線面垂直及面面垂直典型例題

1、 線面垂直與面面垂直 基礎(chǔ)要點(diǎn)線面垂直 面面垂直線線垂直、若直線與平面所成的角相等，則平面與的位置關(guān)系是（ b ） a、 b、不一定平行于 c、不平行于 d、以上結(jié)論都不正確、在斜三棱柱,又,過作底面abc，垂足為h ，則h一定在（ b ） a、直線ac上 b、直線ab上 c、直線bc上 d、abc的內(nèi)部、如圖示，平面平面，與兩平面所成的角分別為和，過a、b分別作兩平面交線的垂線，垂足為，則（ a ） a、2:1 b、3:1 c、3:2 d、4:3、如圖示，直三棱柱中，,dc上有一動(dòng)點(diǎn)p，則周長的最小值是5.已知長方體中，,若棱ab上存在點(diǎn)p，使得,則棱ad長的取值范圍是 。題型一：直線、平面

2、垂直的應(yīng)用1.（2014，江蘇卷）如圖，在三棱錐p-abc中，d，e，f分別為棱pc，ac，ab的中點(diǎn). 已知.求證：(1) ；(2) .證明： (1) 因?yàn)閐，e分別為棱pc，ac的中點(diǎn)，所以depa. 又因?yàn)閜a 平面def，de 平面def，所以直線pa平面def. (2) 因?yàn)閐，e，f分別為棱pc，ac，ab的中點(diǎn)，pa6，bc8，所以depa，depa3，efbc4. 又因 df5，故df2de2ef2，所以def90，即de丄ef. 又paac，depa，所以deac. 因?yàn)閍cefe，ac平面abc，ef平面abc，所以de平面abc. 又de平面bde，所以平面bde平面ab

3、c. 2. (2014,北京卷，文科)如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，、分別為、的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求證：平面.證明：（1）在三棱柱中，.(2)取ab的中點(diǎn)g，連接eg，fg、分別為、的中點(diǎn), ,則四邊形為平行四邊形，.3如圖，是所在平面外的一點(diǎn)，且平面，平面平面求證分析：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個(gè)平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直證明：在平面內(nèi)作，交于因?yàn)槠矫嫫矫嬗?，平面，且，所以又因?yàn)槠矫妫谑怯辛硗馄矫?，平面，所以由及，可知平面因?yàn)槠矫妫哉f明：在空間圖形中，高一級(jí)的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)的垂

4、直關(guān)系，通過本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直4.過點(diǎn)引三條不共面的直線、，如圖，若截取(1)求證：平面平面；(2)求到平面的距離 分析：要證明平面平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，須在平面或平面內(nèi)找到一條與另一個(gè)平面垂直的直線(1)證明：，又，和都是等邊三角形，取的中點(diǎn)，連結(jié)，在中，在中，平面平面，平面平面或：，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的外心，又為，在斜邊上，又為等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，平面平面，平面平面(2)解：由前所證：，平面，的長即為點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)到平面的距離為、如圖示，abcd為長方形，sa垂直于abcd所在平面，過a且垂直于sc的平面分別交sb、sc、sd于e、f、g，求證：ae

5、sb,agsd6.在四棱錐p-abcd中，側(cè)面pcd是正三角形，且與底面abcd垂直，已知底面是面積為的菱形，m是pb中點(diǎn)。(1)求證：pacd(2)求證：平面pab平面cdm7.在多面體abcde中，ab=bc=ac=ae=1，cd=2，面abc，ae/cd。(1)求證：ae/平面bcd；(2)求證：平面bed平面bcd題型二、空間角的問題1.如圖示，在正四棱柱中，e為上使的點(diǎn)，平面交于f，交的延長線于g，求：（1）異面直線ad與所成的角的大小（2）二面角的正弦值2.如圖，點(diǎn)在銳二面角的棱上，在面內(nèi)引射線，使與所成的角為，與面所成的角大小為，求二面角的大小分析：首先根據(jù)條件作出二面角的平面角

6、，然后將平面角放入一個(gè)可解的三角形中（最好是直角三角形），通過解三角形使問題得解解：在射線上取一點(diǎn)，作于，連結(jié)，則為射線與平面所成的角，再作，交于，連結(jié)，則為在平面內(nèi)的射影由三垂線定理的逆定理，為二面角的平面角設(shè)，在中，,在中，,是銳角，,即二面角等于說明：本題綜合性較強(qiáng)，在一個(gè)圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角，斜線與平面所稱的角，二面角等空間角，這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角，而且還要彼此聯(lián)系相互依存，要根據(jù)各個(gè)平面角的定義添加適當(dāng)?shù)妮o助線3.正方體的棱長為1，是的中點(diǎn)求二面角的大小分析：求二面角關(guān)鍵是確定它的平面角，按定義在二面角的棱上任取了點(diǎn)，在二個(gè)半平面上分別作棱的垂線，方法雖簡便，但因與其他

7、條件沒有聯(lián)系，要求這個(gè)平面角一般是很不容易的，所以在解題中不大應(yīng)用在解題中應(yīng)用得較多的是“三垂線定理”的方法，如圖考慮到垂直于平面，在平面上的射影就是再過作的垂線，則面，過作的垂線，即為所求二面角的平面角了解：過作及的垂線，垂足分別是、，連結(jié)面，面，又，面又，為所求二面角的平面角，而，在中，在中，在中，4.pa垂直于矩形abcd所在平面，m、e、n分別是ab、cd和pc的中點(diǎn)，（）求證：mn平面pad（）若二面角pdca為，求證:平面mnd平面pdc5.已知正方體中，e為棱上的動(dòng)點(diǎn)，（1）求證：bd (2)當(dāng)e恰為棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面平面（3）在棱上是否存在一個(gè)點(diǎn)e，可以使二面角的大小為？如果存在，試確定e在棱上的位置；如果不存在，請說明理由。題型三、探索性、開放型問題1.如圖，已知正方形abcd的邊長為2，中心為o。設(shè)平面