史上最詳細(xì)的平面曲線的弧長公式計(jì)算微積分

1、 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)弧長的概念弧長的概念直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形參數(shù)方程情形參數(shù)方程情形7.47.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長2,0ma 設(shè)設(shè)a a、b b是曲線是曲線在在弧上插入分點(diǎn)弧上插入分點(diǎn)依次用弦將依次用弦將記每條弦記每條弦的長度為的長度為折線長度的極限折線長度的極限如果當(dāng)分點(diǎn)無限增加如果當(dāng)分點(diǎn)無限增加, , ,|lim110存在存在iniimm 弧長(長度).,1 nm弧上的兩個(gè)端點(diǎn)弧上的兩個(gè)端點(diǎn), ,光滑曲線弧是可求長光滑曲線弧是可求長. .oxy a b0m nm 1m

2、 2m im 1 nm 則稱則稱此極限此極限為曲線弧為曲線弧 abab的的,1imm ,bmn 相鄰兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來相鄰兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來, , 得到一條內(nèi)接折線得到一條內(nèi)接折線. ., 2 , 1|,|1nimmii . |max11iinimm 令令,0時(shí)時(shí)且且 一、平面曲線弧長的概念一、平面曲線弧長的概念 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長3xoyabxxxd yd22)d()d(yx xy d12 弧長元素弧長元素,d1d2xys 弧長弧長.d12xysba 小切線段的長為小切線段的長為: :弧段的長弧段的長, ,)(xfy 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為y y = f f ( (x x) ),(bxa

3、 其中其中f f ( (x x) )在在 a a, , b b 上有上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)導(dǎo)數(shù). .取積分變量為取積分變量為x x, ,任取小區(qū)間任取小區(qū)間,d,xxx xd在在 a a, , b b 上上二、直角坐標(biāo)情形二、直角坐標(biāo)情形現(xiàn)在計(jì)算這現(xiàn)在計(jì)算這曲線弧的長度曲線弧的長度. .( (弧微分弧微分) )以對應(yīng)小以對應(yīng)小切線段的長代替小切線段的長代替小 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長4解解2)(1y 所求弧長為所求弧長為xaxsdch axaayaxaxch)ee (2 bxbx 與與,chaxay axysh xaxbdch20 .sh2sh20abaaxab 2sh1 axa

4、xch 例例xysbad12 b b懸鏈線方程懸鏈線方程計(jì)算介于計(jì)算介于 之間一段弧長度之間一段弧長度. .xyobb axxsh)ch( cxxx shdch 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長5解解nxnysin ,sinnx sxnxndsin10 tntdsin1 tttttnd2cos2sin22cos2sin022 tttnd2cos2sin0 .4n ntx 例例xysbad12 計(jì)算曲線計(jì)算曲線的弧長的弧長 dsin0 nynxtnxdd 000nn1 ).0(nx 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長6曲線弧為曲線弧為 )(),(tytx )( t22)d()d(dyxs

5、tttd)()(22 弧長弧長.d)()(22ttts 其中其中)(),(tt 在在 a a, , b b 上上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). .三、參數(shù)方程情形三、參數(shù)方程情形現(xiàn)在計(jì)算這現(xiàn)在計(jì)算這曲線弧的長度曲線弧的長度. .取參數(shù)取參數(shù)t t為積分變量為積分變量, , 其變化區(qū)間為其變化區(qū)間為., 對應(yīng)于對應(yīng)于, 上任一小區(qū)間上任一小區(qū)間d,ttt 的小弧段的的小弧段的長度的近似值長度的近似值, , 即即弧長元素弧長元素為為 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長7解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t對稱性對稱性14ss tyxd)()(422 t

6、ttadcossin3420 .6a tttsd)()(22 02例例 求星形線求星形線的全長的全長. .323232ayx )0( aaaoxyaa 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長8證證xysd12021 xxadcos12022 設(shè)正弦線的弧長等于設(shè)正弦線的弧長等于s s1 1設(shè)橢圓的周長為設(shè)橢圓的周長為s s2 2tyxsd)()(20222 證明正弦線證明正弦線例例的弧長的弧長)20(sin xxay等于橢圓等于橢圓的周長的周長. .)20(sin1cos2 ttaytx對稱性對稱性ttatd)(cos1 ()(sin20222 ttadcos12022 xxadcos12022

7、 .1s 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長9曲線弧為曲線弧為)( )( rr sincosryrx)( 22)d()d(dyxs d)()(22rr 弧長弧長.d)()(22 rrs具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). .上上在在其中其中,)( r sin)(cos)(ryrx四、極坐標(biāo)情形四、極坐標(biāo)情形現(xiàn)在計(jì)算這現(xiàn)在計(jì)算這曲線弧的長度曲線弧的長度. .由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：弧長元素弧長元素為為 為參數(shù)的為參數(shù)的參數(shù)方程參數(shù)方程 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長10)0( a)30( 解解 d)()(22 rrs d3cos3sin3sin3024262 aa d3

8、sin302 a.23a d)()(22 rrs求極坐標(biāo)系下曲線求極坐標(biāo)系下曲線例例33sin ar的長的長. .3cos3sin2 a23sin3 ar3cos 31 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長11解解 d)()(22 rrs d20222 aa d1202 a求阿基米德螺線求阿基米德螺線 上上相相應(yīng)應(yīng)于于)0( aar.20的的弧弧長長到到從從例例xaxd22 caxxaaxx |ln2222222).412ln(412222 axa2o 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長12平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下求弧長的公式求弧長的公式 四、小結(jié)四、小結(jié) 7.4 平面曲線的弧長平面曲線的弧長13思考題思考題解答