(完整word)高中數(shù)學(xué)選修2-2函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

1、1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例，直觀探索并掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并能夠利用單調(diào)性證明一些簡單的不等式.3.會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)的最高次數(shù)一般不超過三次 ).L知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在區(qū)間(a, b)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性有如下關(guān)系：導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性f (x)0單調(diào)遞祖f (x)0,得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式f (x)0,xi = 0,x2=2,用xi,x2分割定義域D,得下表：x(一 00 , 0)0(0,2)2(2, +8)f (x)一0十0一f (x).f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,

2、0)和(2, +8),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2).(3)函數(shù)的定義域?yàn)镈 = ( 8, 0)U(0, +8).f (x)=112,令 f (x) = 0,得 xi=- 1, x2=1,用 xi, x2分割定義域 D,得下表: xx(一 00 , 一 1)1(-1,0)(0,1)1(1 , + 8)f (x)十0一一0十f(x)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,0)和(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(8, 1)和(1, +8).反思與感悟 首先確定函數(shù)定義域， 然后解導(dǎo)數(shù)不等式， 最后寫成區(qū)間的形式， 注意連接同 類單調(diào)區(qū)間不能用“U” .跟蹤訓(xùn)練1 求函數(shù)f(x)=x33x的單調(diào)區(qū)間.解 f (x)

3、=3x2-3=3(x2-1).當(dāng) f (x)0時，x 1,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f (x)V0時，-1vxv 1,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(一8, 1), (1,+8),遞減區(qū)間是(一1,1).題型二利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的大致圖象例2 畫出函數(shù)f(x) = 2x3 3x2 36x+16的大致圖象.解 f (x) = 6x2-6x- 36= 6(x2- x- 6)= 6(x- 3)(x+ 2).由 f (x)0 得 xv2 或 x3,，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(一00, 2)和(3, + 8).由 f (x) 0得一2vxv3,，函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是(-2,3)

4、.由已知得 f(-2)=60, f(3)=- 65, f(0)=16.，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及以上關(guān)鍵點(diǎn)畫出函數(shù)f(x)大致圖象如圖所示(答案不唯一).反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)可以判定函數(shù)的單調(diào)性，而函數(shù)的單調(diào)性決定了函數(shù)圖象的大致走向當(dāng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定以后，再通過描出一些特殊點(diǎn)，就可以畫出一個函數(shù)的大致圖象跟蹤訓(xùn)練2已知導(dǎo)函數(shù)f (x)的下列信息：當(dāng) 2vxv3 時，f (x)3 或 xv2 時，f (x)0;當(dāng) x= 3 或 x= 2 時，f (x)=0;試畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀.解 當(dāng)2vxv 3時，f (x)3或xv2時，f (x)0,可知函數(shù)在這兩個區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)*=3或*= 2時

5、，f (x)=0,在這兩點(diǎn)處的兩側(cè)，函數(shù)單調(diào)性發(fā)生改變 綜上可畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀，如圖所示(答案不唯一).例3 已知函數(shù)f(x)=2ax x3, xC (0,1, a0,若函數(shù)f(x)在(0,1上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的 取值范圍.解 f (x) = 2a3x2,又f(x)在(0,1上是增函數(shù)等價于 f (x)0對xC (0,1恒成立，且僅有有限個點(diǎn)使得f (x)=0,3 一，、xC(0,1時，2a 3x20,也就是 a2x2恒成立.又 xe (0,1時,|x2e 0, 2 , . .a|2.3 .a的取值范圍是 2, + 00 .反思與感悟已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍

6、，是近幾年高考的熱點(diǎn)問題，解決此類問題的主要依據(jù)就是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，其常用方法有三種：利用充要條件將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即 f (x)0(或f (x)W0)在給定區(qū)間上恒成立，然后轉(zhuǎn)為不等式恒成立問題；利用子區(qū)間(即子集思想)，先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求出的增或減區(qū)間的子集；利用二次方程根的分布，著重考慮端點(diǎn)函數(shù)值與0的關(guān)系和對稱軸相對區(qū)間的位置.1 C跟蹤訓(xùn)練 3 已知函數(shù) f(x)= ln x, g(x)= 2ax2+2x, aw。.(1)若函數(shù)h(x) = f(x)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求 a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x) = f(x)g(x)在1,

7、4上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.1C-解 (1)h(x)=ln x-2ax2-2x, x (0, 十00),.,1 一h (x)= - ax 2.xh(x)在(0, + 00)上存在單調(diào)遞減區(qū)間,，.-一,1，一當(dāng) xC (0, + oo)時，ax 2 2有解.一 12設(shè) G(x) = 7 - x,.只要 aG(x)min 即可.12.而 G(x)= - 1 2 1 ,x G(x)min = 1 , . . a 1.(2) h(x)在1,4上單調(diào)遞減,.1,一，、，xC1,4時，h (x) = ax 2W 0 恒成立, x即a2-2恒成立，x2 x1,2 a G(x)max 而 G(x)=1 1

8、,x G (x)max =工16716.例4 求函數(shù)y=x ln x的單調(diào)區(qū)間錯解 y =1 ；令y = 1 1 0,得x 1或x0,得x 1或x0（舍去），所以函數(shù)y=x- ln x的單調(diào)遞增區(qū)間為（1, + 8）. x令v =1 ,0, .函數(shù) f(x)在(0,6)上單調(diào)遞增. x2 .f (x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若y=f (x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是()答案 D解析 由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng) x0,即函數(shù)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)0vxv2時, f (x) 2時，f (x)0,即函數(shù)f(x)為增函數(shù).觀察選項(xiàng)易知 D正 確.3 .若函數(shù)f(x)=x3-ax2-x

9、+6在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()A.1, + b) B.a=1 C.(8, 1 D.(0,1)答案 A解析f (x) = 3x2 2ax 1,且f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，,.不等式3x2-2ax- K0在(0,1)內(nèi)恒成立,f (0)0,且 f (1)1.4 .函數(shù)y=x24x+ a的增區(qū)間為 ,減區(qū)間為 .答案(2, +8) ( 8, 2)解析 y =2x4,令 y 0,得 x 2;令 y 0,彳導(dǎo) x0,即 a 1 ,，一，、彳在x (0,1上恒成乂11一1 .而g(x)= 彳在(0,1上是增函數(shù), nx ，、1一 g(x)max = g(1) = - 212.

10、,f (x)= 1 + 4對 xC (0,1有 f (x)0,且僅在 x=1 時，f (x)=0. x1 一，a=2時，f(x)在(0,1上是增函數(shù)1 .a的取值范圍是一2, + 00 .一課堂小結(jié)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法如下： (1)定義法.在定義域內(nèi)任取 x1 , x2,且x1x2,通過判斷f(x1) f(x2)的符號來確定函數(shù)的單調(diào) 性.(2)圖象法.利用函數(shù)圖象的變化趨勢進(jìn)行直觀判斷.圖象在某個區(qū)間呈上升趨勢，則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；圖象在某個區(qū)間呈下降趨勢，則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)(3)導(dǎo)數(shù)法.利用導(dǎo)數(shù)判斷可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)的單調(diào)性，步驟是：求f (x);確定f

11、(x)在(a, b)內(nèi)的符號；確定單調(diào)性.求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間分別是解不等式f (x)0和f (x)0在D上恒成立且僅在有限個點(diǎn)上等號成立，求f(x)中參數(shù)的值.同樣可以解決已知f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，求f(x)中參數(shù)的值的問題.課時精練一、選擇題1 .函數(shù)y=(3x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(8, 0)B.(0, +8)C.( 8, 3)和(1, +8)D.( 3,1)答案 D解析 求導(dǎo)函數(shù)得v = ( x22x+3)ex令 y =(x22x+ 3)ex0,可得 x2+2x3v0,-3x 1.函數(shù)y=(3 x2)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(一3,1).2.已知函數(shù)f(x

12、) = x3 + ax2 x 1在(一00, + 8)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-OO,峋 UV3, +8 )B.-3,峋C.( 巴m)U(*5 + )D.(-有班)答案 B解析由題意得f (x) = 3x2+2ax1W 0在(8 , + oo)上恒成立，且僅在有限個點(diǎn)上f (x)=0,則有 A= 4a212W0,解得73 a0).x故函數(shù)在(1, + 8)上為減函數(shù)，在(0,1)上為增函數(shù).故選B.(x),則當(dāng)avxv b時，有()4 .設(shè) f(x), g(x)在a, b上可導(dǎo),且 f (x)gA.f(x)g(x)B.f(x)vg(x)C.f(x)+g(a)g(x)+f(a)

13、D.f(x)+g(b)g(x)+f(b) 答案 C 解析-f (x)-gz (x)0, . .(f(x)g(x) 0, ，f(x)g(x)在a, b上是增函數(shù), 當(dāng) avxvb 時 f(x)g(x)f(a)g(a), f(x)+g(a)g(x)+f(a).5.函數(shù)lnJx| 片x的圖象大致是()答案上ln | x| 上解析y=f(-x)=L-*=-f(x),- x.y=f(x) = 1n兇為奇函數(shù), x，y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，可排除B.又.當(dāng) x。時，f(x)=lnx,(x)=1 xn x當(dāng) x e 時，f (x)0, 函數(shù)f(x)在(0, e)上單調(diào)遞增.故可排除A, D,而

14、C滿足題意.6.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f (x)1f(x),f(0)=6,f (x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式exf(x)ex+5(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為()A.(0, +8)B.(8, 0)U(3, +8)C.( 8, 0)U(1, +8 )d.(3, +8 )答案 A解析 由題意可知不等式為exf(x)-ex-50,設(shè) g(x) = exf(x)-ex-5, g (x)= exf(x)+exf, (x) ex= exf(x)+fx)10.函數(shù)g(x)在定義域上單調(diào)遞增.又. g(0)=0, .ax)。的解集為(0, +8).二、填空題7.若函數(shù)f(x)=2x2In x在

15、定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k-1, k+1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.3答案 i, 214x21 ,一一解析顯然函數(shù)f(x)的7E義域?yàn)?0, + 8) f (x) = 4x- =.由f (x)0,得函數(shù)f(x)x x11的單調(diào)遞增區(qū)間為 2, + 8 ；由f，(x)0,得函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為0, 2 .因?yàn)楹瘮?shù)在1.一 13區(qū)間(k1, k+1)上不是單倜函數(shù)，所以 k- 12k+1，解得一2 k0,即 21.綜上可知，ykj38.函數(shù)y= f(x)在其定義域一2，3內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所不，記y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f (x),則不等式f (x)W0的解集為 .-1,答案 W

16、，1 u 2,3) 39 .函數(shù)y=ln(x2 x 2)的遞減區(qū)間為 .答案1)解析 f (x)=-2217,令f (x)1 2x在2, + 00上恒成立.令 h(x) = 2x,則,2h (x)=-3-2,x一 1當(dāng)xC 2，+ 00時，h (x)3.三、解答題11 .已知函數(shù)f(x) = ax3+bx2的圖象經(jīng)過點(diǎn) M(1,4),曲線在點(diǎn)M處的切線恰好與直線 垂直.(1)求實(shí)數(shù)a, b的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間m, m+1上單調(diào)遞增，求 m的取值范圍.解 (1) :函數(shù)f(x)= ax3 +bx2的圖象經(jīng)過點(diǎn) M(1,4),，a+b=4.f (x)=3ax2+2bx,則 f (1)=

17、3a+2b.由條件 f (1) -1 =- 1,即 3a + 2b=9. 9由解得a= 1, b= 3.(2)f(x) = x3+ 3x2,則 f (x)=3x2 + 6x.令 f (x)= 3x2+6x 0,得 x 0 或 xw2.:函數(shù)f(x)在區(qū)間m, m+1上單調(diào)遞增，.m, m+1?(8, 2U0, +8). . m 0 或 m+1 w 2,，m0 或 mW3.12 .已知函數(shù)f(x)=a、+ x2xln a- b(a, bCR, a1), e是自然對數(shù)的底數(shù).試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0, +8)上的單調(diào)性；(2)當(dāng)a = e, b=4時，求整數(shù)k的值，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間(k,

18、 k+1)上存在零點(diǎn).解 (1)f (x) = axln a+ 2xln a=2x+(ax 1)ln a., a 1, 當(dāng) xC(0, + 8)時,ln a0, ax- 1 0,f (x)0,函數(shù)f(x)在(0, +8)上單調(diào)遞增.x+9y= 0(2)-. f(x) = ex+x2-x- 4, ：.f (x)=ex+2x 1, f (0)=0.當(dāng) x0 時，ex 1, .(x)0, .f(x)是(0, + 8)上的增函數(shù).同理，f(x)是(一8, 0)上的減函數(shù).又 f(0)=3 0, f(1)=e- 40,當(dāng) x2 時，f(x)0, 當(dāng)x0時，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在(1,2)內(nèi)， k= 1滿足條件.,11 C Cf(0) = - 30, f(1) = &- 20,當(dāng) xv2 時，f(x)0, 當(dāng)x0,即一 3Vxv 1 或 x 1時， 22函數(shù)y= ln(2x+3) +x2單調(diào)遞增., 一一1一，當(dāng) y v 0,即一1 vxv 時，函數(shù)y= ln(2x+3) +x2單調(diào)遞減.31故函數(shù)y=ln(2x+ 3) + x2的單倜遞增區(qū)間為 一,-1 , 一Q,十 ；、一，、