2022版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時作業(yè)梯級練四十七利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系課時作業(yè)理含解析新人教A版

1、課時作業(yè)梯級練四十七利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系 一、選擇題(每小題5分,共20分)1.若直線l的一個方向向量為a=(2,5,7),平面的一個法向量為u=(1,1,-1),則()a.l或lb.lc.ld.l與斜交【解析】選a.由條件知au=21+51+7(-1)=0,所以au,故l或l.2.設(shè)平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k),若,則k等于()a.2b.-4c.-5d.-2【解析】選c.因為,所以1(-2)+2(-4)+(-2)k=0,所以k=-5.3.在空間直角坐標(biāo)系中,已知a(1,2,3),b(-2,-1,6),c(3,2,1),d(4,3,0),則直線a

2、b與cd的位置關(guān)系是()a.垂直b.平行c.異面d.相交但不垂直【解析】選b.由題意得, =(-3,-3,3), =(1,1,-1),所以 =-3 ,所以 與 共線,又因為ab與cd沒有公共點,所以abcd.4.在正方體abcd-a1b1c1d1中,e,f分別在a1d,ac上,且a1e= a1d,af= ac,則()a.ef至多與a1d,ac之一垂直b.efa1d,efacc.ef與bd1相交d.ef與bd1異面【解析】選b.以d點為坐標(biāo)原點,以da,dc,dd1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,則a1(1,0,1),d(0,0,0),a(1,0,0),c(0,1

3、,0),e ,0, ,f , ,0 ,b(1,1,0),d1(0,0,1), =(-1,0,-1), =(-1,1,0), = , ,- , =(-1,-1,1), =- , = =0,從而efbd1,efa1d,efac.二、填空題(每小題5分,共15分)5.在空間直角坐標(biāo)系中,點p(1, , ),過點p作平面yoz的垂線pq,則垂足q的坐標(biāo)為.【解析】由題意知,點q即為點p在平面yoz內(nèi)的射影,所以垂足q的坐標(biāo)為(0, , ).答案:(0, , )6.已知平面內(nèi)的三點a(0,0,1),b(0,1,0),c(1,0,0),平面的一個法向量n=(-1,-1,-1),則不重合的兩個平面與的位置關(guān)

4、系是.【解析】設(shè)平面的一個法向量為m=(x,y,z),由m =0,得x0+y-z=0y=z,由m =0,得x-z=0x=z,取x=1,所以m=(1,1,1),m=-n,所以mn,所以.答案:7.已知v為矩形abcd所在平面外一點,且va=vb=vc=vd, = , = , = .則va與平面pmn的位置關(guān)系是.【解析】如圖,設(shè) =a, =b, =c,則 =a+c-b,由題意知 = b- c, = - = a- b+ c.因此 = + ,所以 , , 共面.又因為va平面pmn,所以va平面pmn.答案:平行三、解答題(每小題10分,共20分)8.如圖,在直三棱柱abc-a1b1c1中,ac=3

5、,bc=4,ab=5,aa1=4,點d是ab的中點.(1)證明acbc1;(2)證明ac1平面cdb1.【證明】因為直三棱柱abc-a1b1c1的底面邊長分別為ac=3,bc=4,ab=5,所以abc為直角三角形,acbc.所以ac,bc,c1c兩兩垂直.如圖,以c為坐標(biāo)原點,直線ca,cb,cc1分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則c(0,0,0),a(3,0,0),b(0,4,0),c1(0,0,4),a1(3,0,4),b1(0,4,4),d ,2,0 .(1)因為 =(-3,0,0), =(0,-4,4),所以 =0,所以acbc1.(2)設(shè)cb1與c1b的交點為e,連接de,

6、則e(0,2,2), = - ,0,2 , =(-3,0,4),所以 = ,deac1.因為de平面cdb1,ac1平面cdb1,所以ac1平面cdb1.9.如圖,在長方體abcd-a1b1c1d1中,aa1=ad=1,e為cd中點.(1)求證:b1ead1;(2)在棱aa1上是否存在一點p,使得dp平面b1ae?若存在,求ap的長;若不存在,說明理由.【解析】如圖所示,以a為坐標(biāo)原點,ab,ad,aa1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)ab=a,則a(0,0,0),a1(0,0,1),d(0,1,0),d1(0,1,1),e ,1,0 ,b1(a,0,1),所以 =(0,1

7、,1), = - ,1,-1 , =(a,0,1), = ,1,0 .(1)因為 =- 0+11+(-1)1=0,所以 ,所以b1ead1.(2)假設(shè)在棱aa1上存在一點p(0,0,t)(0t1),使得dp平面b1ae,此時 =(0,-1,t).設(shè)平面b1ae的法向量為n=(x,y,z).由 ,得 .取x=1,可得平面b1ae的一個法向量為n=(1,- ,-a).要使dp平面b1ae,只需n ,即n =0,即 -at=0,解得t= .又dp平面b1ae,所以存在點p,使得dp平面b1ae,此時ap= . 1.(5分)如圖,f是正方體abcd-a1b1c1d1的棱cd的中點.e是bb1上一點,若

8、d1fde,則有()a.b1e=ebb.b1e=2ebc.b1e= ebd.e與b重合【解析】選a.分別以da,dc,dd1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為2,則d(0,0,0),f(0,1,0),d1(0,0,2),設(shè)e(2,2,z),則 =(0,1,-2), =(2,2,z),因為 =02+12-2z=0,所以z=1,所以b1e=eb.2.(5分)a,b,c,d是空間不共面的四點,且滿足 =0, =0, =0,m為bc中點,則amd是()a.鈍角三角形b.銳角三角形c.直角三角形d.不確定【解析】選c.因為m為bc中點,所以 = ( + ).所以 = ( + ) = +

9、=0.所以amad,amd為直角三角形.3.(5分)如圖,在正方體abcd-a1b1c1d1中,棱長為a,m,n分別為a1b和ac上的點,a1m=an= ,則mn與平面bb1c1c的位置關(guān)系是.【解析】因為正方體棱長為a,a1m=an= ,所以 = , = ,所以 = + + = + + = ( + )+ + ( + )= + .又因為 是平面b1bcc1的法向量,所以 = + =0,所以 .又因為mn平面b1bcc1,所以mn平面b1bcc1.答案:平行4.(10分)如圖所示,在四棱錐p-abcd中,pc平面abcd,pc=2,在四邊形abcd中,b=c=90,ab=4,cd=1,點m在pb

10、上,pb=4pm,pb與平面abcd成30的角.求證: (1)cm平面pad;(2)平面pab平面pad.【證明】以c為坐標(biāo)原點,cb,cd,cp所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系c-xyz.因為pc平面abcd,所以pbc為pb與平面abcd所成的角,所以pbc=30.因為pc=2,所以bc=2 ,pb=4,所以d(0,1,0),b(2 ,0,0),a(2 ,4,0),p(0,0,2),m ,0, ,所以 =(0,-1,2), =(2 ,3,0), = ,0, .(1)設(shè)n=(x,y,z)為平面pad的一個法向量,由 得 令y=2,得n=(- ,2,1).因為n =- +

11、20+1 =0,所以n .又因為cm平面pad,所以cm平面pad.(2)如圖,取ap的中點e,連接be,則e( ,2,1), =(- ,2,1).因為pb=ab,所以bepa.又因為 =(- ,2,1)(2 ,3,0)=0,所以 ,所以beda.又因為pada=a,所以be平面pad.又因為be 平面pab,所以平面pab平面pad.5.(10分)在四棱錐p-abcd中,pd底面abcd,底面abcd為正方形,pd=dc,e,f分別是ab,pb的中點.(1)求證:efcd;(2)在平面pad內(nèi)是否存在一點g,使gf平面pcb?若存在,求出點g的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解析】(1)如圖,

12、以da,dc,dp所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)ad=a,則d(0,0,0),a(a,0,0),b(a,a,0),c(0,a,0),e a, ,0 ,p(0,0,a),f , , , = - ,0, , =(0,a,0).因為 =0,所以 ,即efcd.(2)存在點g為ad的中點滿足題意.假設(shè)存在滿足條件的點g,設(shè)g(x,0,z)則 = x- ,- ,z- ,若使gf平面pcb則由 = x- ,- ,z- (a,0,0)=a x- =0,得x= ;由 = x- ,- ,z- (0,-a,a)= +a z- =0得z=0.所以點g的坐標(biāo)為 ,0,0 ,即存在滿足條件的點g,且點g為ad的中點. 如圖,在三棱柱abc-a1b1c1中,aa1c1c是邊長為4的正方形.平面abc平面aa1c1c,ab=3,bc=5.(1)求證:aa1平面abc;(2)證明:在線段bc1上存在點d,使得ada1b,并求 的值.【證明】(1)因為aa1c1c為正方形,所以aa1ac.因為平面abc平面aa1c1c,aa1平面aa1c1c,且aa1垂直于這兩個平面的交線ac,所以aa1平面abc.(2)由(1)知aa1ab,aa1ac.由題知ab=3,bc=5,ac=4,所以abac.如圖,