§823雙曲線幾何性質(zhì)

1、課題： 雙曲線的幾何性質(zhì)（ 1）教學(xué)目標(biāo)：1能用對(duì)比的方法分析雙曲線的范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)等幾何性質(zhì)，并熟記之；2掌握雙曲線的漸近線的概念和證明；3明確雙曲線方程中 a,b,c 的幾何意義；4能根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，確定雙曲線的方程并解決簡(jiǎn)單問(wèn)題 三教學(xué)重、難點(diǎn)：雙曲線的范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)和漸近線 . 四教學(xué)過(guò)程： 一）復(fù)習(xí)：1雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程； 2橢圓的性質(zhì)；22 二）新課講解：以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程x2 y2 1 為例進(jìn)行說(shuō)明。a2 b21范圍 ：觀察雙曲線的草圖， 可以直觀看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍： 雙曲線在兩條直線 x a 的外側(cè) .注意： 從雙曲線的方程如何驗(yàn)證？從標(biāo)準(zhǔn)方程2x2a22

2、y2 1可知 x2 1b2a22by2 ，由此雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都適合不等式即 x2 a2 ， xa 即雙曲線在兩條直線 x a 的外側(cè) .2對(duì)稱(chēng)性雙曲線2x2a的對(duì)稱(chēng)軸，原點(diǎn)是雙曲線2 y b22 x2 a1關(guān)于每個(gè)坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都是對(duì)稱(chēng)的，這時(shí)，坐標(biāo)軸是雙曲線2y2 1的對(duì)稱(chēng)中心，雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心叫做雙曲線的中心 b23頂點(diǎn) ：雙曲線和對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn) .22在雙曲線 x2 y2 1的方程里，對(duì)稱(chēng)軸是 x, y軸，所以令 y 0得 xa ，因此雙曲線和a2 b222軸有兩個(gè)交點(diǎn) A （ a,0） A2 （a,0） ，他們是雙曲線 x2 y2 1的頂點(diǎn) .a2 b2令 x 0 ，沒(méi)有

3、實(shí)根，因此雙曲線和 y 軸沒(méi)有交點(diǎn)。1）注意 ：雙曲線的頂點(diǎn)只有兩個(gè)，這是與橢圓不同的（橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)） 雙曲線的頂點(diǎn)分別是實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)。2）實(shí)軸 ：線段 A A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)等于 2a,a 叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)虛軸： 線段 B B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)等于 2b,b 叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng) . 在作圖時(shí)，我們常常把虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)畫(huà)上（為要確定漸進(jìn)線） ，但要注意他們并非是雙 曲線的頂點(diǎn) .4漸近線 ：注意到開(kāi)課之初所畫(huà)的矩形，矩形確定了兩條對(duì)角線，這兩條直線即稱(chēng)為雙曲線22 的漸近線。從圖上看，雙曲線 x2 y2 1 的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近.a2 b2k在初中

4、學(xué)習(xí)反比例函數(shù) y 時(shí)提到 x 軸 y 軸都是它的漸近線。高中三角函數(shù) y tanx ，漸 x近線是 x k （k Z） .2 所謂漸近，既是無(wú)限接近但永不相交。那么如何證明這個(gè)無(wú)限接近但永不相交？ 思考：從哪個(gè)量上反映“無(wú)限接近但永不相交”？距離。只要證明什么？距離趨 向于 0.下面證明，取第一象限內(nèi)的部分進(jìn)行證明.（見(jiàn)課本 P109 ）求法： 求已知雙曲線的漸近線方程：令右端的 1為 0，解出的直線方程即為雙曲線的漸近線方 程.5等軸雙曲線：1）定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式： a b2）等軸雙曲線的性質(zhì)： （ 1）漸近線方程為： y x ；（2）漸近線互相垂直。 注意

5、以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià)。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙 曲線為等軸雙曲線，同時(shí)其他幾個(gè)亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征 ab，則等軸雙曲線可以設(shè)為：22x y (0)當(dāng)0 時(shí)交點(diǎn)在 x 軸，當(dāng)0 時(shí)焦點(diǎn)在 y 軸上。26 注意 x2 y22yx1 與1 的區(qū)別：三個(gè)量 a,b,c 中 a,b 不同（互換） c 相同，還有1699 16焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了。共軛雙曲線 ：以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱(chēng)為原雙曲線 的共軛雙曲線。通過(guò)分析曲線的方程，發(fā)現(xiàn)二者具有相同的漸近線。此即為共軛之意。1）性質(zhì)：共用一對(duì)漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上。2

6、）如何確定雙曲線的共軛雙曲線？將1 變?yōu)?1。3 ）共用同一對(duì)漸近線y kx 的雙曲線的方程具有什么樣的特征？可設(shè)為2y2（0），當(dāng)0時(shí)交點(diǎn)在 x 軸，當(dāng)k220 時(shí)焦點(diǎn)在 y 軸上。x14）與雙曲線有同一對(duì)漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為2x2a2b2 (0) ，當(dāng) 0時(shí)交點(diǎn)在 x 軸，三）例題分析： 例 1求雙曲線 9y2當(dāng)0 時(shí)焦點(diǎn)在 y 軸上。解：把方程化標(biāo)準(zhǔn)方程：16x22 y 42144 的實(shí)半軸和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程。 2x321 ，由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng) a 4 ，虛半軸長(zhǎng)c a2 b242 323 漸近線方程為 x y ，即 y43 例 2 雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線

7、的一部分繞 其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面 （如左圖），它的最小半徑為 12m ， 上口半徑為 13m，下口半徑為 25m，高 55m，選擇適當(dāng) 的坐標(biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1m） .解：如圖（右圖） ，建立坐標(biāo)系 xOy ，使小圓的直徑 AA 在 x 軸上，圓心與原點(diǎn)重合；這時(shí)，上、下口的直徑5，焦點(diǎn)的坐標(biāo)是 （0, 5）,（0,5） 4x。CC ,BB 平 行 于 x 軸 ， 且 |CC | 13 2(m) ， |BB | 25 2(m) ； 設(shè)曲 線 的 方 程 為 ： 22x2 y2 1(a 0,b 0)ab令點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (13, y ) ，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (25, y 55) ，因?yàn)辄c(diǎn) B,C 在雙曲線上，所以2521221321222(y 55)2b22 y22 1 b2 11(1)(2)所求雙曲線的方程為：例 3求與雙曲線 4x 解：與雙曲線 4x2 y2 故設(shè)所求雙曲線的方程為又過(guò)點(diǎn) M (2,2)所求雙曲線的方程為化簡(jiǎn)，得 19b2 275b 18150 0 解得 b 25(m)2y2 1.6254 有共同漸近線，且過(guò)點(diǎn) M (2,2) 的雙曲線的方程 .4 有共同漸近線2x1442y224x y k(k22 k 4 22 2222 2 x4x2 y2 12 即30)122y2 1.12P113練習(xí)第 1，3，4，5 題橢圓雙曲線不同點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)