn1(n2)轉(zhuǎn)化為只含sn，sn1的關(guān)系式(2)利用snsn1an(n2)轉(zhuǎn)化為只含an，an1的關(guān)系式，再求解已知sn求an的一般步驟(1)當(dāng)n1時，由a1s1，求a1的值(2)當(dāng)n2時，由ansn

11、sn1，求得an的表達(dá)式(3)檢驗(yàn)a1的值是否滿足(2)中的表達(dá)式，若不滿足，則分段表示an.(4)寫出an的完整表達(dá)式變式訓(xùn)練1(1)(角度1)(2020福建三明一中期中)已知sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且log2(sn1)n1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式(b)aan2n bancan2n1 dan2n1(2)(角度2)(2021遼寧部分重點(diǎn)高中高三聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，滿足sn2an1，則an的通項(xiàng)公式為(b)aan2n1 ban2n1can2n1 dan2n1(3)(角度1)設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an.則an .解析(1)由log2(sn1)n1，得sn12n1.當(dāng)

12、n1時，a1s13；當(dāng)n2時，ansnsn12n，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an故選b.(2)當(dāng)n1時，s12a11a1，a11.當(dāng)n2時，ansnsn12an2an1，an2an1.因此an2n1(n2)又n1時，2n11a1，an2n1.故選b.(3)因?yàn)閍13a232a33n1an，則當(dāng)n2時，a13a232a33n2an1，得3n1an，所以an(n2)由題意知a1符合上式，所以an.考點(diǎn)三由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式多維探究角度1形如an1anf(n)，求an例4 (2021河南師大附中月考)已知數(shù)列an滿足an1an，a11，則an 2.解析由題意知anan1an(anan1)(an1an2

13、)(a2a1)a112.角度2形如an1anf(n)，求an例5 (2021寧夏銀川月考)在數(shù)列an中，a11,3an12an(nn*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為(a)aan bancan dan解析解法一：由已知得ana11.解法二：由題意得.又n1時，1，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列從而，即an.故選a.解法三：當(dāng)n1時，選項(xiàng)a為1，b為1，c為，d為1，否定c，當(dāng)n2時，由已知得a2，選項(xiàng)a為，b為，d為，否定b，d，故選a.角度3形如an1aanb(a0且a1)，求an例6 (2021西北師大附中調(diào)研)已知數(shù)列an滿足a12，且an13an6，則an 3n13 .解析an13an6

14、，an133(an3)，又a12，a131，an3是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，an33n1，an3n13.名師點(diǎn)撥已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)，一般有三種常見思路(1)算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想(2)形如“an1panq”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an1p(an)，由待定系數(shù)法求出，再化為等比數(shù)列(3)遞推公式化簡整理后，若為an1anf(n)型，則采用累加法；若為f(n)型，則采用累乘法變式訓(xùn)練2根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列an的通項(xiàng)公式：(1)(角度1)若a11，an1an2n1，則ann22n2；(2)(角度2)若a11，nan1(n1)an(n2)，則an；(3)(角度3)若a11，an13an2，則an

15、23n11 .解析(1)an1an2n1，當(dāng)n2時，a2a11，a3a23，anan12n3，ana1(n1)2，an(n1)21n22n2，又當(dāng)n1時，122121，n1時符合上式ann22n2.(2)nan1(n1)an，又a11，ana1.(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，an1是首項(xiàng)為2公比為3的等比數(shù)列，an123n1，an23n11.考點(diǎn)四數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)多維探究角度1數(shù)列的單調(diào)性例7 若數(shù)列an滿足ann2kn4(nn*)且an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 k3 .解析由數(shù)列是一個遞增數(shù)列，得an1an，又因?yàn)橥?xiàng)公式ann2kn4，所以(n1)2

16、k(n1)4n2kn4，即k12n，又nn*，所以k3.角度2數(shù)列的周期性例8 (2020福建福清校際聯(lián)盟期中聯(lián)考)已知sn為數(shù)列an前n項(xiàng)和，若a1，且an1(nn*)，則6s100(a)a425 b428 c436 d437分析由遞推公式逐項(xiàng)求解，探求規(guī)律解析由數(shù)列的遞推公式可得：a2，a33，a42，a5a1，據(jù)此可得數(shù)列an是周期為4的周期數(shù)列，則：6s100625425.選a.角度3數(shù)列的最大、小項(xiàng)問題例9 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an(n1)n，則數(shù)列an中的最大項(xiàng)是第 9、10 項(xiàng)解析解法一：an1an(n2)n1(n1)nn，當(dāng)n0，即an1an；當(dāng)n9時，an1an0，即an1

17、an；當(dāng)n9時，an1an0，即an1an，該數(shù)列中有最大項(xiàng)，為第9、10項(xiàng)，且a9a10109.解法二：根據(jù)題意，令(n2)，即解得9n10.又nn*，n9或n10，該數(shù)列中有最大項(xiàng)，為第9、10項(xiàng)，且a9a10109.名師點(diǎn)撥(1)解決數(shù)列周期性問題的方法：先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值(2)判斷數(shù)列單調(diào)性的方法：作差(或商)法；目標(biāo)函數(shù)法：寫出數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)到數(shù)列中去(3)求數(shù)列中最大(小)項(xiàng)的方法：根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷；利用不等式組求出n的值，進(jìn)而求得an的最值變式訓(xùn)練3(1)(角度

18、1)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，若數(shù)列an為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(d)a(3，) b(2，)c(1，) d(0，)(2)(角度3)數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，則數(shù)列an中的最小項(xiàng)是(b)a3 b19 c d(3)(角度2)已知數(shù)列an滿足a10，an1(nn*)，則a2 022等于 .解析(1)因?yàn)閍n1an，由數(shù)列an為遞減數(shù)列知，對任意nn*，an1an33n對任意nn*恒成立，所以k(0，)(2)令f(x)x(x0)，運(yùn)用基本不等式得f(x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x3時等號成立因?yàn)閍nn，所以n2，由于nn*，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n9或n10時，an19最小，故選b.(3)由已知得a10，a2，a3

19、，a40，a5，由此可知數(shù)列an的項(xiàng)是以3為周期重復(fù)出現(xiàn)的，而2 0223674，因此a2 022a3.名師講壇素養(yǎng)提升遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法熱點(diǎn)一an1(a、b、c為常數(shù))型例10 已知數(shù)列an中，a11，an1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an (nn*).解析an1，a11，an0，即，又a11，則1，是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，(n1)，an(nn*)名師點(diǎn)撥形如an1(a，b，c為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解熱點(diǎn)二an1panf(n)(p為常數(shù))型例11 在數(shù)列an中，(1)若a12，an14an3n1，nn*，則an 4n1n .(2)若a11，an12an3n，nn*，則an 3n2n .分析觀察遞推式特征：an1panf(n)，類似等比數(shù)列，故可嘗試化為等比數(shù)列求解，以(1)為例可設(shè)an1(n1)4(ann)，整理得an14an3n(3)所以，即轉(zhuǎn)化成功解析(1)an14an3n1，an1(n1)4(ann)，即4，又a12，a