幾何體中的截面問題

1、.幾何體中的的截面問題1定義及相關(guān)要素用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個(gè)幾何體的截面此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線此平面與幾何體的棱的交集(交點(diǎn))叫做截點(diǎn)2作多面體的截面方法(交線法)：該作圖關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)，有了位于多面體同一表面上的兩個(gè)截點(diǎn)即可連結(jié)成截線，從而求得截面題型一、截面的形狀1p、q、r三點(diǎn)分別在直四棱柱ac1的棱bb1、cc1和dd1上，試畫出過p、q、r三點(diǎn)的截面1解答：(1)連接qp、qr并延長，分別交cb、cd的延長線于e、f. (2)連接ef交ab于，交ad于s(3)連接rs、tp。則多邊形pqrst即為所求截面。2已知p、q、r分別是四棱柱

2、abcda1b1c1d1的棱cd、dd1和aa1上的點(diǎn)，且qr與ad不平行，求作過這三點(diǎn)的截面2解答： (1)連接qp并延長交da延長線于點(diǎn)i。(2)在平面abcd內(nèi)連接pi交ab于點(diǎn)m。(3)連接qp、rm。則四邊形pqrm即為所求。注：若已知兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點(diǎn)，就可以得到截面與多面體的一個(gè)面的截線。若面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二確定的點(diǎn)。若兩個(gè)已知點(diǎn)分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個(gè)平面的交線與截面的交點(diǎn)。acbd3一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過這個(gè)球的球心作一平面，則截面圖形不可能是精品.3答案：d解析：考慮過球心的平面在轉(zhuǎn)動(dòng)過中，平面在球的內(nèi)接正方體上截得的截

3、面不可能是大圓的內(nèi)接正方形，故選d。題型二、截面面積、長度等計(jì)算4過正方體的對角線的截面面積為s，smax和smin分別為s的最大值和最小值，則的值為 ( )abc d4答案：c解析：設(shè)m、n分別為aa1、cc1的中點(diǎn).易證截面bmd1n是邊長為的菱形(正方體棱長設(shè)為1),其面積s(min)=. 而截面bb1d1d是矩形,其面積s(max)=5. 如圖，已知球o是棱長為1 的正方體abcda1b1c1d1的內(nèi)切球，則平面acd1截球o 的截面面積為 5答案： 解析：平面acd1是邊長為的正三角形，且球與以點(diǎn)d為公共點(diǎn)的三個(gè)面的切點(diǎn)恰為三角形acd1三邊的中點(diǎn)，故所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切

4、圓的面積，則由圖得，acd1內(nèi)切圓的半徑是tan30=，則所求的截面圓的面積是=26已知球的半徑為，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓若兩圓的公共弦長為，則兩圓的圓心距等于（ ）a b c d6答案：c解析：與的公共弦為ab，球心為，ab中點(diǎn)為c，則四邊形為矩形，所以7已知正四棱錐pabcd的棱長都等于,側(cè)棱pb、pd的中點(diǎn)分別為m、n，則截面amn與底面abcd所成二面角大小的正切值為 7答案：精品.解析：過a在平面abcd內(nèi)作直線，連接ac,bd交于o，連接po，mn記po、mn交于o因?yàn)閜b、pd的中點(diǎn)分別為m、n ，所以mn/bd，因?yàn)?，所以，所以平面amn ， 平面amn平面abc

5、d易知即為面amn與底面abcd所成二面角的平面角8如圖，正方體的棱長為1，p為bc的中點(diǎn)，q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)a,p,q的平面截該正方體所得的截面記為s。則下列命題正確的是_當(dāng)時(shí)，s為四邊形當(dāng)時(shí)，s為等腰梯形當(dāng)時(shí)，s與的交點(diǎn)r滿足當(dāng)時(shí)，s為六邊形當(dāng)時(shí)，s的面積為8答案： 解析：.對，,則所以截面s為四邊形，且s為梯形.所以為真.對, ，截面s為四邊形截面s為等腰梯形. 所以為真.對, 所以為真.對, .截面s與線段相交，所以四邊形s為五邊形.所以為假.對,.對角線長度分別為 所以為真.精品.9如圖，為正方體。任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積

6、為s，周長為.則（ ）as為定值，不為定值 bs不為定值，為定值cs與均為定值 ds與均不為定值9答案:b解析:將正方體切去兩個(gè)正三棱錐與后，得到一個(gè)以平行平面與為上、下底面的幾何體v，v的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形w的每一條邊分別與v的底面上的一條邊平行，將v的側(cè)面沿棱剪開，展平在一張平面上，得到一個(gè)平行四邊形，而多邊形w的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中），顯然，故為定值。當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，多邊形w為正六邊形，而當(dāng)移至處時(shí)，w為正三角形，易知周長為定值的正六邊形與正三角形面積分別為與，故s不為定值。題型三、截面圖形的計(jì)數(shù)10設(shè)四棱錐 的底面不是平行四邊形, 用平面去截此四棱

7、錐, 使得截面四邊形是平行四邊形, 則這樣的平面( )a. 不存在 b. 只有1個(gè) c. 恰有4個(gè) d. 有無數(shù)多個(gè)10答案：d解析：設(shè)四棱錐的兩組不相鄰的側(cè)面的交線為m，n，直線m、n確定了平面，作與平行的平面與四棱錐側(cè)棱相截，則截得的四邊形是平行四邊形這樣的平面有無數(shù)多個(gè)11過正四面體的頂點(diǎn)做一個(gè)形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面成角，問這樣的截面可作幾個(gè)？11答案：6個(gè)解析：可以證明正四面體的棱、側(cè)面與底面成角均小于75度，這樣過頂點(diǎn)與底面成75度角，且平行與底面一條邊的 截面也就是符合題意的截面，有兩個(gè)。三條邊就是6個(gè)。精品.題型四、截面圖形的性質(zhì)12如圖4，在透明的塑料制成的長方

8、體abcd-a1b1c1d1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊bc于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下列四個(gè)命題：abcha1b1c1d1efgdabcda1b1c1d1efgh圖4（2）圖4（1） 水的部分始終呈棱柱狀； 水面efgh的面積不改變； 棱a1d1始終與水面efgh平行； 當(dāng)容器傾斜到如圖4（2）時(shí)，bebf是定值；其中正確的命題序號(hào)是_12答案：解析 當(dāng)長方體容器繞bc邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，盛水部分的幾何體始終滿足棱柱定義，故正確；在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中eh/fg，但eh與fg的距離ef在變，所以水面efgh的面積在改變，故錯(cuò)誤；在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，始終有bc/fg/a1d1，所以a1d1/面

9、efgh，正確；當(dāng)容器轉(zhuǎn)動(dòng)到水部分呈直三棱柱時(shí)如圖5（2），因?yàn)槭嵌ㄖ?，又bc是定值，所以bebf是定值，即正確。c1abcda1d1b1egf圖（1）13有一容積為1 立方單位的正方體容器abcd-a1b1c1d1，在棱ab、bb1及對角線b1c的中點(diǎn)各有一小孔e、f、g，若此容器可以任意放置，則該容器可裝水的最大容積是a b c d13答案：cc1abcda1d1b1egf圖（2）解析：本題很容易認(rèn)為當(dāng)水面是過e、f、g三點(diǎn)的截面時(shí)容器可裝水的容積最大圖6（1），最大值為立方單位,這是一種錯(cuò)誤的解法，錯(cuò)誤原因是對題中“容器是可以任意放置”的理解不夠，其實(shí)，當(dāng)水平面調(diào)整為圖6（2）eb1c時(shí)容器的容積最大，最大容積為14(08年江西)如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)p。如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)（圖2）。有下列四個(gè)命題：a正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半b將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過點(diǎn)c任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)精品.d若往容器內(nèi)再注入升水，則容器恰好能裝滿其中真命題是：